Résistivité électrique en éléments finis

[ceddesm]

Bonjour,

Supposons un volume cubique (1km3) d'une matière de résistivité homogène Rho (en Ohm.km). Puis-je dire que je peux modéliser ce km3 par 4 resistances en parallèle (chacune correspondant à une arête de 1km de mon km3) de valeur (en Ohm bien sûr) de 4xRho chacune ?


Si maintenant je découpe mon km3 en 8 cubes de 500m d'arête et que je veux donner une valeur de résistance électrique à chaque arête de façon à ce que l'ensemble de ces 8 cubes accolés (et formant toujours mon km3) ait toujours une résistivité de Rho, quelle serait la valeur (en Ohm) de chaque arête ? Je propose la valeur de Rhox9/2. Vos avis SVP ?

Merci.
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[LPFR]

Bonjour.
La réponse est un grand NON.
Tout dépend de la position des contacts avec ce km cube.
Par exemple, si ce sont deux contacts (parfaitement conducteurs) sur deux des faces opposées, vous êtes en tarin d’ignorer le courant que « bave sur les bords » des autres 4 faces.
Si les contacts sont sur deux faces adjacentes, il se passe des choses au niveau de l’arête commune.
Et je passe ce qui arrive si les contacts sont sur des arrêtes ou sur des sommets.
Au revoir.

[ceddesm]

Messagé complété


Bonjour,

Merci pour votre contribution. Il m'avait semblé que la résistivité correspondait à la résistance vue par un courant qui renter dans le cube par une face et resort par la face oppose du cube. C'est la raison pour laquelle j'avais propose que le courant passé par les 4 arêtes qu'il voit quand il pénètre dans le cube. Ainsi, je considère que le courant renter sur une face correspoondant à une plaque coductrice et que le courant se dirige ensuite verrs les arêtes perpendiculaires à cette face. de mêm pour la sortie du courant sur la face opposée. ce qui m'intéresse est ce qui se passé entre les deux faces d'entrée et de sortie si on considère que seules les arêtes sont conductrices.
Quant à la subdivision du cube en 8 cubes, j'iimagine que c'est plus complexe que ce que j'avais imagine. Quelle serait votre approche si on considère que ces 8 cubes sont remplis d'un milieu isolant (comme l'air) et que le courant n'est autorisé à circuler que dans les arêtes des cubes ?

Bonne journée.

[LPFR]

Re.

Il m'avait semblé que la résistivité correspondait à la résistance vue par un courant qui renter dans le cube par une face et resort par la face oppose du cube.

C’est vrai à condition que le cube soit isolé dans l’espace et que le potentiel soit uniforme dans chacune des faces d’entrée et sortie.

Si vous nous expliquiez ce que vous voulez calculer, au lieu de nous donner votre solution sans préciser le problème, on pourrait, peut-être, vous aider.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[ceddesm]

En fait, mon but est de determiner des potentiels électrique dans un sol non uniforme (plusieurs résistivités selon les couches, ou strates) lorsque ce sol est pénétré par un courant de défaut. J'ai CST, un logiciel d'éléments finis en CEM mais je ne le maîtrise pas assez pour m'assurer que la façon don't je le manipule est correcte. L'idée m'est donc venue de modéliser mon sol en elements finis et d'en faire les calculs avec un logiciel de simulation de circuits électriques, où U=R.I me pose moins de difficulté. Je suis donc parti de l'idée de modéliser mon sol en cubes don't les parties conductrices se limiteraient aux arêtes des cubes, l'intérieur des cubes étant une matière isolante. Ainsi, je maîtrise mieux le chemin du courant de défaut et je peux prendre le potential dans le sol en calculant le potential en un coin d'un cube correspondant à l'endroit où je cherche à determiner mon potentiel.
POur simplifier, je suppose que les faces supérieures des cubes constituent la surface du sol sont pleinement conductrices et équipotentielles. Le courant de défaut rejoint ainsi les l'ensemble des coins supérieurs de mes cubes (toujours ceux formant la surface de mon sol) puis penetrant ainsi vericalement, latéralement et obliquement dans mon sol, donc vers les autres cubes qui constituent les couches de plus en plus profondes du sol.

Reste à paramétrer mes cubes par des resistances sur leurs arêtes. Je considère au depart que mon sol est homogène, donc que toutes les arêtes de tous mes cubes ont une résistance égale. La question est maintenant de savoir comment determiner cette résistance, d'où mon post.

Je n'ai pas mis la genèse de mon étude pour aller à l'essentiel et ne pas saoûler mes lecteurs. Je peux encore préciser/clarifier si besoin est.

Cordialement.

[LPFR]

Bonjour.
Comme j’avais une idée que c’était un problème de sol, je vous ai donné l’exemple de la résistance entre deux piquets.
Comme ça n’a pas eu l’air de vous intéresser, je vous suggère de calculer analytiquement la résistance entre deux sphères conductrices concentriques séparées par un milieu de résistivité connue.
Regardez ce que vous obtenez quand le rayon de la sphère interne tend vers zéro.

Dans votre problème, ce que vous savez est que le potentiel satisfait la condition du Laplacien nul (∇²Φ = 0), soit : la valeur du potentiel dans un endroit est égale à la moyenne du potentiel des points qui l’entourent.
La modélisation doit commencer au niveau des contacts que l’on considère comme équipotentiels. Cela veut dire que la dimension des mailles doit être petite devant les dimensions des contacts. Mais cela donne un nombre trop élevé de mailles. Il faut donc faire un maillage variable : petit près des contacts et qui s’agrandit en s’éloignant.

Mais le problème est vieux comme le monde. Cherchez sur le web et vous avez de chances de tomber sur des logiciels et des méthodes utilisés.
Au revoir.

[ceddesm]

Bonjour,

Concernant les sphères, désolé de ne pas avoir donné suite. Intuitivement, je me dit que cette résistance tend verrs l'infini quand le rayon tend vers zero, car la surface de contact sphère/sol diminue. Par contre, je ne saurais le démontrer analytiquement (comment calculer une résistance de contact ?). Vos lumières seront très appréciées !
Si on en revient à mes cubes, je suis parfaitement d'accord avec votre condition du Laplacien nul, et je suis également d'accord de considerer les contacts (donc les arêtes des cubes puisqu'il n'y a qu'elles qui sont conductrices) comme équipotentiels. En revanche, le problème, même s'il est vieux comme le monde, est-il resolvable analytiquement mais sans éléments finis ?

Merci et bonne soirée.

[LPFR]

Bonjour.
Pour les sphères ça donne effectivement infini, quand le diamètre tombe à zéro.
Et pour deux cylindres coaxiaux, c’est la même chose.
Donc, pour deux piquets à terre, il faut que le maillage soit petit comparé aux toutes les dimensions des piquets.

Et non. Les seuls problèmes de ce type solubles analytiquement sont ceux avec assez de symétrie pour pouvoir prédire la forme des équipotentielles. Comme celui des deux sphères concentriques ou deux cylindres coaxiaux.

Les autres, il faut les calculer par éléments finis, ou faire des modèles avec des cuves rhéologiques, comme à l’époque des dinosaures.
Au revoir.