Multiple Ressorts et loi de Hooke

[arctick]

Bonjour à tous,

J'ai pour effectuer mes calculs sur de multiples ressorts, je m'explique.

Dans un repère orthonormé (x, y). Je trace un cercle de rayon r = 1 avec un centre aux coordonnées (0,0).

Je place un ressort à quatre points :
r1 (1, 0)
r2 (0, 1)
r3 (-1, 0)
r4 (0, -1)

Ces 4 ressorts sont tous reliés entre eux. Donc si ils ont tous la même raideur, le point de liaison se trouve en coordonnée (0,0).

Seulement, ces ressorts ont tous une raideur différente (en UA):
r1 (4)
r2 (5)
r3 (8)
r4 (1)

Au vu des données, on se doute que le point de liaison sera orienté vers r3.

Ma question est donc. Si je souhaite calculer la position du point de liaison, puis-je utiliser la loi de Hooke. Sachant que je n'ai comme variable, que la raideur des ressorts. L'idée, j'imagine, est de considérer les ressorts 1 à 1 et de calculer son allongement en fonction des autres. Dans ce cas, est ce que je peux considérer les autres ressorts comme un poid (avec une masse) determiné par la somme de leurs raideurs. Cela me semble un peu moyen comme méthode. Je ne vois pas comment faire.

Merci d'avance à vous !!!
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[phys4]

Bonjour,

Avoir la raideur des ressorts, c'est bien, et il manque encore la longueur des ressorts au repos.

Si jamais cette longueur vaut 1 pour tous les ressorts, alors le point d'équilibre est encore le centre.

[arctick]

Bonjour et merci pour votre réponse,

En effet, on considère que la longueur des ressorts au repos est identique pour tous les ressorts (et donc elle n'entre pas en compte).

Du coup je ne comprends pas votre réponse. Cela signifie que peu importe la raideur des ressorts, le point d'équilibre est toujours au centre ?

[LPFR]

Bonjour et bienvenu au forum.
Oui. La longueur des ressorts entre en ligne de compte.
Imaginez que la longueur à vide soit égale à la diagonale. Ils vont tous pendre sans tension.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[arctick]

En effet, vu comme ça c'est logique.

Mais dans le cas qui m’intéresse, la longueur au repos importe peu et ne doit pas entrer en ligne de compte. Si besoin je prendrais un valeur très faible pour les calculs mais ce n'est pas ça qui est intéressant ici.

L'idée c'est de savoir comment on peut calculer l'élongation des ressorts, sachant que chaque ressort est attaché au 3 autres ressorts.

[phys4]

Pour les petits déplacements autour du centre, les équations de mouvement sont séparables sur les deux dimensions :
- 2 ressorts ajoutent leurs effets en x, et les deux autres en y, car les petits déplacements ont un effet négligeable sur la longueur des ressorts de l'autre dimension.
- il existe alors deux périodes d'oscillation distinctes, propres à chaque axe.

[LPFR]

Re.
L’énergie potentielle élastique d’un ressort est E = ½k(L - ℓo)²
Où L est la longueur actuelle et ℓo la longueur au repos.

Si X et Y sont le point d’équilibre que vous cherchez, écrivez l’énergie potentielle de chaque ressort et faites la somme des quatre énergies.

X et Y doivent satisfaire la condition que c’est un minimum d’énergie potentielle. Donc la dérivée partielle de l’énergie par rapport à X et par rapport à Y doivent être nulles.
Cela vous donne deux équations (probablement merdiques) et deux inconnues.

Yaka... croiser les doigts pour espérer trouver une méthode pour les résoudre.
A+