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Volant à inertie variable et conservation de l'énergie



  1. #1
    ZOZO
    J'ai un petit problème philosophique lié à un volant à inertie variable composé comme suit :

    Imaginons des ressorts de traction relié radialement à un même axe central. Au bout de chaque ressort une masselotte de masse quelconque. On va supposer pour la tenue du système que les masselottes sont guidées radialement par des rayons solides qui partent également du centre de rotation. On met le tout progressivement en rotation.

    Plus l'ensemble va tourner vite, plus les ressorts vont se tendre, plus le moment d'inertie va augmenter, donc plus j'aurai d'énergie à dépenser pour augmenter la vitesse angulaire. Inversement quand le système va avoir tendance à diminuer de vitesse angulaire à cause des frottement, les ressorts vont diminuer les distances des masselottes au centre et se faisant déterminer des forces de Coriolis qui vont à nouveau réaugmenter la vitesse angulaire (comme la danseuse sur glace qui tournant sur elle même rapproche les bras).

    L'énergie que j'ai à fournir pour augmenter la vitesse angulaire de mon système dépendait-elle uniquement de l'augmentation du moment d'inertie de l'ensemble de mes masselotes ou également de l'augmentation de l'énergie de traction de mes ressorts ?

    -----


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  3. #2
    Coincoin
    Salut
    Quand tu mets ton système en mouvement, il y a 2 types d'énergie : l'énergie cinétique, mais aussi l'énergie potentielle contenue dans tes ressort tendus. Quand le système ralentit, les ressorts ne font que transformer progressivement leur énergie potentielle en énergie cinétique...
    Soit dit en passant, je ne pense pas qu'il s'agisse des forces de Coriolis, mais plutôt d'une conservation du moment cinétique
    Encore une victoire de Canard !

  4. #3
    ZOZO
    Citation Envoyé par Coincoin
    Salut
    Quand tu mets ton système en mouvement, il y a 2 types d'énergie : l'énergie cinétique, mais aussi l'énergie potentielle contenue dans tes ressort tendus. Quand le système ralentit, les ressorts ne font que transformer progressivement leur énergie potentielle en énergie cinétique...
    Soit dit en passant, je ne pense pas qu'il s'agisse des forces de Coriolis, mais plutôt d'une conservation du moment cinétique
    Lorsqu'une danseuse sur glace qui tourne sur elle même ramène les bras vers elle par exemple, elle imprime une vitesse à des masses dans un référentiel en mouvement rotatif, c'est bel et bien la condition sine qua none d'apparitions de forces dites de Coriolis du nom de son découvreur.
    Ce sont bel et bien les pseudo-forces d'inertie de Coriolis qui assurent précisemment la conservation (aux frottements près) du moment cinétique, et c'est bien en cela que Langevin avait démontré en son temps que l'inertie est une caractéristique intrinsèque de l'énergie.

  5. #4
    Coincoin
    Au temps pour moi...
    C'est vrai que quand on y réfléchit les forces de Coriolis se cachent derrière la conservation du moment cinétique ops:
    Encore une victoire de Canard !

  6. #5
    Rincevent
    quelques remarques:

    - c'est un problème très intéressant (à garder dans un coin pour des étudiants je crois)
    - les forces de Coriolis ne travaillent pas (force orthogonale à la vitesse)
    - les forces centrifuges (radiales) s'opposent aux ressorts et c'est elles qui jouent vraiment
    - dans cette situation, le système est conservatif et on peut donc trouver tout ce que l'on veut en considérant que l'énergie (potentielle des ressorts + de rotation via la primitive de la force centrifuge) est conservée et sans avoir à se préoccuper des forces de Coriolis.

    L'énergie que j'ai à fournir pour augmenter la vitesse angulaire de mon système dépendait-elle uniquement de l'augmentation du moment d'inertie de l'ensemble de mes masselotes ou également de l'augmentation de l'énergie de traction de mes ressorts ?
    des deux inévitablements, ton énergie totale est un truc du genre:

    E(l,Omega) = - m l<sup>2</sup> Omega<sup>2</sup> + K (l - l_0)<sup>2</sup>

    où m est la masse (j'imagine deux masses ponctuelles de même masse), l la distance des masses par rapport à l'axe, Omega la vitesse de rotation, K la raideur des ressorts et l_0 leur longueur à vide.

    tu vois que si Omega = l - l_0 = 0, alors ton système n'a aucune énergie. Pour le faire arriver à une certaine vitesse Omega, tu devras donc lui fournir une énergie qui est donnée par la formule précédente.

    à ceci près qu'il faut encore trouver l... or, pour obtenir l, il suffit de dire que le système est à l'équilibre: la dérivée de l'énergie E par rapport à l est nulle (à Omega fixé).

    on trouve alors

    l = l_0 ( 1 + m Omega<sup>2</sup> / ( K - m Omega<sup>2</sup>) )

    on voit au passage que si K = m Omega<sup>2</sup>, on a un problème...

    mais par ailleurs, pour que le système soit dans un équilibre stable, il faut que la dérivée seconde de E par rapport à l (toujours à Omega fixé) soit positive: on aboutit à la condition

    K &gt; m Omega<sup>2</sup>

    ce qui nous permet:
    - de voir que l &gt; l_0 pour que l'équilibre soit stable
    - que la valeur trouvée K = m Omega<sup>2</sup> correspond pour un système donné (K et m fixés) à la valeur maximale de la vitesse angulaire que le ressort peut supporter. Si Omega devient plus grand que la racine carrée de (K/m), le ressort casse (ou au moins perd ses propriétés ressordesques).

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    C++
    Au temps pour moi...
    C'est vrai que quand on y réfléchit les forces de Coriolis se cachent derrière la conservation du moment cinétique
    Et le contraire aussi

    A quoi servent les forces d'inertie d'un repere sinon a appliquer d'un point de vue non inertiel les lois mecaniques etablies dans les reperes d'inertie coincoin

    Citation Envoyé par Rincevent
    -les forces de Coriolis ne travaillent pas (force orthogonale à la vitesse)
    Non mais elles ont un moment.

    Au reste dans un systeme tournant le moment cinétique ne se conserve meme pas..

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  10. #7
    Rincevent
    Non mais elles ont un moment.
    je n'ai jamais dit le contraire: je parlais de ça pour justifier le fait que l'on n'a pas besoin d'elles pour étudier ce problème.

  11. #8
    C++
    Citation Envoyé par Rincevent
    Non mais elles ont un moment.
    je n'ai jamais dit le contraire: je parlais de ça pour justifier le fait que l'on n'a pas besoin d'elles pour étudier ce problème.
    Lut'

    Voui mais j'ai l'impression que l'argumentation de zozo est juste sur certains points.

    Prenons une tige accrochée a une grosse roue et faisons glisser une petite boule trouée dessus..

    La boule avance orthogonalement a l'axe de la roue elle cree donc comme il l'a dit une force de coriolis qui est fatalement dirigée orthogonalement a la vitesse comme tu l'as dit donc elle ne travaillerait pas si la boule etait libre.

    MAIS la boule n'est PAS libre et elle transmet toutes les forces qu'elle subit a la roue qui recoit un moment non nul et une qté de mouvement non nulle.

    Donc : Les forces de coriolis ont travaillé a cet instant ce qui est contraire a leur definition.. Que s'est il passé ?

  12. #9
    ZOZO
    Pour ma part je raisonne beaucoup plus facilement avec les forces de Coriolis qu'avec la conservation de l'énergie parce que c'est beaucoup plus intuitif. Quand on voit une patineuse rapprocher ses bras tourner tout à coup plus vite on sent tout de suite intuitivement qu'elle se prend bel et bien un couple de forces qui n'ont rien de pseudo.

    Sur ce les forces d'inertie qu'on dit ne pas exister vu depuis un référentiel galiléen ont bel et bien pour effet de tirer sur les ressorts et cette traction est bien visible depuis un repère galiléen. Les forces d'inertie c'est un peu comme la poule et l'oeuf. On dit que le ressort tire sur les poids pour maintenir leur trajectoire circulaire et donc par réaction il y a une force centrifuge réelle, mais on a intuitivement l'impression que c'est exactement le contraire : c'est parce qu'il y a une pseudo-force qui en l'occurrence n'a rien de pseudo qu'en réaction les ressorts se mettent en traction.

  13. #10
    C++
    Slut

    Citation Envoyé par Zozo
    je raisonne beaucoup plus facilement avec les forces de Coriolis qu'avec la conservation de l'énergie
    C'est ton droit !

    c'est beaucoup plus intuitif. Quand on voit une patineuse rapprocher ses bras tourner tout à coup plus vite on sent tout de suite intuitivement qu'elle se prend bel et bien un couple de forces qui n'ont rien de pseudo.
    Et pourtant,il est tres clair que la patineuse n'a recu le moindre moment de force total.Simplement celui pris aux de ses bras anciennement etendus s'est transferé au reste de tout son corps.Pas besoin d'une quelconque force pour expliquer cet effet : uniquement celles qui assurent sa cohesion.

    Si on jouait sur les mots et qu'on appelait "patineuse" son organisme en dehors de ses bras,il est clair que en ce qui le concerne il a subi une action caracterisée par un couple de forces.Mais ce ne sont point des forces de Coriolis(et tout le monde est d'accord qu'elles existent dans tous les referentiels possibles).

    Sur ce les forces d'inertie qu'on dit ne pas exister vu depuis un référentiel galiléen ont bel et bien pour effet de tirer sur les ressorts et cette traction est bien visible depuis un repère galiléen. Les forces d'inertie c'est un peu comme la poule et l'oeuf.
    Si les pseudo forces sont "imaginaires" les effets qu'on leur attribue eux sont bien réels et physiquement observables sinon c'est bien le diable si il se trouvait quelqu'un pour les utiliser.Enfin a mon avis..



    On dit que le ressort tire sur les poids pour maintenir leur trajectoire circulaire et donc par réaction il y a une force centrifuge réelle, mais on a intuitivement l'impression que c'est exactement le contraire : c'est parce qu'il y a une pseudo-force qui en l'occurrence n'a rien de pseudo qu'en réaction les ressorts se mettent en traction.
    On a cette intuition parce que psychologiquement on a toujours une tendance a oublier que toute acceleration reclame une ou des forces et on imagine mieux la situation en se liant a un objet depourvu de mouvement.

    Grosso modo les pseudo forces n'ont pour fonction que de mettre "entre parentheses" des accelerations qui sont liées directement au systeme d'ou on les etudie et d'etudier correctement la dynamique sans sortir du systeme non galiléen employé(autrement,on compterait deux fois les forces en question !)

    Les 2 explications se basent au fond sur la meme idée : les poids veulent suivre tranquillement leur trajectoire rectiligne uniforme et donc s'en aller du ressort qui doit les retenir.Et le seul l'unique moyen qu'il a d'y arriver,c'est de se rallonger.Dans l'"explication centrifuge" on dit que ils sont entrainés par une force radiale.Le resultat final sur le ressort est exactement identique.(Je ne vois pas ou une "force centrifuge reele" joue.).

    C'est comme un satellite geostationnaire..Pour expliquer son mouvement(ou son non-mouvement) depuis la Terre il suffit de remarquer que la ou il se trouve champ de gravité et champ de forces centrifuges s'equilibrent pleinement. Explication tres sympathique donc mais elle fait parfois oublier que seule l'action de la gravité terrestre existe reelement.Du moins c'est la seule qui ait une origine concrete identifiable(car du point de vue einstenien le champ centrifuge et la gravité ne sont qu'un !).

  14. #11
    mcsu

    Re : Volant à inertie variable et conservation de l'énergie

    Je voulais savoir si vous aviez comment calculer l effort qu'il faut fournir a un volant d inertie pour le faire bouger de son axe de rotation ( en fonction de sa vitesse de rotation, de sa matrice d inertie etc)

    merci d'avance .

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