Variation de vitesse d'un satellite artificiel

[invite10382c6e]

Bonjour, à tous et à toutes,

Voila pour la rentrée en maths spé, notre professeur de physique nous a donné un petit dns a faire sur le chapitre des forces centrales et vitesse de satellisation. Le but étant de d'étudier le mouvement d'un satellite soumis a l'attraction de la terre. Le sujet se décomposant en deux parties, la première étant très classique avec la démonstration d'une trajectoire plane, l’utilisation des formules de Binet et les relations entre l'apogée et le périgée. Pour cette première partie je n'ai eu aucun problème. La seconde par contre, elle, me pose soucis et pour une question en particulier :

On suppose maintenant la trajectoire circulaire et uniforme de rayon ro et d'énergie mécanique Em constante.
->Etablir une relation simple entre l'énergie cinétique Ec et l'énergie potentielle Ep du satellite. (pas de soucis pour cette question)

Le satellite subit des frottements sur les hautes couches de l'atmosphère ; ces frottements sont équivalents à une force de freinage de module f = λmv². Ce freinage est très faible, et on peut supposer que les révolutions restent presque circulaires et que pour chacune d'elle, l'altitude h du satellite diminue de Δh avec Δh << h. L'altitude h est comptée à partir de la surface de la terre : r₀ = R_T + h.

Calculer la variation de vitesse Δv en fonction de Δh et de la période T de révolution.

J'ai suivi ma première intuition a savoir faire la différence de "l'instant d'avant-l'instant d’après". J'ai donc opéré comme calcul :

Δv= [2*pi*r₀-2*pi*(r₀-Δh)]/T

J'ai donc obtenu : Δv=(2*pi*Δh)/T. Le problème c'est que j'avais en tête que je devais trouver une variation de vitesse négative, or elle est ici positive. J'ai donc cherché sur le net et je suis tombé sur la même question qui me pose problème dont l’énoncé était exactement le même a la différence que la question était posée légèrement différemment. Je devais montrer que la variation de vitesse était Δv=-pi*Δh/T

Je fais donc appel a vous car là je suis perdu. Je ne vois tout d'abord pas pourquoi mon raisonnement serait faux, même si j'ai le sentiment que c'est le cas. En découle donc ma deuxième interrogation : comment aboutir au résultat demandé ?

Merci d'avance de votre aide.
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[albanxiii]

Bonjour,

En effet, quand le satellite perd de l'énergie son altitude diminue et sa vitesse augmente.
Ce que j'ai pu écrire ailleurs (trop fainéant pour réécrire la même chose, désolé) :

Il faut écrire que le satellite perd de l'énergie.

Son énergie totale est avec des notations évidentes (explication sur demande si besoin ).

En utilisant le principe fondamental de la dynamique et en en tirant l'accélération normale on trouve une relation entre et , soit dit autrement entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle : (qui, au passage, s'obtient aussi à l'aide du théorème du viriel).

On peut alors écrire . Là, il faut faire l'hypothèse que l'énergie perdue est faible et que ces relations restent valables si on prend les valeurs moyennes de et , par exemple sur une révolution. On trouve bien que la perte d'énergie entraîne une diminution de l'altitude et une augmentation de la vitesse.

C'est l'augmentation de la vitesse qui n'est pas intuitive, c'est pour cela que j'ai posé cet exercice. Pour info, une recherche sur Google avec les mots clés "satellite terrestre perte d'énergie" ou des mieux choisis, vous conduira vers des problèmes et exercices plus détaillés et corrigés. Là, j'ai fait "quick and dirty", juste pour avoir le résultat rapidement.

Sinon, avec votre énoncé, au de instants juste avant et juste après (avant / après quoi ?), faites plutôt une moyenne sur une période de révolution, c'est plus propre.

@+

[invite10382c6e]

Je me suis mal exprimé. J'ai pris l'expression à r0 c'est a dire sans perte d'altitude et je l'ai soustrait a son expression après une période de révolution soit r0-Δh. Mais je n'obtient pas le résultat voulu et je suis sur que c'est faux. En outre, et malgré l'aide que vous m'avez fourni, je ne vois pas en quoi cela peut résoudre mon problème.

Merci

[Amanuensis]

J'ai suivi ma première intuition a savoir faire la différence de "l'instant d'avant-l'instant d’après". J'ai donc opéré comme calcul :

Δv= [2*pi*r₀-2*pi*(r₀-Δh)]/T

T n'est pas constant. Cette expression ignore la variation de T, qu'on peut obtenir à partir par exemple de la 3ème loi de Képler, (R+h)^3/T^2 constant.

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Re,

En outre, et malgré l'aide que vous m'avez fourni, je ne vois pas en quoi cela peut résoudre mon problème.

Et bien pardon d'essayer de vous faire réfléchir, et de vous aider. On ne m'y reprendra plus !

@+

[invite10382c6e]

@Amanuensis : Ah d'accord, évidemment dans ce cas je ne peux pas faire ce que j'ai fait. Merci de votre aide . Une intégration pourrait elle alors résoudre mon problème ? J'y ai pensé mais je ne vois pas quelle fonction poser.

@albanxiii : Je ne voulais pas vous manquer de respect, ce n’était pas mon intention et si c'est le cas je m'en excuse. J'ai juste du mal a voir vers quoi cela peut m'amener voila tout.

[Amanuensis]

@Amanuensis : Ah d'accord, évidemment dans ce cas je ne peux pas faire ce que j'ai fait. Merci de votre aide . Une intégration pourrait elle alors résoudre mon problème ? J'y ai pensé mais je ne vois pas quelle fonction poser.

(R+h)^3/T^2 constant permet de trouver une relation entre dh et dT, et donc au premier ordre entre Δh et ΔT

On a Δv= 2*pi*r0/T-2*pi*(r0-Δh)/(T - ΔT)

Je vous laisse continuer.

(On peut aller plus vite entre utilisant la troisième loi pour établir une relation entre la v et h...)

[invite10382c6e]

Merci énormément de votre aide ! Je pense que ça ira désormais, merci.