Bonjour à tous,
Une petite question me taraude l'esprit depuis le début de mon cours sur les anisotropes : qu'est ce qui justifie que la matrice du tenseur diélectrique soit symétrique ?
Je précise que l'on se place bien dans un milieu transparent (ok, ça c'est pour que les coefficients soient réels), linéaire et homogène (ok, ça c'est pour avoir un tenseur, qui en plus a la bonne idée d'être invariant par déplacement dans l'espace).
Mais quid de la symétrie ?
Merci d'avance,
Julien
salut
si je me souviens bien ça se démontre à l'aide de relations thermodynamiques. En clair, tu joues avec les potentiels thermo et demandes que tes énergies (et autres cousines) vérifient les relations usuelles de la thermo, même écrites avec ton tenseur (c'est valable pour d'autres tenseurs et pas seulement le tenseur diélectrique, d'où l'aspect "encore plus flou" de mon "explication" déjà pas précise)
Ok bon je vais tenter de le démontrer par cette voie.. Même si ça paraît pas évident
Sinon, dans la journée, j'ai pensé à une autre raison, plus mathématique : le tenseur diélectrique est d'ordre 2, c'est donc une forme bilinéaire. Or toute forme bilinéaire peut se décomposer en une symétrique et une antisymétrique, et il se trouve que la forme quadratique conservée n'est influencée que par la symétrique (la forme quadratique associée à la forme antisymétrique est nulle). Ne peut-on pas dire que l'on regarde uniquement les symétriques parce que l'on souhaite avoir des formes quadratiques associées non-nulles (genre si je fais le produit scalaire de x et P(x), ce serait bien que cela ne soit pas nul tout le temps car physiquement ce serait bizarre que champ électrique et déplacement électrique soient tout le temps perpendiculaires... Comment expliquer alors l'existence de directions principales ??)
En tout cas merci de t'être penché sur la question
Julien
J'ai pas le temps de le recopier là mais c'est démontré dans le Born & Wolf page 791Envoyé par 09Jul85
Ok bon je vais tenter de le démontrer par cette voie.. Même si ça paraît pas évident
Sinon, dans la journée, j'ai pensé à une autre raison, plus mathématique : le tenseur diélectrique est d'ordre 2, c'est donc une forme bilinéaire. Or toute forme bilinéaire peut se décomposer en une symétrique et une antisymétrique, et il se trouve que la forme quadratique conservée n'est influencée que par la symétrique (la forme quadratique associée à la forme antisymétrique est nulle). Ne peut-on pas dire que l'on regarde uniquement les symétriques parce que l'on souhaite avoir des formes quadratiques associées non-nulles (genre si je fais le produit scalaire de x et P(x), ce serait bien que cela ne soit pas nul tout le temps car physiquement ce serait bizarre que champ électrique et déplacement électrique soient tout le temps perpendiculaires... Comment expliquer alors l'existence de directions principales ??)
En tout cas merci de t'être penché sur la question
Julien
ton argument me semble justifier uniquement que la partie symétrique est non-nulle, pas que la partie antisymétrique est nulle.
Il me semble aussi qu'il faut utiliser l'énergie libre du milieu, F , et ça te donne des contraintes sur la symétrie de plusieurs tenseurs en liaison avec des milieux élastiques/continues.Je me demande si Feynman n'en parle pas dans son cours d'électromagnétisme d'ailleurs.salut
si je me souviens bien ça se démontre à l'aide de relations thermodynamiques. En clair, tu joues avec les potentiels thermo et demandes que tes énergies (et autres cousines) vérifient les relations usuelles de la thermo, même écrites avec ton tenseur (c'est valable pour d'autres tenseurs et pas seulement le tenseur diélectrique, d'où l'aspect "encore plus flou" de mon "explication" déjà pas précise
“I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman
Bonjour, ta question est intéressante.
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J'avais dans un cours donné je ne sais où discuter cette question a la lumière de la théories des groupes (c'est chezmoi pathologique) et hélas mon cerveau s'est embrumé depuis, pas moyen de décocher une explication limpide.
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Toutefois je me souviens des idées générales.
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1- Cette question a avoir avec la théorie de la réponse linéaire et de la causalité (par exemple ton problème, mais aussi valable pour j=sigma.E etc...)
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2- J'utilisais le comportement des variables dans le renversement du temps (d'ou le groupe).
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3- J'effectuais un développement limité au voisinage de l'entropie (forme quadratique dans le contexte de la réponse linéaire) et devait écrire que l'entropie ne peut qu'augmenter (ça c'est la causalité)
De là j'en concluait que pour une réponse et une excitation de rang 1 la matrice associée au tenseur de rang 2 était (presque) toujours symétrique.
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Je crois me souvenir avoir trouver des contre-exemples. Je crois que le champ magnétique cassait tout et donc par extension toute grandeur qui subit les mêmes lois de transformation que le champ magnétique).
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J'aimerais retrouver ma démonstration et l'étendre aux rangs quelconques et surtout a des groupes d'invariances non standards.
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Que dieu me donne du courage!! Peine peru je suis athée!
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Je suis d'accord avec Rincevent, avec la nuance qu'il n'est pas nécessaire d'utiliser des potentiels thermodynamiques compliqués. En effet le caractère symétrique ne dépendra pas du fait que le corps soit isolé ou pas. Alors autant prendre le potentiel thermodynamique le plus simple: l'entropie.
