Écoulement irrotationnel autour d'une sphère solide

[invitee244f4d2]

Bonne journée à toutes et à tous,

Je ne m'arrive pas à bien comprendre la question suivante, qui a été posée en un petit exercice concernant la mécanique des fluides, que je viens de vous poser tout de suite dans l'espoir que quelqu'un y trouvera la meilleure démarche de résolution:

On cherche un potentiel des vitesses de la forme w(r,x)=f(r).cos(x). Ce potentiel vérifie l'équation de Laplace [laplacien de w = à 0]. il nous faudra approuver que cette f(r) obéit à l'équation d'Euler qui est: r²*df(r)/dr² +2 r*df(r)/dr -2 f(r)=0 , avec div (v:vecteur)= 0

Je vous remercie pour votre aide,
cordialement.
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[azizovsky]

Bonjour, essaye d'utiliser le laplacien en coordonnées sphériques qui dépend seulement de r avec r=V(x²+y²+z²).

[invitee244f4d2]

Bonne journée,

Je n'ai pas bien compris cette méthode puisqu'on parle du laplacien de w=f(r)cos(x). De plus, je n'ai aucune idée concernant la grandeur avec laquelle vont intervenir les coords sphériques.

Merci de me détailler les choses si je ne dis pas de bêtises.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
J’imagine que le ‘x’ dans la formule doit être un des angles en coordonnées sphériques.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

Je n'ai pas bien compris cette méthode puisqu'on parle du laplacien de w=f(r)cos(x). De plus, je n'ai aucune idée concernant la grandeur avec laquelle vont intervenir les coords sphériques.

Bonjour,
Une solution simple consiste à considérer la fonction f(r) = r, la fonction w s'écrit alors

avec angle polaire
ce qui correspond à
w = z soit un écoulement homogène suivant z.
Vous utilisez le laplacien sphérique avec

ce qui vous donnera la formule indiquée.
Vous pourrez ensuite la résoudre avec des solutions du type f(r) = rⁿ
Une solution est déjà connue, vous en trouverez une seconde.
La solution finale est une somme des deux fonctions possibles, le coefficient de proportionnalité sera trouvé en annulant la vitesse perpendiculaire à la sphère.