Invariance de la vitesse de la lumière par transfo de Lorentz

[Bartoutatis]

Bonjour,

Généralement, la relativité restreinte est introduite par la constation que c est invariant et à partir de cela nous pouvons déduire les transformations de lorentz, cependant, si je souhaite montré que la vitesse de la lumière est invariante par transformation de Lorentz, comment s'y prendre ?

Soit deux référenciel x et x' et V' et V la vitesse d'une particule respectivement dans chaque référenciel, et c la vitesse de la lumière dans le vide.
On a :

V'x' = (Vx -v)(1-vVx/c²) avec v la vitesse de translation de x' par rapport à x en 1 dimension.

Si Vx = c on a V'x' = c, ceci est-il suffisant pour montrer que c est invariant par transformation de lorentz ?

Merci
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[mach3]

Généralement, la relativité restreinte est introduite par la constation que c est invariant et à partir de cela nous pouvons déduire les transformations de lorentz

approche très classique et répandue, mais loin d'être la meilleure

Soit deux référenciel x et x' et V' et V la vitesse d'une particule respectivement dans chaque référenciel, et c la vitesse de la lumière dans le vide.
On a :

V'x' = (Vx -v)(1-vVx/c²) avec v la vitesse de translation de x' par rapport à x en 1 dimension.

Si Vx = c on a V'x' = c, ceci est-il suffisant pour montrer que c est invariant par transformation de lorentz ?

c'est suffisant pour les mouvements à vitesse lumière dans la direction de la transformation de Lorentz, mais qu'en est-il dans d'autres directions? il faut faire plus général.

m@ch3

[albanxiii]

Bonjour,

qu'en est-il dans d'autres directions? il faut faire plus général.

On pourrait invoquer l'isotropie de l'espace-temps. Mais ça revient à prendre le problème à l'envers, cf. votre première remarque.

[invite02ad1c61]

La question est surtout de savoir pourquoi il faut la transformation de Lorentz en relativité restreinte, le boost de Galilée ne permet pas de rendre compte des expériences.

Les deux postulats de la relativité restreinte sont :
- La vitesse de la lumière dans le vide a la même valeur c dans tout référentiel inertiel.
- Les lois de la nature ont la même forme dans tous les référentiels inertiels.

Ces deux postulats ne sont pas indépendants car on peut déduire l'un de l'autre mais ce n'est pas le sujet. Ces postulats permettent de mettre en défaut le boost de Galilée (vitesse de c+v avec une translation rectiligne ou problème avec les équations de Maxwell en électromagnétisme.

Après si tu montres que la transformation est invariante selon une direction, tu peux faire la même chose pour les autres directions et comme les directions ne sont pas couplé (sauf espace et temps) tu peux conclure comme cela.

Est-ce suffisamment clair ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

Est-ce suffisamment clair ?

désolé, mais pas pour moi.
j'ai abandonné dès la lecture d'un "c+v" !!

[invite02ad1c61]

qu'est ce qui n'est pas clair pour vous ?

Le c+v c'est simplement le fait de dire que si de la lumière va à la vitesse c qui est la vitesse de la lumière et qu'on place un capteur qui se déplace à la vitesse v dans le même sens, le capteur devrait voir de la lumière à la vitesse c+v or l'expérience montre que le capteur voit de la lumière à la vitesse c qui est la vitesse limite et qui est la vitesse de la lumière dans n'importe quel référentiel galiléen.

[invite51d17075]

ce qui ( pardonnes moi ) signifie que tu n'as pas compris grand chose, et que "en même temps" , tu affirmes que la RR est intrinsèquement fausse.

[invite02ad1c61]

Pardon ? En quoi ai-je dis cela ?

[invite51d17075]

Ces deux postulats ne sont pas indépendants car on peut déduire l'un de l'autre mais ce n'est pas le sujet. Ces postulats permettent de mettre en défaut le boost de Galilée (vitesse de c+v avec une translation rectiligne ou problème avec les équations de Maxwell en électromagnétisme.

je n'ai pas compris cela, ni sur la forme, ni sur le fond.

[invite02ad1c61]

Comme quoi expliquer de la relativité restreinte sur un forum n'est pas chose facile. J'avoue que cette formulation est hasardeuse, il aurait plutôt fallu dire que les expérience mettent en défaut le boost de galilée (notamment l'additivité des vitesses qui n'est plus valable lorsqu'on se rapproche de c) et que les postulats de base d'Einstein sont de supposer que les expériences sont vraies et donc notamment que la vitesse de la lumière est la même dans tous les référentiels galiléen. Après pour le second postulat, ce n'est pas directement relié à cela.

[mach3]

Moi j'avais compris.

Pour aller un peu plus loin, on peut parler de l'invariance de la vitesse coordonnée de la lumière (norme du vecteur dx/dt,dy/dt,dz/dt) quand on passe d'un système de coordonnées de Lorentz (t,x,y,z) à un autre via la transformation de Lorentz. Étant donné que les coordonnées de Lorentz sont justement construites pour que le genre nul y ait la vitesse coordonnée c (ou 1 selon choix d'unité), il y a un côté tautologie, voire lapalissade à la question.
On peut aussi considérer la vitesse en tant que tangente hyperbolique, ce qui à alors un sens plus profond, et indépendant du système de coordonnées (mais pas du référentiel). Si on considère l'intersection entre une ligne d'univers d'étude (un objet quelconque) et une ligne d'univers de référence (un objet, éventuellement virtuel, immobile dans le référentiel d'etude) alors la tangente hyperbolique de l'angle hyperbolique entre les lignes est la vitesse relative (à un facteur c près) de l'objet par rapport au référentiel en l'événement d'intersection. On s'intéresse donc à l'angle entre une ligne d'univers de genre nul et une ligne d'univers de genre temps de référence. L'angle est infini, sa tangente hyperbolique vaut 1. On remarque facilement que toute ligne de référence de genre temps fait toujours un angle hyperbolique infini avec la ligne de genre nul. On aura donc beau changer de référentiel (y compris vers des non-galiléens), localement (en l'événement d'intersection entre ligne de genre nul et ligne de référence genre temps) la lumière a pour vitesse c.

m@ch3

[Amanuensis]

Pour répondre directement à la question #1, le plus simple est de considérer que, de par la définition de la vitesse

v² = (dx/dt)²+(dy/dt)²+(dz/dt)²

donc v²=c² <=> c²dt²-dx²-dy²-dz² = 0

Si on écrit la transformation de Lorentz comme

cdt' = γcdt - γβ dx
dx' = γdx - γβ cdt
dy'=dy
dz'=dz

avec γ²(1-β²) = 1

on vérifie par un simple calcul que c²dt²-dx²-dy²-dz² = 0 <=> c²dt'²-dx'²-dy'²-dz'² = 0, et donc que l'égalité de la vitesse à c (l'égalité v²=c²) est conservée par la transformation de Lorentz (et cela couvre toutes les orientations de la vitesse).

(On peut remplacer les d par des Δ pour éviter la notation (et la notion) de différentielle, c'est plus adapté au lycée par exemple.)

[invite02ad1c61]

Si certain(e)s sont intéressé(e)s par les invariances, vous pouvez regarder le formalisme des quadrivecteurs qui est un outil très puissant. Dans ce cas là, la transformation de Lorentz devient une matrice de passage entre les deux quadrivecteurs qui sont dans deux référentiels différents. Cela permet de définir des quantités invariantes par transformation (comme la longueur de Minkowski) mas aussi d'effectuer des transformations sur des autres quantités que l'espace et le temps, comme les champs électromagnétiques, la résultante des forces, l'impulsion, etc...

[Amanuensis]

une matrice de passage entre les deux quadrivecteurs qui sont dans deux référentiels différents.

Beurk ...

[invite02ad1c61]

Beurk ? hum ?

[azizovsky]

Si certain(e)s sont intéressé(e)s par les invariances, vous pouvez regarder le formalisme des quadrivecteurs qui est un outil très puissant. Dans ce cas là, la transformation de Lorentz devient une matrice de passage entre les deux quadrivecteurs qui sont dans deux référentiels différents. Cela permet de définir des quantités invariantes par transformation (comme la longueur de Minkowski) mas aussi d'effectuer des transformations sur des autres quantités que l'espace et le temps, comme les champs électromagnétiques, la résultante des forces, l'impulsion, etc...

quelle est la différence avec ?

Si on écrit la transformation de Lorentz comme

cdt' = γcdt - γβ dx
dx' = γdx - γβ cdt
dy'=dy
dz'=dz

avec γ²(1-β²) = 1

on vérifie par un simple calcul que c²dt²-dx²-dy²-dz² = 0 <=> c²dt'²-dx'²-dy'²-dz'² = 0,

en nation quadi-dimensionnelle :

[Amanuensis]

J'aurais écrit





(en réservant dM pour la variation infinitésimale d'un (quadri)vecteur)

L'idée est de bien indiquer qu'il s'agit d'une transformation passive.

Au passage, quelqu'un sait comment en LaTeχ mettre une barre verticale rallongée vers le bas, pour dire «relativement à» pour un système de coordonnées?

[azizovsky]

Ma 'référence' en latex : http://web.ift.uib.no/Teori/KURS/WRK/TeX/symALL.html.

[Amanuensis]

ça a l'air bien, même si je cherchais une disposition plus décalée vers le bas.

En fait c'est plus un problème de disposition que de symbole...

[azizovsky]

...............prévisual...

[mach3]

Revenons sur le "beurk"

Dans ce cas là, la transformation de Lorentz devient une matrice de passage entre les deux quadrivecteurs qui sont dans deux référentiels différents.

où est(sont) le(s) problème(s) dans cette façon de dire les choses?
Soit on a une transformation de Lorentz passive et on ne fait que changer la base et les coordonnées. On agit sur la représentation du quadrivecteur, pas sur le quadrivecteur qui reste inchangé. On peut ecrire ça comme ça :
(avec sommation implicite sur indices répétés)
L est ici une matrice de passage entre les deux bases. Elle transforme les coordonnées d'un quadrivecteur, pas le quadrivecteur. Elle permet le passage entre deux représentations du même quadrivecteur.
C'est uniquement du changement d'étiquetage, un changement de point de vue. C'est non physique.

Soit on a une transformation active, un tenseur une fois covariant, une fois contravariant. On peut écrire cela ainsi :

ou dans le langage des coordonnées :

L est ici un tenseur. Il transforme un quadrivecteur en un autre quadrivecteur. Dans le langage des coordonnées il a une représentation qui mime la matrice de passage précédente, mais c'est intrinsèquement différent. Ici il y a transformation physique. La quadrivitesse d'un mobile qui accélère subit ce genre de transformation de Lorentz active.

Autre point, dire "les deux quadrivecteurs qui sont dans deux référentiels différents" laisse supposer quelque chose de bizarre. Comme si c'était deux espace-temps différent. Alors qu'il n'y a qu'un seul espace-temps et qu'un quadrivecteur n'est pas dans un référentiel ou un autre, il est dans l'espace-temps.

m@ch3

[Amanuensis]

Si on cherche à comprendre pourquoi certains voient deux quadrivecteurs, c'est (au moins pour certains, je ne présuppose pas que cela s'applique ici) dû à l'enseignement initial qui définit, quand on présente la géométrie analytique, un vecteur comme une liste de réels. C'est une présentation non géométrique qui confond carte et territoire, qui confond un objet avec une de ses représentations par un n-uplet de réels.

Ce n'est pas top déjà en maths, et cela amène à des concepts très limitant en physique (cela amène à comprendre des calculs sans comprendre la physique).

[Amanuensis]

PS: Il me semble que cela amène aussi à l'idée que deux systèmes de coordonnées (deux «référentiels») sont deux «espace-temps» différents. Car il s'agit bien de deux espaces de représentation différents quand on pense en termes de n-uplets de réels. Comme indiqué, la transcription en physique d'une telle confusion est bizarre. Mais cela a peu d'effets nocifs si on se limite à comprendre des calculs.

[Paradigm]

Bonjour mach3, bonjour à tous

L est ici un tenseur. Il transforme un quadrivecteur en un autre quadrivecteur.

Un tenseur ce n'est pas une forme multilineaire ?

Cordialement,

[Amanuensis]

Un tenseur ce n'est pas une forme multilineaire?

À une forme (de résultat scalaire par définition) correspond diverses fonctions linéaires, en jouant sur le dual.

L peut être vue comme une forme de E x E* vers les scalaires (le «tenseur» proprement dit). Et c'est aussi une fonction linéaire de E dans E, quand E est vu comme une fonction de E* vers les scalaires.

Par abus, on fait souvent l'amalgame, et un tenseur (1, 1) (le cas de L) est aussi bien une forme sur E x E*, une fonction linéaire de E vers E, et une fonction linéaire de E* vers E*.

La matrice est commune quand exprimée avec E* muni de la base duale de celle utilisée pour E.

[Paradigm]

Et c'est aussi une fonction linéaire de E dans E, quand E est vu comme une fonction de E* vers les scalaires.

Est vu au sens : "E est isomorphe à l'espace des fonctions de E* vers les scalaires" ?

Sinon ok je comprends l'idée.

[Amanuensis]

Oui (en dimension finie, pas de problème). [Et sous-entendu, fonctions linéaires de...]