Démonstration de la loi de Snell-Descartes

[invite310c9da0]

Bonjour à tous !

Alors je m'étais mis à étudier l'optique géométrique. J'ai donc emprunté un bouquin sur ce domaine, dont le contenu est assez enrichissant.
Cependant, j'ai un petit problème...

En effet, l'auteur a démontré la loi de Snell-Descartes avec un vulgaire exemple (illustration du principe de Fermat avec un maitre nageur qui surveille une plage au point P1 et qui aperçoit une nageuse en détresse située au point P2. Le but était de savoir quel chemin devait-il prendre pour atteindre P2 le plus rapidement possible, ce qui est une autre formulation "concrète" du principe de Fermat)

Passons. L'auteur obtient la relation suivante lors de son raisonnement :



Avec v1 et v2 qui sont des vitesses mais qui sont pas nécessaires dans mon problème puisque mon problème est purement d'ordre mathématique.
Ensuite, l'auteur réalise donc une dérivée partielle de f en fonction de y. Je n'ai pas réellement vu les dérivées à plusieurs variables en cours mais j'ai globalement compris la méthode qui consistait à ne pas dériver x mais seulement dériver y.

Il obtient donc :



Je n'ai pas tellement compris pourquoi :
- il obtient 1/2 à deux reprises
- le numérateur devient dénominateur
- "2y" passe en haut (je sais qu'il provient du y^2)
- l'apparition du (-1)

Si quelqu'un pourrait m'aider pour m'éclaircir à ce sujet, ce serait vraiment super !

Merci d'avance et à bientôt !
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[phys4]

Bonjour,
En consulta,t les tables de dérivation vous verrez que la dérivée de
est égale

donc la dérivation des racines fait apparaitre le facteur 1/2 à chaque fois avec passage de la racine au dénominateur.
S'il y a moins un signe moins devant la variable que l'on dérive, ce signe se reporte en facteur.

[invite310c9da0]

Alors excusez moi des aberrations avec le langage TEX. Sur la première équation le carré n'est pas celui de la racine mais celui de (y0-y)
Ensuite, dans la deuxième équation sqrt(x^2+y^2) est bien évidemment la racine carré de x^2+y^2)

Désolé pour le doublon !

[invite310c9da0]

Bonjour phys4,
Oui ! J'ai complètement oublié de dériver la racine ce qui explique tous les points que j'ai mentionné ci-dessus.

Je vous remercie de l'aide !

Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

Pas de difficulté, il manque une barre de rapport également devant v2, j'avais vu les erreurs d'écriture et j'en ai tenu compte,

vu que la mise en équation de ce problème est très simple.