Transformations de Lorentz

[corentinca]

Bonjour,
J'aimerai avoir une explication sur les transformations de Lorentz.

Soit deux référentiels R , R' en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre suivant des axes x.
On va donc chercher la relation entre les coordonnées (x',t') et (x,t).
On pose : x' = f(x,t;p) et t' = g (x,t;p) (1) --p un paramètre qui différencie les référentiels--
f,g étant des fonctions pour l'instant inconnues.
On commence par différencier (1):

dx' = (Dérivée partielle de f par rapport à x)dx + (Dérivée partielle de f par rapport à t)dt de même pour dt'

Hypothèse :

1) Homogénéité de l'espace (==> Les lois physiques sont invariantes par translations temporelles, autrement dit les solutions des lois dépendent du temps mais pas les lois elle-même).

2) Homogénéité de l'espace (==> Les lois physiques sont invariantes par translations spatiales, autrement dit les solutions des lois dépendent de la position mais les lois elles-mêmes.


Cet hypothèse d'homogénéité de l'espace-temps impose donc que ces lois de transformation ne dépendent pas de la position spatio temporelle.
La suite suggère que f et g dépendent linéairement de x et de t.
Je voulais juste être sur de bien comprendre pour pas être dans le flou par la suite , les dérivées partielles sont indépendantes des coordonnées car encore une fois ces dérivées partielles qui sont des lois de transformation sont toujours les mêmes quelques soit l'espace-temps. On peut donc en intégrant , sortir ces dérivées partielles de l'intégrale car elles constituent une constante vu qu'elles ne dépendent pas des coordonnées. Seule la valeur de cette constante dépend de la position spatio-temporelle. Ce raisonnement est-il correct?
Merci de vos réponses.
-----

[mach3]

Il y a des choses à specifier en amont concernant les coordonnées (x,t) et (x',t'), sans quoi les dérivées partielles vont dépendre du point de l'espace-temps. Il suffit (mais pas sûr de la nécessité) qu'elles soient lorentzienne (et que l'espace-temps soit plat...).

Ça peut paraître évident qu'elles le soient (par habitude...), mais il ne faut pas oublier que le choix des coordonnées est libre. Si on choisit des coordonnées lorentzienne, c'est par commodité, parce que le lien avec les mesures de durées et de distances est plus direct.

m@ch3

[corentinca]

J'ai lu que Le tenseur g définit ce que l'on appelle la métrique de l'espace-temps plat (métrique de Minkowski).
De plus un espace-temps plat est possible en l'absence de gravitation.

Mais pouvez me montrer (mathématiquement) ou d'une autre manière que les dérivées partielles dépendent des coordonnées dans un espace qui est courbe?

[albanxiii]

Bonjour,

La démarche dans votre premier message n'est pas très claire à mes yeux. Je ne sais pas ce que vous cherchez à démontrer, ni par quel cheminement. A un moment arrive " les dérivées partielles sont indépendantes des coordonnées ", comme un cheveu sur la soupe, j'ai envie de dire.

Si vous voulez un exposé qui prend son temps et qui présente les choses sous plusieurs angles, je vous conseille http://www.imnc.univ-paris7.fr/alain/ "Théorie classique des champs", partie "Relativité, électrodynamique (cours PH456 2003-04)". Les transformations de Lorentz sont dérivées au chapitre 4, mais c'est bien de prendre le temps de lire ce qui précède.

[A voir en vidéo sur Futura]

[corentinca]

Merci pour le lien , je ne connaissais pas ce site. Je cherchais un cours comme celui-là.

Pour vous répondre je cherchais à redémontrer la loi de transformation Lorentz-Poincaré liant les coordonnées x' à x et t et t' à t et x. Je rappelle qu'on a deux référentiels en translation rectiligne uniforme suivant l'axe x , avec R' ayant une vitesse V par rapport a R. On associe (x',t') a R et (x ,t ) a R
Tout d'abord en étudiant les symétries avec l'hypothèse de l'isotropie de l'espace qui impose que le transformation de r(R) à r'(R) doit présenter la même forme que celle de R à R'. ( avec r l'opérateur de réflexion)
Et enfin, avec l'étude des structures de groupes. C'est à dire le fait que la transformation de R à R' doit avoir la même forme que la transformation de R' à R en changeant V en -V. ( V étant la vitesse de l'origine R' par rapport origine R). Et également de se servir de la propriété de composition interne.
Pour au final retrouver la loi de transformation Lorentz-Poincaré et au passage souligner l'apparition d'une vitesse limite qui est une conséquence des hypothèses posées.

Mais ma question principale était de savoir si le raisonnement en "gras" était correct. Je ne comprends pas pourquoi vous dîtes que la phrase " les dérivées partielles ne pas dépendent pas de la position spatio-temporelle" est inopportun.
En mécanique classique, lorsque que je passe d'un référentiel R à R' , je définis un tenseur de transformation pour cela. Et ce tenseur qui est ma loi de transformation ne dépend pas de la position. Donc dans notre cas, la dérivée partielle de la loi de transformation f ( tenseur) ne dépendra pas de la position x. Et l'hypothèse de l'homogénéité du temps impose que la deuxième dérivée partielle de f ne dépend pas de t aussi.
Mais du coup je vais plutôt regarder le cours que vous m'avez conseillez.

[mach3]

Selon l'axe que vous vous donnez, il y a plusieurs façon de démontrer les transformations de Lorentz. Le plus simple et le plus élégant selon moi est de chercher quelle transformation de coordonnées laisse les composantes de la métrique invariante (en partant d'un système de coordonnées où elle est diagonale -1,1,1,1).

En mécanique classique, lorsque que je passe d'un référentiel R à R' , je définis un tenseur de transformation pour cela. Et ce tenseur qui est ma loi de transformation ne dépend pas de la position.

un tenseur? ce n'est pas parce qu'une transformation de coordonnées et un tenseur peuvent tous deux s'écrire comme une matrice qu'il y a identité entre les deux... Un tenseur agit sur des vecteurs ou des 1-forme, alors qu'une transformation de coordonnées agit sur les composantes des vecteurs/1-forme/tenseurs.

Si en mécanique classique votre transformation de coordonnées ne dépend pas de la position, c'est simplement parce que les systèmes de coordonnées de départ et d'arrivée sont "bien faits". Passez des coordonnées cartésiennes à des coordonnées sphériques, vous verrez que là, la transformation de coordonnées dépend de la position...

m@ch3

[albanxiii]

Re-bonjour,

Je partage l'étonnement de mach3 : un tenseur pour passer d'un référentiel R' à un référentiel R ?

Pour compléter sa réponse, avant de chercher quelles sont les transformations qui laissent l'intervalle , il faut montrer pourquoi il est invariant lorsqu'on passe de R à R'.

[mach3]

il faut montrer pourquoi il est invariant lorsqu'on passe de R à R'.

dans ma façon de voir c'est un postulat de départ (l'espace-temps est muni de la métrique de Minkowski), mais bon, à chacun sa façon de reconstruire la théorie.

m@ch3

[Deedee81]

Salut,

dans ma façon de voir c'est un postulat de départ (l'espace-temps est muni de la métrique de Minkowski), mais bon, à chacun sa façon de reconstruire la théorie.

Exact. J'ai moi-même une autre façon "préféré" : on part des postulats de groupes et du principe de relativité et on démontre qu'il n'existe qu'une transformation générale dépendant d'un paramètre qui peut être ramené à 0, +1 ou -1.
0 : Galilée
+1 : Lorentz
-1 : on démontre que la solution viole la causalité
Et enfin, on démontre que si on mesure une vitesse X invariante à +- epsilon près, cela implique forcément le cas Lorentz.

Chacun son truc

[albanxiii]

dans ma façon de voir c'est un postulat de départ (l'espace-temps est muni de la métrique de Minkowski), mais bon, à chacun sa façon de reconstruire la théorie.

J'ai été influencé par le cours de physique de Landau que j'ai relu récemment (le tome 2 en tout cas).
A vrai dire, je ne saurai dire quelle présentation est la plus pédagogique.
La démonstration des transformations de Lorentz par Landau est plutôt mathématique (et manipulant des concepts qui ne sont pas de niveau lycée), bien que basée sur des arguments physiques.