Théorie des cordes et des nœuds

[dragounet]

Bonjour à tous les cordistes du forum.

Depuis le temps que cette théorie se complète, comme elle considère que tout est formé de cordes mouvantes, avec le temps toutes ces cordes ont bien du faire des nœuds, non ?

Donc la théorie des cordes aurait dû accoucher d’une théorie des nœuds.

Or je n’ai rien lu de telle.

Comment se fait-ce ?
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[Deedee81]

Salut,

Depuis le temps que cette théorie se complète, comme elle considère que tout est formé de cordes mouvantes, avec le temps toutes ces cordes ont bien du faire des nœuds, non ?

Donc la théorie des cordes aurait dû accoucher d’une théorie des nœuds.

Or je n’ai rien lu de telle.

Comment se fait-ce ?

Les cordes peuvent se couper.

Par exemple, supposons qu'on ait une corde fermée : O
Celle-ci peut se pincer : oo
Et peut former un noeud ou..... donner deux cordes : o o
(= désintégration d'une particule)

Je crois d'ailleurs (mais les spécialistes des cordes confirmerons) que la théorie des noeuds intervient bien dans la théorie des cordes !!!!!
(je confirme, je viens d'aller voir sur wikipedia)

[dragounet]

Merci Deedee81,

Est-ce que tu sais comment on explique la masse des particules en théorie des cordes?

Est-ce que la corde a une masse propre? Une masse cinétique dépendant de sa fréquence de vibration?

[Deedee81]

Est-ce que tu sais comment on explique la masse des particules en théorie des cordes?
Est-ce que la corde a une masse propre? Une masse cinétique dépendant de sa fréquence de vibration?

Il y aussi le Higgs en théorie des cordes.

Mais il n'empêche qu'une particule/corde peut avoir une masse propre. Mais comment on fait le lien avec l'état de vibration, les repliements des dimensions, etc... je n'en sais fichtre rien. Avec un peu de chance un spécialiste des cordes verra la question.

[A voir en vidéo sur Futura]

[bobdémaths]

Bonjour,

Comme l'a dit Deedee, les cordes peuvent se couper ou fusionner. Ce qui est important, c'est la surface que décrit la corde quand elle se propage dans l'espace-temps. Par exemple, pour une corde fermée, elle dessine une surface en forme de cylindre. On pourrait donc imaginer que les détails du mouvement de la corde soient importants, par exemple, si ce cylindre est plus ou moins gros à certains instants, ou encore s'il se "recoupe lui-même" (ce qui correspondrait à un nœud fait avec la corde). Mais il existe une symétrie fondamentale dans cette théorie, qui dit en substance que la seule chose qui importe, c'est la topologie de la surface, et pas sa forme précise. Ainsi, que le cylindre soit bien régulier, ou au contraire ait des parties très larges et d'autres très étroites, cela revient au même. Et il en va de même pour les nœuds (au sens où la corde pourrait former un "8" par exemple, sans que les deux brins qui se croisent se touchent vraiment) : cela ne change rien. En revanche, si la corde de scinde en deux cordes fermées qui refusionnent ensuite, on obtient la topologie d'un tore, qui est bien distincte.

Pour la masse, il faut effectivement prendre en compte les vibrations de la corde. Comme pour une corde classique, une corde peut vibrer selon différents modes (prenons pour simplifier une corde ouverte, et la plus simple possible (les spécialistes parleront de corde bosonique)). Il y a le mode fondamental, puis le 1er harmonique, puis le second, etc. La masse de la corde est aussi son énergie, et est contenue dans le nombre de modes qui peuvent être excités. En gros, chaque mode a une certaine énergie, donc une certaine masse, et pour connaître la masse totale, on doit ajouter toutes les contributions. Il se trouve que le bon paramètre à considérer est la masse au carré, mais ça ne change pas grand chose.
Donc on a quelque chose du type suivant :
0 mode excité (corde au repos) ----- masse carrée 0
1 mode excité ----- masse carrée
2 modes excités ----- masse carrée
etc.

Mais ce n'est pas si simple : dans la théorie quantique, un objet n'est jamais totalement au repos, il y a toujours une énergie résiduelle (penser à l'oscillateur harmonique, qui dans l'état fondamental a une énergie non nulle). Pour la corde, c'est pareil ! Et cette contribution de masse de l'état fondamental peut s'écrire sous la forme , où D est la dimension de l'espace-temps. Je dois donc revoir mon tableau !
0 mode excité (corde au repos) ----- masse carrée
1 mode excité ----- masse carrée
2 modes excités ----- masse carrée
etc.

Mais là il y a un problème : si je mets que D=4 dans ces équations, mon état de masse la plus basse est de masse négative, et le suivant est de masse positive (et très grande, car le M dans ces équations est vraiment grand). Où sont donc passées toutes les particules de masse nulle de la nature, comme le photon ? La seule solution, c'est que D ne soit pas 4. Quoi, alors ? Pour que l'état fondamental soit de masse nulle, on voudrait bien prendre D=2, mais on sait bien qu'on vit avec plus de 2 dimensions. Tout espoir est donc perdu de ce côté, mais par contre, si on prend D=26, alors le premier état excité donne une masse nulle !

C'est donc cela qu'on fait, et les masses des cordes deviennent :
0 mode excité (corde au repos) ----- masse carrée
1 mode excité ----- masse carrée nulle
2 modes excités ----- masse carrée
etc.

Un commentaire pour finir : on a un truc très embêtant, c'est le premier état, de masse négative (on appelle cela un tachyon). Évidemment, ce n'est pas physique, mais on peut s'en débarrasser grâce à une extension de la théorie (les supercordes). Les états de masse M, eux, sont cohérents, mais comme M est vraiment grand, on ne peut pas les observer !! Reste donc le 1er mode, avec une masse nulle. C'est là qu'il faut chercher les particules. C'est facile pour le photon et le graviton par exemple, qui sont bien de masse nulle. C'est plus subtil pour les autres particules, mais il faut noter ici que j'ai parlé de la corde "bosonique", qui ne prend donc pas en compte les fermions (c'est-à-dire les particules de matière).

[Bonzo69]

Salut,

Super intéressante ton explication bobdémaths. Par contre, j'aurais aimé savoir d'où proviennent les expressions de type -M2D-2

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24 (désolé j'arrive pas à faire passer le /24)? Je veux dire, de quels postulats partent-ils et quel est le formalisme utilisé? matriciel je suppose? J'imagine bien que les calculs sont peut-être compliqués, mais c'est juste pour savoir dans les grandes lignes.
Ensuite, j'arrive pas trop à voir comment les supercordes permettent d'expliquer les masses négatives. Je pensais plutôt qu'elles permettaient d'expliquer les masses importantes.
Enfin, ça donne quoi pour les fermions du coup?

Merci d'avance de vos réponses à tous

[Deedee81]

Salut,

Merci aussi pour ces explications.

Le formalisme que j'ai vu c'est le formalisme lagrangien classique (puis quantique) avec une action de corde. Au-delà, toutes sortes de formalismes sont utilisés : matrices, géométrie différentielle, théories conformes, etc....

Concernant les supercordes :
une autre difficulté de la théorie des cordes est que l'action lagrangienne est bosonique. La théorie ne décrit donc que des bosons. C'est évidemment gênant.

La supersymétrie, donnant une symétrie boson <-> fermion, permet donc d'introduire tout naturellement les fermions dans la théorie.

De plus, et ça ce fut une très agréable surprise pour les théoriciens des cordes, l'état de masse négative disparaissait (techniquement, je ne sais pas pourquoi). Et l'état de plus basse énergie (l'état 0 ci-dessus) devenait un état sans masse de spin 2 = le graviton. La gravité s'introduisait donc toute seule comme une grande.

Ce fut considéré comme un très grand succès théorique et a beaucoup fait pour les efforts engagés ensuite pour développer la théorie. Ca, et la découverte des dualités certainement.

[dragounet]

(désolé j'arrive pas à faire passer le /24)?

ça serait-y pas le nombre de dimensions spatiales ce 24? + 2 de temps = 26?