probleme sur un exercie "equation d'un gaz"

[invite9e36cc44]

bonjour , je suis en deuxiéme année d'ecole d'ingenieur et je rencontre quelque probléme a propos d'un exercice



On suppose que l'atmosphere est un gaz reel en equilibre dans le champ de pesanteur. Dans


ce modele, l'atmosphere est supposee isotherme de temperature T0. La relation entre la pression atmospherique P et l'altitude z est donnee par



T° * ln(P\P°) + a*(P-P°) = - (g*M)\R * z


a est une constante, g l'acceleration de la pesanteur, R la constante des gaz parfaits, M la masse molaire de l'air et P0 la pression a l'altitude z = 0.
Donner l'expression de la masse volumique en fonction de la pression P.
En deduire l'equation d'etat de ce gaz.




Pour ce qui est de la masse volumique j'ai trouvé masse volumique = - (P-P°)\gz


mais je ne pense pas que se soit la reponse attendu
et pour ce qui est de l'equation je ne sais vrement pas comment partir
j'aimerais bien avoir un petit coup de pouce
merci d'avance
badebila
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[pephy]

bonsoir
en différentiant l'équation donnée on peut trouver dp/dz....

[invite9e36cc44]

je ne vois pas tout a fait ce que vous voulez dire par differencié!!
et pour la masse volumique ma reponse est la bonne ou pas?
merci beaucoup

[pephy]

votre valeur de la masse volumique n'est pas correcte;d'ailleurs comment l'obtenez vous?
L'équation c'est F(p)=G(z)
Il faut faire d(F)=d(G)
Si vous ne voulez pas différentier, vous pouvez dériver :
dF/dz=dG/dz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93e0873f]

C'est qu'en utilisant l'hypothèse que le gaz est en équilibre de forces, si tu prends une mince couche de gaz de volume , A étant la superficie de la section de cette mince couche, tu as que son poids doit équilibrer la différence de pression entre la partie supérieure et la partie inférieure de la couche. Bref, en faisant les calculs, on obtient :



avec la masse volumique. Si la masse volumique est constante partout dans l'atmosphère, ça se résout bien et on obtient ton équation, mais sinon on doit reprendre ton équation de la pression en fonction de l'altitude (et de la température, etc.)



Tu sais que où m représente la masse d'une toute petite région du gaz, cette région contenant n moles de molécules de gaz. Comment peux-tu faire apparaître le grâce à m et, en substituant ça dans l'équation de la pression ci-dessus, faire apparaître l'équation différentielle d'en haut?

Edit : ah, pephy procède à l'envers de moi on dirait ; il faut dire que je n'ai pas mené mes calculs à bout, peut-être est-ce équivalent, enfin nous verrons ^^

[invite9e36cc44]

je trouve que dP\dz= -R(T°+aP)\(PgM)

est ce le resultat?

[invitea3eb043e]

Non, revois ton calcul et vérifie que si a=0 tu retrouves le gaz parfait.

[invite93e0873f]

En procédant comme pephy dit, je trouve plutôt

 Cliquez pour afficher

On peut comparer cela à l'équation différentielle de mon message précédent pour finalement obtenir :



C'est sûrement plus rapide procéder ainsi que comme je le disais ; je ne sais même pas encore si on aboutit avec la mienne.

[invite9e36cc44]

je ne vois pas ou je me suis trompe:
je fais la derivé de l'equation donc ça me donne:

T°\P * dP + a* dP = -(gM)\R * dz

[invite9e36cc44]

et ensuite je trouve dP\dz = -R(T° + aP) \ (PgM)

[invite93e0873f]

L'erreur n'est pas dans la différentielle, mais dans l'étape qui te mène à ton dernier message ; tu as échangé le numérateur et le dénominateur.

[invite9e36cc44]

Oui pardon je viens de m'en apercevoir...
donc je trouve que la masse volumique est egale a MP\(R(T°+ aP))

a la suite de ça je remplace dans l'equation donné le M par M=(masse volumique * V)\n ?????

[invite93e0873f]

Exactement.

[invite9e36cc44]

l'equation du gaz est donc:

PV = nR(T°+aP)

je vous remercie tous pour votre aide

une derniere petite question
lorsque l'on me dit de trouver l'equation du gaz je suis un peu perdu car je ne vois pas sous quelle forme est l'equation d'un gaz donc même en ayanr la reponse sous les yeux je sais que PV = nR(T°+aP) est l'equation du gaz mais je ne sais pas pourquoi!!!
merci encore

[invite93e0873f]

Je ne m'y connais pas vraiment en thermodynamique ou en cinétique des gaz (pour preuve, je ne sais même pas exactement dans quelle branche s'attache principalement ce problème ), mais d'après ce que j'ai compris de mes lectures sur le sujet, l'équation d'état d'un gaz est l'équation permettant de relier entre elles certaines caractéristiques extensives du gaz. Ainsi, dans toute la procédure ci-dessus, savoir que nous voulions arriver à une équation ne faisant pas mention d'aucune quantité non extensive du gaz comme la hauteur de celui-ci ou l'accélération gravitationnelle, on pouvait déjà savoir un peu quelles informations aller chercher et quelles opérations mathématiques faire pour se débarrasser de ces quantités.

Bref, on cherchait une équation reliant les variables liées exclusivement au gaz et non pas à l'environnement dans lequel il se trouve.

[invite9e36cc44]

ok et bien j'espére que ces informations m'aideront pour mes futurs partielle^^ merci