Circuits electriques : solution unique ou pas

[LeLama]

Bonjour,

On considere un circuit electrique avec des resistances, des generateurs de courant continu et des generateurs de tension.

Je cherchais les conditions pour avoir existence et unicité d'une solution au systeme d'equations qu'on ecrit (loi des noeuds et loi des mailles). Je n'ai pas trouvé la reponse dans la litterature que j'ai cherchée.

Apres un peu de reflexion, j'ai pu ecrire les condtions sur le graphe pour qu'il y ait une et une seule solution. Et dans le cas ou la solution n'est pas unique, je sais compter la dimension de l'espace des solutions.

Ma question : est-ce que c'est dejà écrit quelque part ? Sans doute et dans ce cas, il faudrait qu'on enrichisse wikipedia et qu'on pointe vers la publi scientifique ou le bouquin, car c'est vraiment une question de base. Ou bien est-ce que ca vaut le coup que j'ecrive la demonstration proprement ?
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[LPFR]

Bonjour.
Dans un circuit avec des composants courants comme des résistances, condensateurs, selfs, etc., la solution est unique.
Avec des composants actifs (transistors, amplis-OP), ou des composants à résistance négative (diode tunnel) il peut avoir plus d'une solution stable et des solutions instables (oscillations).
Au revoir.

[LeLama]

Non lfpr ce n'est pas correct. Le cas le plus simple est de mettre deux piles en cour circuit. Mais il y a une infinite d'autre cas.

[stefjm]

Bonjour,
La problématique est trop simple pour être dans des livres.
Il suffit de vérifier si la caractéristique de la résistance équivalente coupe celle de la source équivalente.
Comme c'est un problème affine, il suffit de trouver l'intersection de deux droites.

Si elles sont sont parallèles, votre circuit a un soucis...
Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Non lfpr ce n'est pas correct. Le cas le plus simple est de mettre deux piles en cour circuit. Mais il y a une infinite d'autre cas.

Bonjour.
Je ne suis pas sur de ce que vous entendez par "deux piles en court-circuit".
- Chacune séparément ?
- les deux piles tête-bêche ?
- les deux piles en parallèle ?

Je ne sais pas ce qui arrive dans votre monde de mathématiques. Dans le monde dans lequel nous vivons, il n'y a qu'une seule solution.
Au revoir.

[LeLama]

@Stefjm
Le probleme est que la notion de resistance equivalente ne marche que pour des circuits "pour les etudiants" qui sont tres simples.
Je vous pose la question plus formellement, pour traiter tous les cas, et pas seulement les exercices simples posés aux étudiants.

Vous vous donnez un graphe, pas nécessairement planaire, dont les segments contiennent l'un des trois élements suivants: une pile, un generateur de courant, ou une resistance. On ecrit les equations. Le systeme affine a-t-il une solution unique (apres choix d'un point de potentiel zero). La reponse est loin d'etre trop simple pour etre ecrite dans un livre : il faut compter les composantes connexes de certains sous-graphes...

[invite21348749873]

Bonjour
Si vous admettez que les tensions et les courants de tous les segments sont reliés par des relations linéaires, je ne vois pas comment il pourrait y avoir plusieurs solutions.
Et comme il est dit plus haut, si vous construisez n'importe quel assemblage de composants, et que vous injectiez de l'énergie dans certains points (piles, batteries, etc..), vous constaterez que des courants de valeur déterminée, toujours la même, circulent.
En fait c'est peut etre moi qui ne comprends pas bien votre question.

[LeLama]

@lfpr
Oui, je suis d'accord que en pratique la solution est souvent unique.

Mais il est plus sain de repondre totalement a la question avec des arguments theoriques, que de tatonner. Quelqu'un qui me dirait (je ne dis pas que vous l'avez dit) "j'ai monté plusieurs centaines de circuit et je n'ai jamais eu de probleme" me semble tres faible.

Il faut aussi se souvenir du bug du "gimbal lock" et des moteurs brulés sur Appolo pour voir que des evenements qui arrivent rarement arrivent quand meme de temps en temps.

Pour revenir a l'exemple concret vous prenez un circuit avec deux points, et deux segments qui rejoignent les deux points. Sur chacun des segments, vous mettez une pile. Il n'y a jamais de solution unique. Suivant le choix des potentiels, vous avez zero solution ou une infinité de solutions ( les potentiels sont fixés mais les courants ne sont pas determines).

[LeLama]

@arcole
Ecrivez les equations pour l'exemple que je donne, et faites les calculs. Vous comprendrez mieux. Un systeme affine n'a pas une solution unique. Il a une solution unique seulement s'il est carré et si le determinant de la matrice sous-jacente est non nul.

[LPFR]

...
Pour revenir a l'exemple concret vous prenez un circuit avec deux points, et deux segments qui rejoignent les deux points. Sur chacun des segments, vous mettez une pile. Il n'y a jamais de solution unique. Suivant le choix des potentiels, vous avez zero solution ou une infinité de solutions ( les potentiels sont fixés mais les courants ne sont pas determines).

Re.
Je préfère des circuits dessinés et non "racontés".
Toute source de tension réelle (comme une pile) à une tension qui diminue avec le courant tirée de la source. Que cette variation soit linéaire où non ne change rien. Il faudrait que la tension en fonction du courant tiré soit "oscillante" pour que deux piles branchées ensemble aient plus d'une solution stable. Et ce qui est pire est qu'une d'elles doit avoir une zone de résistance dynamique négative. Avec des résistances négatives (comme les diodes tunnel) on obtient des circuits bistables ou des oscillateurs.
Je vous mets au défi de dessiner une fonction tension-courant (sans zone de résistance négative) pour une pile qui donne des solutions multiples quand on branche deux piles ensemble.

Vous pensez bien que cette possibilité existait elle aurait été découverte il y a bien de décennies et on en parlerait dans tous les manuels d'ingénierie électrique ou électronique.
A+

[LeLama]

Bien sur que ca devrait etre ecrit. Le contraire serait surprenant. Relisez mon premier message. Il se trouve simplement que je n'ai rien trouve' dans la litterature, y compris dans le bouquin de Nilssson-Riedel qui fait quand meme 700 pages sur les circuits.

Dans le cas ou il n'y a qu'une seule pile, Maxwell avait remarque' que la topologie du graphe jouait un role et il avait d'ailleurs introduit la notion de nombre cyclomatique pour montrer l'unicité de la solution. Dans ce cas particulier il y a demo d'unicite' dans un livre d'introduction a la topologie algebrique de Giblin. Mais il utilise des complexes de chaine et c'est un peu un marteau pour ecraser une mouche. On peut ecrire une demo plus simple et accessible aux etudiants (avancés) de premier cycle, qui traite en plus le cas général (plusieurs piles et generateurs de courant) avec des techniques d'algebre lineaire basique, meme si c'est un peu technique.

Je reviens a l'exemple. Vous avez deux points p1 et p2. Vous branchez un pile entre p1 et p2. Puis une deuxieme pile entre p1 et p2. Je ne vois pas comment dire ca plus simplement. Les piles ont des differences de potentiels prescrites a leurs bornes qu'on appelle d1 et d2. On note U1 et U2 les potentiels en les points p1 et p2, i1,i2 les courants dans les pile. Les equations sont :
U1-U2=d1 (premiere pile)
U1-U2=d2 (deuxieme pile)
U1=0 (choix de la masse)
i1+i2=0 ( loi des noeuds)

Si d1=d2, les solutions forment un espace affine de dim 1. Si d1 est different de d2, il n'y a pas de solution.

[stefjm]

@Stefjm
Le probleme est que la notion de resistance equivalente ne marche que pour des circuits "pour les etudiants" qui sont tres simples.
Je vous pose la question plus formellement, pour traiter tous les cas, et pas seulement les exercices simples posés aux étudiants.

Moi aussi, je suis formel, dans les deux sens du terme. (et je vous pris de croire que je maitrise ce sujet.)
Il y a trois cas possibles pour un système linéaire.

Une seule solution : Cas dont parle LPFR en les qualifiant de réels, vous avez une matrice de déterminant non nul, la solution est donnée formellement par l'intersection de deux droites.

Matrice nulle :
deux cas :

Pas de solution : Vous avez l'intersection à l'infini de deux droites parallèles, donc pas de solution mathématique. (vous avez des équations identiques et le second membre est différent) Physiquement en passant à la limite, deux solutions infinies, dont une instable physiquement, vous aurez donc l'autre qui fera fumer votre montage.
Exemple : deux sources de tension têtes bêches de valeurs différentes.

Une infinité de solution : Vous n'avez plus assez de contraintes (équations) pour toutes vos inconnues. Le déterminant est nul car vos équations sont liées (redondantes). Il y a donc une infinité de solution.
Exemple : deux sources de tension têtes bêches de même valeur. Le courant peut être quelconque.
(LPFR ne sera pas d'accord avec ce point et il vous dira que d'après le principe (bien obscure) de Curie, le courant ne peut être que nul. Je ne suis bien évidement pas d'accord avec lui.)

Si vous avez l'hypothèse linéaire, tout se ramène toujours à ces trois cas.

Finalement, c'est quand même dans les livre...
https://www.google.com/search?q=elec...ient=firefox-a
http://www.j3ea.org/articles/j3ea/ab...j3ea06058.html

Cordialement.

[LPFR]

...
Je reviens a l'exemple. Vous avez deux points p1 et p2. Vous branchez un pile entre p1 et p2. Puis une deuxieme pile entre p1 et p2. Je ne vois pas comment dire ca plus simplement. Les piles ont des differences de potentiels prescrites a leurs bornes qu'on appelle d1 et d2. On note U1 et U2 les potentiels en les points p1 et p2, i1,i2 les courants dans les pile. Les equations sont :
U1-U2=d1 (premiere pile)
U1-U2=d2 (deuxieme pile)
U1=0 (choix de la masse)
i1+i2=0 ( loi des noeuds)

Si d1=d2, les solutions forment un espace affine de dim 1. Si d1 est different de d2, il n'y a pas de solution.

Re.
Pouvez-vous dessiner le circuit (ou: je suis con, mais je ne vois pas votre montage). ?

Pouvez-vous dessiner la courbe tension-courant de vos piles ?
Sans cela je ne vois pas l'intérêt de continuer à discuter. Ce sera un dialogue de sourds.
Regardez ici:
http://forums.futura-sciences.com/ph...s-jointes.html
A+

[LeLama]

Vos references ne repondent pas a ma demande.

Je vous pose la question autrement. Vous ecrivez un programme. Vous entrez le circuit sous forme matricielle en mettant dans la matrice de resistances R la valeur R(i,j)=valeur de la resistance entre les points pi et pj. De meme vous entrez les piles et les generateurs de courant.

Question : Y-a-il des solutions ? Comment calculer la dimension de l'espace des solutions ?

Je ne veux donc pas faire un exemple particulier. Mais avoir un theoreme qui me donne la reponse en general.

Laurent.

PS: je ne comprends pas vos histoires de droites. Si vous avez un systeme 30x30, c'est qui les droites ?

[LPFR]

Re.
Je vois que ce n'est pas la peine de continuer.
J'arrête.
A+

[stefjm]

PS: je ne comprends pas vos histoires de droites. Si vous avez un systeme 30x30, c'est qui les droites ?

Cas du déterminant non nul
Système 2x2 : intersection de deux droites, donc un point.
Système 3x3 : intersection de trois plans, donc un point.
Système nxn : intersection de n espaces de dimension (n-1)

Non?

[stefjm]

Question : Y-a-il des solutions ? Comment calculer la dimension de l'espace des solutions ?
Je ne veux donc pas faire un exemple particulier. Mais avoir un theoreme qui me donne la reponse en general.

Cherchez coté résolution de système d'équation linéaire par déterminant, matrice, Cramer, etc...
http://maths.insa-lyon.fr/~sturm/TEL...A1_systeme.pdf

[LeLama]

@lfpr
Non, je ne peux pas dessiner la courbe reponse de mes piles, car je considere des generateurs parfaits. Ma question n'est pas celle de la vie reelle. Elle est la suivante. On considere un monde parfait, comme celui qu'on enseigne aux etudiants de premiere annee. On ecrit les equations comme c'est demande' dans le cours. On resout. Dans tous les exos pour etudiants, la solution est unique. Mais ce n'est pas le cas general. Je cherche ou est ecrit le cas general, qui décrit la dimension de l'espace des solutions.

Qu'est ce qu'on repond a un bon etudiant qui demande : monsieur, a quelle condition il y a une solution unique ?

Pour le dessin, je n'ai pas la patience de le faire. Je ne cherche pas a discuter de la pertinence de mes calculs. Si vous n'etes pas convaincu, c'est pas grave. Je cherche DES REFERENCES. Je ne veux pas ecrire un truc qui est deja ecrit, c'est tout.

[LeLama]

@stefjm
Euh, merci, je connais cramer et compagnie. Je repete que je ne cherche pas de l'aide pour les maths ni pour valider ce que j'ai ecrit. Je cherche a savoir si, dans ce qu'on enseigne aux etudiants, les conditions pour avoir une solution unique sont ecrites quelque part dans le cas ou il y a des piles, des generateurs de courant, et des resistances. Oui ou Non. Et ou.

[stefjm]

Ben, si vous connaissez Cramer, vu que c'est exactement la même problématique, votre problème est résolu...

Ou alors, je n'ai pas compris votre question.

[LPFR]

@lfpr
Non, je ne peux pas dessiner la courbe reponse de mes piles, car je considere des generateurs parfaits. Ma question n'est pas celle de la vie reelle. Elle est la suivante. On considere un monde parfait, comme celui qu'on enseigne aux etudiants de premiere annee. On ecrit les equations comme c'est demande' dans le cours. On resout. Dans tous les exos pour etudiants, la solution est unique. Mais ce n'est pas le cas general. Je cherche ou est ecrit le cas general, qui décrit la dimension de l'espace des solutions.
...

Re.
Dans ce forum, quand quelqu'un met des sources de tension idéales (pas de PILES !) en court-circuit ou des sources de courant en circuit ouvert, on les ajoute au "bêtisier" que tient stefjm.
Car c'est une grosse connerie, et non le cas général.
Cela donne des courants ou des tensions infinies et non des solutions indéterminées ou multiples.
Donc, votre situation avec des sources de tension en court-circuit ne mérite pas une autre destination.
Et cette fois, j'arrête vraiment définitivement.
A+

[stefjm]

Dans ce forum, quand quelqu'un met des sources de tension idéales (pas de PILES !) en court-circuit ou des sources de courant en circuit ouvert, on les ajoute au "bêtisier" que tient stefjm.
Car c'est une grosse connerie, et non le cas général.

Cela dépend des cas d'utilisation.
Si la question se pose pour par exemple la programmation d'un simulateur, c'est bien évidement légitime.

Cela donne des courants ou des tensions infinies et non des solutions indéterminées ou multiples.

Multiple non (avec des systèmes linéaires)
mais indéterminé OUI.
Ce sont des maths élémentaires et j'ai bien évidement pléthores d'exemples physiques.

Donc, votre situation avec des sources de tension en court-circuit ne mérite pas une autre destination.

Vous êtes un peu dur.

Ce que je ne comprends pas dans la demande de LeLama : Il voudrait apparemment une autre solution que celle évidente qu'on trouve en maths.

Cordialement.

[LeLama]

@Stefjm

Je comprends ce que vous ne comprenez pas, je crois....

Comme vous l'avez vu, quand deux generateurs de tension sont en court circuit, le systeme a une solution vide ou un espace de dim 1 si les tensions sont compatibles. Je suis d'accord avec ce que vous avez ecrit sur le sujet.

On a par exemple l'enonce' suivant qui est plus general. Soit C un circuit dont la dimension de l'espace des solutions est n. On ajoute a C un genereteur de tension, l'espace des solutions devient
- vide ou est dimension n+1 si la pile fait un court circuit
- est de dimension n si le generateur de tension ne fait pas de court circuit.

C'est un enonce' de nature physique et/ou geometrique, pas un enonce' sur les determinants (meme si la demonstration passe evidemment par l'algebre lineaire basique). Essayez de demontrer cet enonce' proprement, vous verrez que c'est assez penible

Il est possible dans le cas le plus general de formuler de meme des conditions physiques/geometriques permettant de decrire la dimension des systemes en comptant des cours circuits et des composantes connexes a partir de constructions sur le graphe. C'est une description physique de l'espace des solutions, pas une description mathematique en termes de determinant. Il est probable que quelqu'un ait deja ecrit ca. Je cherche les references.

@lfpr
Ajoutez moi au betisier si ca vous fait plaisir.

[stefjm]

D'accord. J'ai compris.

1) Je ne vois pas trop l'intérêt. (Sans doute parce que la solution par algrèbre linéaire me va très bien.)

2) Il faut peut-être chercher coté théorie des graphes?

A mon avis, quand plus personne du forum de physique ne saura quoi dire sur le sujet, il faudra demander à un modérateur, le transfert de cette discussion dans le forum de mathématique du supérieur et donner une version mathématisée du problème. Il faudra aussi dire que la solution évidente de l'algèbre linéaire ne vous convient pas car ce sera sans doute celle proposée en premier.

Perso, j'atteinds mes limites mathématiques sur ce sujet.

Cordialement.

[LeLama]

@Stefjm

OK, je suis content qu'on se comprenne.

Pour le point 1). C'est une question de gout. Pour ma part, je ne suis pas satisfait quand on dit que le systeme n'a pas de solution parce que le determinant est nul. Je veux savoir pourquoi au sens physique. Quelles sont les conditions physiques qui correspondent a cet énoncé mathématique ? Il y a les court-ciricuits, comme on vient de le voir. Est-ce que c'est tout ?

Pour le point 2), j'ai deja un enonce' et une demonstration quasi-complete (faut quand meme que je relise...) Je cherche simplement a savoir si ca vaut le coup de mettre au propre et d'ecrire les details manquants. Ca prend quand meme un peu de temps et si c'est deja ecrit dans un bouquin, c'est inutile. Sinon, ca peut servir a quelques etudiants curieux de comprendre au dela des exercices.

[stefjm]

Pour le point 1). C'est une question de gout. Pour ma part, je ne suis pas satisfait quand on dit que le systeme n'a pas de solution parce que le determinant est nul. Je veux savoir pourquoi au sens physique. Quelles sont les conditions physiques qui correspondent a cet énoncé mathématique ? Il y a les court-ciricuits, comme on vient de le voir. Est-ce que c'est tout ?

L’algèbre linéaire dit qu'il y a le cas dual déjà signalé par LPFR :
source de courant parfaite ouverte.
source de tensuin parfaite en court-circuit.

Pour le point 2), j'ai deja un enonce' et une demonstration quasi-complete (faut quand meme que je relise...) Je cherche simplement a savoir si ca vaut le coup de mettre au propre et d'ecrire les details manquants. Ca prend quand meme un peu de temps et si c'est deja ecrit dans un bouquin, c'est inutile. Sinon, ca peut servir a quelques etudiants curieux de comprendre au dela des exercices.

Ca ne m'étonne pas qu'on ne le trouve pas.
C'est de mon point de vu inutilement complexe et pas opérationnelle comme méthode.

Si on a à le programmer, on passe par des matrices et c'est bêtement systématique.
Si on a à le calculer à la main, ma vision synthétique me va mieux, et on simplifie par morceau le circuit.

Cordialement.

[LeLama]

@Stefjm

Les gouts et les couleurs...

Mettons nous d'accord sur le fait que la question est scientifiquement bien posee : donner une estimation de la dimension des solutions du systeme a partir d'informations lues sur le graphe.

Je prends acte que la reponse a cette question ne t'interesse pas. Les gouts et les couleurs comme je disais...

[stefjm]

Tout à fait.
En fait, je suis un peu faignant. Quand j'ai une solution simple qui me convient, je n'en cherche pas d'autres.
Ton approche intermédiaire, plus complexe que la mienne, respecte la topologie du circuit et sera donc une solution plus près de la physique.

L'ironie, c'est que cette solution devrait plaire à LPFR quand il en aura compris l'intérêt.

Tu aurais peut-être des réponses si tu demandes à déplacer ce topic en électronique. Il y a peut-être là-bas des gens qui ont programmé des logiciels de simulation et qui sont donc habitués à ce genre de problématique "intermédiaire".

Cordialement.

[LeLama]

Dans le livre de Frankel (geometry of physics, appendice B), il y a une demo de l'unicite' dans le cas d'un circuit purement resistif alimente' par des sources de courant.

Mais comme Giblin, Frankel sort l'artillerie lourde. Il identifie le courant a des 1-chaines sur le graphe, le potentiel a des 0 cochaines, et les resistances comme des metriques permettant d'identifier les 1-chaines et les 1-cochaines. Les lois usuelles se traduisent alors avec ce formalisme en disant qu'on connait le laplacien du potentiel. Une solution pour le potentiel est alors definie a une cochaine harmonique pres, et on verifie facilement que les 0-cochaines harmoniques sont les constantes. Donc le potentiel est determiné a une constante additive pres. Ouf !

Il ne traite pas le cas general, mais je trouve quand meme la preuve un peu magique car il n'y a quasiment aucun calcul. Ca m'épate.

Il traite aussi le cas ou il ajoute quelques piles en parallele avec des resistances et cite quelques sources qu'il faudrait que j'aille regarder...

[LeLama]

J'ai finalement posé la question sur physics stackexchange. J'aurai peut etre plus de chance :
Pour ceux qui veulent suivre ( en Anglais) :

http://physics.stackexchange.com/que...ectric-circuit