Abondance du carbone 14

[invited1ed38da]

Bonjour,

Sachant que le carbone 14 a un taux de production constant S et une durée de vie moyenne qui vaut b, je dois écrire une équation différentielle qui régit le nombre de noyaux de C14 en fonction du temps. C'est sensé être un des exercices les plus simples de mon poly, et pourtant je suis complètement bloqué!
J'imagine que dN/dt est égal à la production moins la perte de C14.

La production est constante, donc S * t.
Pour la perte, j'ai envie de dire qu'elle est de N(t) / b.

J'arrive donc à l'équation différentielle dN/dt = S - N/b. Je résous l'équation homogène, ce qui me donne dN/dt = Aexp(-t/b)
Ensuite je cherche une solution particulière du même type que le second membre S : une constante, ce qui me donne N = S * b

Je somme les deux solutions particulières pour avoir la solution générale, N(t) = Aexp(-t/b) + S*b
Mais en dérivant je m'apercçois que ça n'est pas du tout solution de mon problème!

Pouvez-vous me dépanner?
Merci d'avance
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[Amanuensis]

Mais en dérivant je m'apercçois que ça n'est pas du tout solution de mon problème!

Sûr?.......

[invited1ed38da]

Et bien ici dN/dt = (-1/b)N, je ne retrouve pas S... non?

[Amanuensis]

d/dt (Aexp(-t/b) + S*b) = -(A/b)exp(-t/b)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited1ed38da]

Oui je suis d'accord, mais l'équation différentielle que j'avais posé disait :
dN/dt = -N/b + S, et lorsque je dérive ma solution je ne retrouve pas le S

[Amanuensis]

Regarder mieux...

[invited1ed38da]

Vraiment je suis désolé si je ne suis pas assez malin, mais je ne vois pas.
L'équation différentielle est dN(t)/dt = S - N(t)/b
Si je dérive la solution d/dt (Aexp(-t/b) + S*b) = -(A/b)exp(-t/b) != -N(t)/b + S, il manque le S...

[Amanuensis]

Si je dérive la solution d/dt (Aexp(-t/b) + S*b) = -(A/b)exp(-t/b) != -N(t)/b + S, il manque le S...

d/dt (Aexp(-t/b) + S*b) = -(A/b)exp(-t/b) = -1/b ( A exp(-t/b)) = -1/b (N - S*b) = -N/b + S

[invited1ed38da]

Oh. Ben merci beaucoup!

[Amanuensis]

Avez-vous réalisé où était le problème?

(Sinon, "merci" parce que j'ai donné la ligne à recopier sur la feuille, ça ne m'intéresse pas des masses...)