Angle de décollage
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Angle de décollage



  1. #1
    Nobium

    Angle de décollage


    ------

    Bonjour,

    Je me suis intéressé au problème classique suivant: une sphère de rayon r part du sommet d'un quart de sphère de rayon R avec une vitesse initiale nulle. On suppose qu'il y a roulement sans glissement. Déterminer l'angle à partir duquel la sphère décolle du support.

    Après étude, je trouve un angle

    Je souhaitais savoir si ce résultat est bien juste. Merci d'avance

    -----

  2. #2
    invite07941352

    Re : Angle de décollage

    Bonjour,
    Personne ne répond mais moi-même, je ne visualise pas ce problème que vous dites classique ... Peut être un dessin aiderait ?

  3. #3
    Nobium

    Re : Angle de décollage

    Voici un dessin de la situation:

    Nom : 1371312647-probleme-sphere.png
Affichages : 347
Taille : 3,5 Ko
    XXX pas d'image sur hébergeur externe XXX

    (j'ai rebaptisé thêta en a)
    Dernière modification par obi76 ; 15/06/2013 à 18h27.

  4. #4
    Duke Alchemist

    Re : Angle de décollage

    Bonsoir.

    Je visualisais bien la situation sauf que j'avais défini l'angle par rapport à la verticale mais bon...

    Pourrais-tu nous indiquer les étapes (pas nécessairement les calculs juste les lois physiques utilisées...) ? Ce qui pourrait être plus utile que le résultat lui-même...

    Duke.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    albanxiii
    Modérateur

    Re : Angle de décollage

    Bonjour,

    On a décollage dès que la force de réaction (normale à la sphère, si on néglige les frottements) devient nulle.
    J'avoue que je n'ai pas vraiment envie de faire les calculs....

    @+
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  7. #6
    obi76

    Re : Angle de décollage

    Bonjour,

    petite question auxiliaire : la boule peut tourner sur elle même ? Il faut prendre son moment d'inertie en compte ?
    \o\ \o\ Dunning-Kruger encore vainqueur ! /o/ /o/

  8. #7
    coussin

    Re : Angle de décollage

    Citation Envoyé par obi76 Voir le message
    Bonjour,

    petite question auxiliaire : la boule peut tourner sur elle même ? Il faut prendre son moment d'inertie en compte ?
    Y a aucune masse dans le problème, si ?

  9. #8
    obi76

    Re : Angle de décollage

    Citation Envoyé par coussin Voir le message
    Y a aucune masse dans le problème, si ?
    Non effectivement (en fait je me posais juste la question : si on intègre le moment d'inertie, donc la masse, est-ce qu'elel se simplifie aussi, intuitivement je n'arrive pas trop à voir. Enfin bref c'est un peu HS là).
    \o\ \o\ Dunning-Kruger encore vainqueur ! /o/ /o/

  10. #9
    Sephiralo

    Re : Angle de décollage

    Salut,

    ton calcul me semble bien compliqué... il me semble que j'avais déjà fait un exercice de ce genre, j'avais fais un truc comme sa:

    vecteur P + vecteur N = m x vecteur accélération en tout point
    projection sur vecteur n normal à la courbe (repère de Frenet) : -mgcos (alpha) + N = m x accélération normale = m(-v²/R)

    En un point quelconque, soit en B (bille quitte la sphère) :
    N = -mv(b)²/R + mgcos(alpha)
    D'après la variation d'énergie cinétique,v(b)²-v(a)²=2gR(1-cos(alpha))
    v(b)²=v(a)²+2gR(1-cos(alpha))

    N=-mv(a)²/R + 2mg(1-cos(alpha)) + mgcos(alpha)

    Si la bille quitte la sphère, on a N=0, et v(a) vitesse initiale nulle puisque lancement sans vitesse initiale

    0=-2mg + 3mgcos(alpha)
    cos(alpha)=2/3

    Alpha=48,...°

    A+
    Dernière modification par Sephiralo ; 15/06/2013 à 19h28.

  11. #10
    Sephiralo

    Re : Angle de décollage

    Citation Envoyé par Sephiralo Voir le message
    N=-mv(a)²/R + 2mg(1-cos(alpha)) + mgcos(alpha)
    Petite erreur, c'est : N=-mv(a)²/R - 2mg(1-cos(alpha)) + mgcos(alpha)

  12. #11
    coussin

    Re : Angle de décollage

    Citation Envoyé par Sephiralo Voir le message
    Salut,

    ton calcul me semble bien compliqué...

    A+
    Parce qu'il y a r, rayon de la bille.
    La formule du message #1 semble raisonnable. En tout cas donne des résultats raisonnables aux limites R>>r et R<<r. Faudrait que Nobium nous dise un peu ce qu'il a fait

  13. #12
    Sephiralo

    Re : Angle de décollage

    Re,

    oui c'est bien ce que je dis, je ne vois pas en quoi le rayon de la bille change l'angle alpha... ni son poids d'ailleurs...
    Mais je me trompe surement

    A+

  14. #13
    coussin

    Re : Angle de décollage

    Ah bah si, l'angle de décollage dépend du rayon de la bille...
    C'est facile à voir : si la bille est énorme devant le quart de cercle, elle ne décolle jamais (alpha=0 dans les notations du message #3)

  15. #14
    Sephiralo

    Re : Angle de décollage

    Pourquoi ne décollerait-elle jamais ? Le sol qui l'empêche ? Ce n 'est pas dans les conditions
    Mon calcul ne tient pas compte du rayon et je trouve une solution, comment expliquer mon résultat alors ? Je me suis trompé ?
    Dernière modification par Sephiralo ; 15/06/2013 à 21h07.

  16. #15
    Nobium

    Re : Angle de décollage

    Oui excusez moi je vais préciser ma démarche. J'ai considéré que la réaction normale N devait s'annuler, plus précisément la réaction normale comme fonction de l'angle doit s'annuler.

    Je considère un repère cylindrique. Le théorème de la résultante dynamique projeté sur le vecteur orthoradial donne une expression de N en fonction de et de . Il reste à exprimer le terme dérivé en fonction de donc.
    Pour cela j'ai utilisé la conservation de l'énergie mécanique, qui m'a permis d'exprimer la dérivée en fonction de .

    J'ai réinjecté dans ma première équation et j'ai trouvé le résultat de mon premier post, indépendant de la masse m de la sphère.

    Je pensais que c'était un exercice relativement classique, donc j'ai posé la question sans plus de précision.

    Sinon pour Sephiralo, le but de l'exo est justement de ne pas assimiler la sphère à un point matériel donc ce n'est pas si simple malheureusement.

    Merci pour vos réponses.

  17. #16
    coussin

    Re : Angle de décollage

    Citation Envoyé par Sephiralo Voir le message
    Pourquoi ne décollerait-elle jamais ? Le sol qui l'empêche ? Ce n 'est pas dans les conditions
    Mon calcul ne tient pas compte du rayon et je trouve une solution, comment expliquer mon résultat alors ? Je me suis trompé ?
    Y a pas de sol dans cette expérience de pensée.
    Ton calcul est la limite r<<R.
    Dernière modification par coussin ; 15/06/2013 à 21h43.

  18. #17
    coussin

    Re : Angle de décollage

    Citation Envoyé par coussin Voir le message
    Ton calcul est la limite r<<R.
    Enfin, théoriquement...
    Tu trouves acos(2/3) et la formule du message #1 donne, elle, acos(10/17). Y a ça qui colle pas...

  19. #18
    LPFR

    Re : Angle de décollage

    Bonjour.
    J'ai pris la peine de faire le calcul et, surprise, l'angle ne dépend ni de la masse ni de 'g' ni des rayons.
    Je trouve que l'angle est arcos(7/10) (par rapport à la verticale).
    Mais comme je fais souvent des erreurs dans ce type de calcul, je ne parierais pas plus qu'un café.

    Si Nobium veut vérifier ses calculs, je l'invite à donner des résultats intermédiaires. Par exemple, la vitesse tangentielle de la sphère en fonction de l'angle thêta.

    Au revoir.

  20. #19
    LPFR

    Re : Angle de décollage

    Citation Envoyé par LPFR Voir le message
    Bonjour.
    J'ai pris la peine de faire le calcul et, surprise, l'angle ne dépend ni de la masse ni de 'g' ni des rayons.
    Je trouve que l'angle est arcos(7/10) (par rapport à la verticale).
    Mais comme je fais souvent des erreurs dans ce type de calcul, je ne parierais pas plus qu'un café.

    Si Nobium veut vérifier ses calculs, je l'invite à donner des résultats intermédiaires. Par exemple, la vitesse tangentielle de la sphère en fonction de l'angle thêta.

    Au revoir.
    Re.
    Correction:
    Ça dépend quand même du rapport des rayons.
    Ça vient de la dépendance entre la vitesse tangentielle et la vitesse de rotation de la petite sphère sur la grande qui n'est pas V/r
    A+

  21. #20
    invite07941352

    Re : Angle de décollage

    Bonjour,
    Le problème est traité dans cette discussion :
    http://www.les-mathematiques.net/pho...,551151,551152
    N'hésitez pas à descendre dans les posts , jusqu'à atteindre la figure en couleurs .

  22. #21
    LPFR

    Re : Angle de décollage

    Bonjour Catmandou.
    La solution donnée dans le lien est erronée. C'est celle que j'avais calculée en premier.
    La vitesse angulaire de la bille n'est pas V/r car la bille tourne en même temps autour du centre de la grande sphère.
    La vitesse angulaire est:

    Ceci change l'énergie cinétique de la bille en fonction de la hauteur de chute.
    Au revoir.

  23. #22
    LPFR

    Re : Angle de décollage

    Citation Envoyé par LPFR Voir le message
    Bonjour Catmandou.
    La solution donnée dans le lien est erronée. C'est celle que j'avais calculée en premier.
    La vitesse angulaire de la bille n'est pas V/r car la bille tourne en même temps autour du centre de la grande sphère.
    La vitesse angulaire est:

    Ceci change l'énergie cinétique de la bille en fonction de la hauteur de chute.
    Au revoir.
    Re.
    Re-correction.
    Finalement la vitesse angulaire est bien V/r.
    Mais ce n'est pas évident, comme si la sphère roulait sur du plat. Il faut le démontrer.
    On ne peut pas l'affirmer tel quel.
    A+

  24. #23
    coussin

    Re : Angle de décollage

    Et apparemment, la différence entre le acos(2/3) et le acos(10/17), c'est les frottements (glisser sans rouler vs rouler sans glisser)
    Marrant (et contre-intuitif...) que ce soit finalement indépendant de r

  25. #24
    Nobium

    Re : Angle de décollage

    Bonjour et merci pour les réponses. En refaisant le calcul, je trouve une formule différente... Je vais donc expliciter les relations que j'obtiens:

    1) Le théorème de la résultante dynamique me donne

    2) J'écris ensuite la conservation de l'énergie mécanique. Par commodité, je dois paramétrer la rotation propre de la boule, je le fais à l'aide d'un angle (orienté dans le sens trigonométrique). La condition de roulement sans glissement me donne la relation cinématique (à l'aide de la formule de Varignon)

    La conservation de l'énergie s'écrit:

    avec

    On aboutit alors à =

    Soit finalement:

    Dernière modification par Nobium ; 16/06/2013 à 15h12.

  26. #25
    coussin

    Re : Angle de décollage

    Argh! Cette nouvelle formule donne maintenant asin(2/3) pour r<<R (pas acos, asin)

  27. #26
    invite07941352

    Re : Angle de décollage

    Re,
    J'ai de la ressource en matière de recherches ... A défaut de savoir faire les exercices , au moins rapidement ...
    Voici la bille qui glisse :
    http://e.m.c.2.free.fr/boule-sur-sphere.htm

  28. #27
    Nobium

    Re : Angle de décollage

    Alors pour le changement de cos en sin, j'ai l'explication: la première fois que j'ai fait le calcul j'ai pris l'angle par rapport à la verticale, tandis que la seconde fois je l'ai pris conformément au dessin que j'ai fourni en page 1, par rapport à l'horizontale.

    Par contre ça n'explique la forme de l'argument de mes fonctions.

    PS: Catmandou, dans ce lien, la boule glisse sans rouler donc le problème n'est pas le même!
    Dernière modification par Nobium ; 16/06/2013 à 17h31.

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