L'équation de Schrodinger et larelativitée

[Floris]

Bonjour,

Il me semble saufe erreur de ma part, que l'équation de Schrödinger est dépendante du référentiel n'est ce pas?

Merci bien
-----

[coussin]

L'équation de Schrodinger n'est pas invariante de Lorentz, non.

[holons]

bonjour,
La mécanique quantique à la SChrodinger est galiléenne. Si on veut une équation de mouvement
covariante sous l'action du groupe de Lorentz et qui soit du premier ordre en dt et qui puisse s'interpréter comme une équation de SChrodinger, on obtient l'équation de Dirac.
a+

[Deedee81]

Salut,

On peut appliquer en relativité la même technique de construction de l'équation que pour Schrödinger.
En physique non relativiste, on part de :
E= p²/2m (+ potentiel)
On remplace l'énergie E et l'impulsion p par les opérateurs correspondant appliqués à la fonction d'onde.
Et on obtient Schrödinger.

Si on fait la même chose avec l'équation relativiste :


On obtient l'équation de Klein-Gordon, qui est totalement relativiste.
Toutefois, bien que valide (elle décrit des particules scalaires), appliquée à l'atome, les résultats sont franchement médiocres (l'électron n'est pas une particule scalaire).

L'idée est alors de chercher, comme Holons l'a dit, une forme relativiste du premier ordre en dt, comme l'équation de Schrödinger. C'est possible mais uniquement si on admet que les coefficients sont matriciels et la fonction d'onde un objet à deux ou quatre composantes (bispineur).

On vérifie que l'équation de Dirac ainsi obtenue décrit une particule chargée de spin 1/2. Appliquée à l'atome elle donne des corrections relativistes très précises.
(ce qui est comique c'est qu'initialement Dirac a cherché une autre équation que K-G car celle-ci présente des états d'énergie négative.... et l'équation de Dirac ne résout pas ça !!!! Ca s'appelle trouver une solution en cherchant autre chose, une marque du génie ? , les états d'énergie négative ont été résolus imparfaitement par la mer de Dirac.... inapplicable à l'équation K-G, puis de manière tout à fait correcte par la quantification du champ).

Pour revenir à la question originale.

L'équation de Schrödinger est invariante sous un changement de référentiel, mais en appliquant les transformations de Galilée.
Si l'on applique une transformation de Lorentz on aura forcément une équation altérée (à vrai dire, je ne me suis jamais amusé à faire ça).
Pour l'invariance sous les transformations de Lorentz, retour ci-dessus à Klein-Gordon, Dirac et bien d'autres (les équations de Maxwell sont à mettre dans le même panier à oeufs, elles servent de base comme les deux autres à la quantification du champ, idem équations de Proca, interaction en phi4, etc. etc.)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Floris]

Bonjour à tous,

Merci pour votre participation. Une petite question, on en fais quoi des états d'énergie négatif prédit par la formule de Dirac ?

C'est quoi exactement cette histoire de "mer de Dirac" ?

Merci beaucoup

[albanxiii]

Bonjour,

Un truc à oublier.

@+

[Floris]

Bonjour,

Un truc à oublier.

@+

Bonjour

C'est à dire?

Merci

[Amanuensis]

C'est à dire?

La mer de Dirac n'a qu'un intérêt historique. Cela a été remplacé par la notion d'anti-particule, sur un pied d'égalité avec les particules.

[Deedee81]

Salut,

La mer de Dirac est une grosse astuce que Dirac a trouvé pour résoudre le problème des états d'énergie négative (rendant tout atome instable, ce qui est absurde). C'est plus qualitatif que quantitatif même si cela a le mérite de faire quelques prédictions. De plus elle n'est valide que pour les fermions.

Je suis sûr qu'il y a un article sur Wikipedia là dessus.

La bonne solution a été mise en place en théorie quantique des champs.

[Floris]

Bonjour,

Merci pour vos explications.

Si je n’abuse, d'après ce que j'en comprend de comment apparaissent ces anti-particules, on pourrais les voir comme si c'étais des objets qui remonter le temps, d'ou l’instabilité?

La théorie quantique des champs, est t'elle compatible avec la RR ?

Merci bien

[mariposa]

Bonjour,



La théorie quantique des champs, est t'elle compatible avec la RR ?

Merci bien

Bonjour,

Parfaitement compatible car cela n' a rien a voir

[Floris]

Bonjour,

Parfaitement compatible car cela n' a rien a voir

Bonjour,

Ah bon ! ? Je n'y connais rien en théorie quantique des champ mais d'après ce que j'ai compris de deedee81, cette théorie résout les problèmes d'état d'énergie négatifs? Même ci ce son deux chose différentes, la théorie quantique des champ devrai fonctionner après transfo de lorentz non? (vu que ces état d'énergie négatif ne devrai pas dépendre du référentiel) non?

Merci bien

[Deedee81]

Salut,

Concernant la relativité, la théorie quantique des champs est une théorie relativiste. Il n'y a donc pas de problème de compatibilité (même si le formalisme n'est pas manifestement covariant, mais ça c'est un autre problème, ça nécessite juste de faire attention et de vérifier l'invariance relativiste).

Si je n’abuse, d'après ce que j'en comprend de comment apparaissent ces anti-particules, on pourrais les voir comme si c'étais des objets qui remonter le temps, d'ou l’instabilité?

Olàlà, que de confusions (mais à ta décharge, on a manqué de précision plus haut).

Bon, tout d'abord, l'instabilité (théorie) des atomes décrit par l'équation de Dirac (ou de KG) n'a rien à voir avec les antiparticules ou le temps. C'est juste parce que le spectre en énergie des électrons est non borné par le bas. Il y a un spectre d'énergie positive : E=mc² (masse de l'électron) + énergie due à l'état (niveaux électroniques) et -mc² - énergie due à l'état. Avec un gap entre les deux de 2mc². Du fait de ces états d'énergie négative, l'électron même dans l'état de base habituel peut "tomber" dans un état d'énergie négative en émettant un photon, puis continuer ainsi indéfiniment.
EDIT : je le donne en mille : ce 2mc² n'est pas innocent. Il est lié à la création d'une paire électron/positron qui nécessite cette énergie. Mais ça ne se voit pas sur l'équation de Dirac.

En physique classique le problème se pose aussi (c'est dû au carré dans E² = p²c²+etc.). Mais ce n'est pas grave : on peut ignorer purement et simplement les énergies négatives.

Ici, on ne peut pas : les états sont couplés. Ainsi, on montre que si on essaie de localiser un électron avec des composantes d'énergie positive uniquement, il évolue vers un état mélangeant composantes positives et négatives.

Ensuite, l'autre chose, les états qui remontent le temps. Ce n'est qu'une interprétation formelle, purement mathématique, il ne faut surtout pas prendre cela au sens physique.
Dans les équations quantiques, on a toujours un terme du style exp(-i*E*t) (a un facteur hbar près que je n'ai pas noté, il y a aussi un terme lié à la position du style k.x, k = vecteur d'onde).

E positif revient à une particule qui se déplace en avant dans le temps.
Avec E négatif, comment l'interpréter ?
Vu de manière brutale, ça donne une particule qui remonte le temps.
Mais E*t a le même signe si les deux variables changent de signe.
Donc, en fait c'est mathématiquement équivalent à une particule d'énergie positive qui avance dans le temps.

On applique alors une symétrie CPT qui change le signe de tout ça, tout en laissant le résultat inchangé (la physique est invariante sous cette symétrie, c'est démontré directement à partir des postulats quantiques et relativistes) et la particule change aussi de charge (symétrie C). La particule d'énergie négative remontant le temps (formellement) est en réalité, physiquement, une antiparticule d'énergie positive avançant dans le temps.
(à noter que tout ça n'interdit pas les états d'énergie négative, c'est inévitable quand on fait de la théorie quantique des champs en espace-temps courbe, mais là c'est moins problématique, mais, bon, c'est aussi beaucoup plus compliqué).

Comme la physique est invariante sous CPT cela signifie que les antiparticules sont exactement identiques (même masse etc.) aux particules mais avec les charges et spin inversés.
Cela n'empêche pas une violation CP (avec une violation identique de T, qui compense dans CPT) impliquant une asymétrie dans les réactions matière-antimatière (c'est le cas du méson K, admirablement expliqué je trouve dans le cours de Feynman où il faut juste appel aux lois de conservation et à l'arsenal de base de la mécanique quantique, pas de symétrie CPT, pas de théorie des champs,...)

[Floris]

Bonjour et merci beaucoup beaucoup pour cette très intéressante intervention.

Juste une question très naïve de ma part: Es ce que les inégalités d'Heisenberg sont présente dans l'équation de Schrodinger et ou de Dirac ? Ou cela même ci c'est lié, mais reste extérieur à l’équation?

Je ne suis pas certain d’être très claire sur la question, c'est probablement à cause du principe d'incertitude...

Je connais le formalisme de l’équation de Schrödinger mais cela ne veux pas dire qu'on en comprend nécessairement le mécanisme profond.

Merci

[Deedee81]

Salut,

Juste une question très naïve de ma part: Es ce que les inégalités d'Heisenberg sont présente dans l'équation de Schrodinger et ou de Dirac ? Ou cela même ci c'est lié, mais reste extérieur à l’équation?

Humm... j'hésite à dire extérieur on intérieur

L'équation de Schrödinger ou de Dirac concerne une fonction d'onde (ou un vecteur d'état, ou...., tout dépend du formalisme).

La fonction d'onde n'a pas de position, ni d'impulsion, etc.... C'est un objet "étalé" (comme une onde, d'où son nom et aussi que l'équation de Schrödinger est fort proche d'une équation d'onde). Mais elle encode tout ce qu'il y a à savoir sur l'état du système et en particulier : les positions et impulsions possibles et leurs probabilités.

Pour obtenir la valeur d'une variable, position, impulsion, etc.... On utilise un opérateur (hermitique) qui représente cette variable. Notons le O (cela dépend de la représentation, mais dans la représentation position, O pour la position est "multiplier par x", et pour l'impulsion c'est "dériver par rapport à x", à un facteur près). Les valeurs possibles (mesurables) sont les valeurs propres, c'est-à-dire les valeurs Oi et les fonctions d'ondes Fi tel que : O(Fi) = Oi*Fi.

On montre qu'une fonction d'onde quelconque peut se développer comme Psi = A1*F1 + A2*F2 +.... Et les Ai donnent la probabilité de mesurer la valeur correspondant à Fi.

On voit donc qu'une fonction d'onde donnée peut avoir des valeurs "imprécises" (dans un certains sens) de la position, de l'impulsion, etc....

On montre que si deux opérateurs O1 et O2 commutent O1*O2 = O2*O1, alors il existe des fonctions d'onde ayant des valeurs précises à la fois pour O1 et O2 (c'est facile à démontrer).
Mais ce n'est pas le cas lorsque cela ne commute pas.

Les opérateurs position et impulsion, x et p, ne commutent pas (à vérifier avec "fois x" et "dériver par x", c'est facile).
On a x*p différent de p*x (plus précisément x*p-p*x = [x,p] = i*h/2pi).

Dans ce cas là, on montre (c'est plus compliqué) qu'aucune fonction d'onde ne peut avoir de valeur précise à la fois pour x et p, et on montre que la relation des incertitudes ce n'est autre que les relations de Heisenberg.

Voilà, j'espère que c'est un peu plus clair (j'ai fleurté avec l'abstraction, mais je vois mal comment faire mieux dans un message aussi court)

[mariposa]

Bonjour,

Ah bon ! ? Je n'y connais rien en théorie quantique des champ mais d'après ce que j'ai compris de deedee81, cette théorie résout les problèmes d'état d'énergie négatifs? Même ci ce son deux chose différentes, la théorie quantique des champ devrai fonctionner après transfo de lorentz non? (vu que ces état d'énergie négatif ne devrai pas dépendre du référentiel) non?

Merci bien

Bonjour,

Le problème posé par la présence d'un terme avec des énergies négatives n'a rien à voir avec la TQC ni avec la RR. Il s'agit d'un "simple" problème d'interprétation.

L'idée a été de considérer que le signe négatif est non pas attaché a l'énergie de l'électron mais a un électron de charge positive, autrement dit une particule nouvelle appelée positron. ainsi Positron et électron sont conceptuellement identiques a la charge électrique près.

[mariposa]

Salut,

Concernant la relativité, la théorie quantique des champs est une théorie relativiste. Il n'y a donc pas de problème de compatibilité (même si le formalisme n'est pas manifestement covariant, mais ça c'est un autre problème, ça nécessite juste de faire attention et de vérifier l'invariance relativiste).

LA TQC et la RR sont des choses qui n'ont vraiment rien à voir:

La TQC est une extension a la quantification de particules en nombre infini cad à un champ F(r,t) ou r prend une valeur continue.

Les physiciens du solide sont les premiers utilisateurs de la TQC quand ils peuvent simplifier un problème en une forme continu.

Dans les livres d'introduction à la physique des particules élémentaires on introduit souvent la TQC a partir d'une chaîne linéaire d'atomes reliés par des ressorts. En passant à la limite continue, les atomes sont infiniment petits et infiniment proches et on a un modèle simple de TQC. En fait il s'agit du traitement de la branche des phonons acoustiques qui a pour limite en centre de zones de brillouin un champ d'élasticité que l'on va quantifier. Il n y a donc aucun rapport avec la RR.

La RR tu connais il s'agit de décrire des phénomènes physiques dans un espace x,y,z,t qui forme un tout. La RR n’entraîne en aucune façon la TQC, la preuve:

Quand on traite les contributions relativistes dans un atome, une molécule ou un solide comme les électrons internes (qui ont une vitesse relativiste) ou le couplage spin-orbite (qui est phénomène purement relativiste) on ne fait pas appel a la TQC car on traite un nombre fini d'électrons en interactions. D'ailleurs il faut noter que dans les cristaux de Silicium GaAs etc.. l'effet du couplage spin-orbite est du même de grandeur du gap (ceci est responsable des trous légers et des trous lourds qui n'ont pas la même relation de dispersion et donc de masse).

Par contre la QED est une théorie relativiste ET qui en plus fait appel a la TQC, mais encore une fois l'un n’entraîne pas l'autre et réciproquement.

[Amanuensis]

LA TQC et la RR sont des choses qui n'ont vraiment rien à voir

+1.............

[Floris]

Bonjour mariposa,

Merci beaucoup pour vos précisions. Sa m'éclairci pas mal de chose.

Un grand merci

[0577]

Bonsoir,

quelques remarques :

1) il peut y avoir des confusions avec l'expression "équation de Schrödinger", cela peut signifier
a) l'équation vérifiée par la fonction d'onde d'une particule quantique non-relativiste dans un potentiel V(x) :


b) une équation valable pour n'importe quel système quantique, qui est en quelque sorte la définition de l'opérateur
hamiltonien du système : l'évolution temporelle doit se faire de manière unitaire par conservation des probabilités,
d'où un opérateur d'évolution unitaire qui peut s'écrire où H est un opérateur
auto-adjoint par définition l'hamiltonien du système par rapport au temps t (le générateur infinitésimal des translations suivants t), on a alors, pour tout état
de l'espace de Hilbert du système, l'équation d'évolution, dite de Schrödinger :



L'interprétation a) est celle historique, écrite pour la première fois par Schrödinger.
Cette équation est invariante sous le groupe de Galilée mais pas sous le groupe de Lorentz. L'interprétation b) est celle qui devrait à mon
avis être celle par défaut pour un interlocuteur contemporain : c'est un énoncé fondamental, car valable pour tout système quantique,
relativiste ou non. Dans un cadre relativiste où il n'y a pas de temps privilégié, le t est "un" temps
(et H dépend du choix de ce temps) : on a toujours de droit d'en choisir un (au moins en relativité restreinte).
L'équation de Schrödinger générale (b)) n'est alors pas "manifestement relativiste" mais cela ne
signifie pas qu'elle ne l'est pas. La question est de savoir si les quantités mesurables (comme les probabilités de transition ) sont invariantes relativistes :
cela dépend de H, il existe des systèmes quantiques relativistes et des systèmes quantiques non-relativistes.

Bien sûr, le système de a) est un cas particulier de b) pour un H particulier et dans ce cas, on a un système quantique non-relativiste.

2) Les équations de Klein-Gordon, Dirac, Maxwell... sont relativistes mais ce ne sont pas des équations de Schrödinger ni des
analogues relativistes d'une équation de Schrödinger qui serait non-relativiste. Ces équations sont soit des équations
vérifiées par des champs classiques, soit des équations vérifiées par des champs quantiques, i.e. par des champs d'opérateurs
d'une théorie quantique, mais ne sont en aucun cas des équations vérifiées par un vecteur d'état d'une théorie quantique
(historiquement, l'évolution a été assez compliquée mais ce n'est pas le sujet).

3) Pour mieux comprendre 2), il faut comprendre comment l'on construit des théories quantiques relativistes.
Une manière générale de construire une théorie quantique est par quantification d'une théorie classique. Si on oublie les détails techniques,
et si la théorie classique est présentée sous forme canoniques, i.e. avec des coordonnées (généralisées) et des moments conjugués,
on prend pour espace de Hilbert un espace de fonctions sur l'espace des coordonnées classiques et on construit un opérateur
hamiltonien opérant sur cet espace en remplaçant dans l'hamiltonien classique les coordonnées par les opérateurs de multiplications par
les coordonnées et les moments par des opérateurs de dérivation par rapport aux coordonnées.
Cette procédure s'appelle la quantification canonique.

Le système a) de 1) est par exemple obtenu par quantification de la théorie classique non-relativiste d'un point matériel se
déplaçant dans un potentiel.

La quantification canonique peut s'appliquer (modulo détails...) à n'importe quel système classique, en particulier à une théorie de champs classiques :
on a alors un espace de coordonnées de dimension infinie. Une théorie quantique des champs est une théorie quantique obtenue de cette
façon : l'espace de Hilbert est un espace de fonctions sur un espace de dimension infinie, on a un hamiltonien, les états suivent
l'équation de Schrödinger b). L'équation de mouvement vérifiée par les champs classiques devient une équation vérifiée par des opérateurs
de la théorie quantique mais cela n'a pas de rapport direct avec l'équation de Schrödinger.

Comme expliqué par mariposa, une théorie quantique des champs n'a pas de raison d'être relativiste : il suffit de quantifier canoniquement une théorie
des champs non-relativistes, et ces théories sont en effet très importantes en physique de la matière condensée.
Pour construire une théorie quantique des champs, on pourrait se dire qu'il suffit de quantifier canoniquement une théorie classique de champs relativistes:
en fait, ce n'est pas suffisant, il faut que la théorie classique relativiste soit assez particulière (en particulier, l'invariance relativiste implique une
symétrie particules/antiparticules), mais c'est néanmoins possible dans certains cas (TQC classiques : théories libres, QED, théories de jauge en général...).
Une théorie compatible avec la relativité (restreinte) et avec la physique quantique est extrêmement contrainte : sauf exception très
spéciale (en gros la théorie des cordes), une telle théorie est nécessairement une théorie quantique des champs.

En ce sens, je ne suis pas d'accord avec mariposa quand il écrit qu'il n'y a aucun rapport entre TQC et RR: certes une TQC n'a pas de raison d'être
relativiste, mais une théorie quantique relativiste est nécessairement une TQC (incertitudes d'Heisenberg + équivalence masse/énergie implique
création de paires). La description d'un nombre fini d'électron dans un solide ou de l'interaction spin-orbite ne se fait pas dans le cadre d'une théorie
exactement relativiste : on ne fait qu'ajouter des termes correctifs d'origine relativiste à un hamiltonien, ce qui donne une théorie quantique
à un nombre fini de degrés de libertés qui est à peu près relativiste mais qui ne l'est pas exactement (elle cesse d'être valide à des échelles d'énergie
comparables à la masse des particules quand les corrections radiatives ne peuvent plus être négligées : bien sûr un physicien du solide
ne s'intéresse pas à ces échelles d'énergies et il a parfaitement raison de ne pas faire de TQC mais il ne fait pas de théorie quantique exactement relativiste).

[mariposa]

Bonsoir,


En ce sens, je ne suis pas d'accord avec mariposa quand il écrit qu'il n'y a aucun rapport entre TQC et RR: certes une TQC n'a pas de raison d'être
relativiste, mais une théorie quantique relativiste est nécessairement une TQC (incertitudes d'Heisenberg + équivalence masse/énergie implique
création de paires). La description d'un nombre fini d'électron dans un solide ou de l'interaction spin-orbite ne se fait pas dans le cadre d'une théorie
exactement relativiste : on ne fait qu'ajouter des termes correctifs d'origine relativiste à un hamiltonien, ce qui donne une théorie quantique
à un nombre fini de degrés de libertés qui est à peu près relativiste mais qui ne l'est pas exactement (elle cesse d'être valide à des échelles d'énergie
comparables à la masse des particules quand les corrections radiatives ne peuvent plus être négligées : bien sûr un physicien du solide
ne s'intéresse pas à ces échelles d'énergies et il a parfaitement raison de ne pas faire de TQC mais il ne fait pas de théorie quantique exactement relativiste).

Bonjour,

Ce que tu dis est juste mais il subsiste une ambiguïté quant aux statuts des corrections relativistes dont tu écris:

" théorie quantique à un nombre fini de degrés de libertés qui est à peu près relativiste mais qui ne l'est pas exactement....."

Pour clarifier la question on part de l'espace de la QED regardé comme produit tensoriel de 3 espaces excitations électrons, excitations positrons, excitations photons. Ces 3 espaces sont couplés (il n y a pas a ce niveau de couplage dans les espaces excitations électrons et espace excitations positrons).

On s’intéresse a un système physique dans un état nu de N électrons libres. Ce sous-espace est couplé directement et indirectement à tous les spectres d'excitations. le problème est donc d'écrire un hamiltonien effectif agissant dans ce sous-espace et représentatif pour le mieux de tous les couplages. Ceci doit se faire sans trop de difficultés dans la mesure où la constante de couplage électromagnétique est faible et donc appropriée au calcul de perturbation.

La première chose a faire est d'éliminer la composante longitudinale du champ électromagnétique et de la transformée en interaction coulombienne agissant dans le sous-espace des N électrons. C'est évidemment le gros morceau. On doit pouvoir faire de même pour le champ magnétique associé aux courants associés des électrons de l'espace a N électrons et c'est là que je voulais en venir car le couplage spin-orbite se fait désormais complètement dans le sous-espace a N électrons et nous sommes a très très basse énergie devant mc2 ou plutôt 2m.c2. Il faut avoir présent à l'esprit que le champ magnétique est lui-même un effet relativiste (qui disparaît si c est infini).

Le point important est de noter que a ce niveau il n'est pas intervenu d'excitations de paires électrons-positrons, pour la simple raison que nous sommes a très basse énergie et pourtant des effets relativistes, mais pas tous, se manifestent complètement dans ce sous (espace a N électrons). De même le décalage de Lamb qui est lui un effet également de correction relativistes a basse énergie implique des corrections qui nécessitent des excitations électrons-trous et ne peut se comprendre que dans un cadre complet QED et donc de TQC. Encore que l'équipe de Claude Cohen-Tannoudji a démontrer que dans les multiples contributions au décacalage de Lamb existent des contributions "classiques" (au sens défini ci-dessous).