Invariance de la vitesse de la lumière et accélération

[Floris]

Bonjour, question certainement digne de celui qui n'a riens compris mais. Comment sa se passe la vitesse de la lumière mesuré depuis un référentiel accélérer?
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[invite6754323456711]

Comment sa se passe la vitesse de la lumière mesuré depuis un référentiel accélérer?

http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post2557237

Patrick

[mach3]

la vitesse reste constante pour les mesures locales, en revanche, on a un décalage de fréquence (équivalent au redshift gravitationnel) pour la lumière qui arrive parallèlement à l'accélération et une trajectoire courbé (la lumière "tombe") pour la lumière qui arrive perpendiculairement à l'accélération (voir schéma paragraphe 7.1 de http://www.ast.obs-mip.fr/users/lkoe.../cosmo5-7.html )

m@ch3

[Floris]

Bonjour, alors justement, je me posait la question suivante. Quand on parle de localités, c'est à dire pour des distances très courtes ces ça?

C'est ce que représente de ds² que l'on trouve en RG ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Salut,

Bonjour, alors justement, je me posait la question suivante. Quand on parle de localités, c'est à dire pour des distances très courtes ces ça? C'est ce que représente de ds² que l'on trouve en RG ?

Oui. Idéalement dans un voisinage infinitésimal d'un événement.

Et ds est la notation habituellement en mathématique pour représenter une variation infinitésimale d'une grandeur (ici l'inveralle s).

[Floris]

Bonjour,

Cela représente quoi exactement l'intervalle s ?

Merci

[Deedee81]

Salut,

Cela représente quoi exactement l'intervalle s ?

Typiquement (au signe global près qui est une convention), on a :

Soit un événement aux coordonnées (x,y,z,t) et un autre événement aux coordonnées (x',y',z',t'). L'intervalle est noté :

s² = (x-x')² + (y-y')² + (z-z')² - c²(t-t')²

En fait c'est le carré. Pour s il faut prendre la racine carrée, mais on utilise rarement cette forme (d'autant que la valeur peut être imaginaire).

Tu remarqueras que pour la partie spatiale :
l²=(x-x')² + (y-y')² + (z-z')²
c'est simplement le carré de la distance l séparant les points (Pythagore).

On a donc :
s² = l² - c²(t-t')²

Une distance euclidienne dans un espace à quatre dimension s'écrirait :
l² + c²(t-t')²

La différence de signe a son importance. L'intervalle a la particularité de valoir 0 lorsque les deux événements peuvent être reliés par un signal lumineux. On a en effet dans ce cas : l = c*t

L'intervalle a aussi l'avantage d'être invariant sous les transformations de Lorentz.

On peut par divers raisonnements montrer l'invariance de l'intervalle (sous un changement de repère) en utilisant l'invariance de la vitesse de la lumière et l'homogénéité de l'espace et du temps. On trouve ça dans tout bon bouquin sur la RR.

Puisque s est différent de la distance euclidienne, cela montre que l'espace-temps ne peut pas être euclidien (la norme de tout vecteur est invariant et il existe un isomorphisme avec la distance. Or, en utilisant l'invariance de s il n'est pas difficile de voir que la distance 4D euclidienne n'est pas invariante).

s peut être vu comme la distance d'un espace à 4 dimensions obéissant à une géométrie différente, la géométrie de Minkowski. ds est alors appelé "élément de ligne" et permet de définir la métrique (de Minkowski) et le produi scalaire des vecteurs de cet espace (appelés typiquement quadrivecteurs).

[Amanuensis]

Il peut être utile de préciser de si Δs est temporel (Δs² positif en signature +---), alors il existe un référentiel tel que cet intervalle soit une partie d'une trajectoire d'un point matériel immobile dans ce référentiel ; Δs correspond alors à Δt.

Si ds est spatial (Δs² négatif), alors il existe un référentiel dans lequel Δs est la longueur d'un objet immobile dans ce référentiel.

Si Δs est tel que Δs² nul, c'est une partie de trajectoire nulle, celle d'un rayon lumineux dans le vide par exemple.

(Je n'ai pas mis les facteurs dimensionnant, qui dépendent du choix arbitraire de la dimension de Δs.)

[Deedee81]

Deux précisions :

- pour être clair, Amanuensis a noté Δs ce que j'ai simplement noté s. Il ne s'agit pas d'une nouvelle quantité.

- Pour préciser le premier cas cité par Amanuensis. Si on choisit d'attacher le repère de référence à un objet, alors la position de cet objet sera par définition x=y=z=0. Le temps de cet objet sera alors : Δs² = +/- Δt² (le signe dépend de la convention, - avec ma convention, + avec celle d'Amanuensis). Dans ce cas le temps t dans ce repère est appelé temps propre de cet objet.

Cette différence de convention concernant le signe est chiante mais ce n'est pas plus mal de l'avoir rencontré ici car on trouve aussi bien l'une que l'autre dans les articles et livres et on y est forcément confronté à un moment ou l'autre. Ce qui peut être perturbant.

[Deedee81]

Je n'avais pas vu, mais il y a un article spécifique dans Wikipedia :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Interva...27espace-temps

[Amanuensis]

- pour être clair, Amanuensis a noté Δs ce que j'ai simplement noté s.

Je trouve plus clair de noter un intervalle, car seuls les intervalles ont un sens dans ce cadre.

Si on cherche les notions rigoureuses ce n'est pas très simple. Ce que j'ai noté Δs c'est un tout petit intervalle d'espace-temps, une sorte de quantité vectorielle, qu'on peut interpréter comme B-A, B et A étant deux événements très proches l'un de l'autre (à l'instar de la convention permettant de noter avec B et A deux points du plan affine euclidien, c'est à dire en géométrie plane usuelle).

(Par très proches j'entends suffisamment proches pour qu'on puisse négliger la courbure.)

Edit : Je n'avais pas vu le dernier message de Deedee, ma présentation est assez proche de celle du wiki, signature comprise.

[Floris]

Bonjour et merci beaucoup pour ces réponses précises.

Donc si je comprend bien, en fait s est une norme représentant la distance spatio-temporelle. Celle ci est invariante.

En fait si je saisit bien, s² = (x-x')² + (y-y')² + (z-z')² - c²(t-t')² établis en quelque sorte les composantes x y z et ct affin que x y z varie conformément aux transformations de lorentz?

Excusez moi si je m'exprime pas clairement.

[Deedee81]

Excusez moi si je m'exprime pas clairement.

Non, ça va, on peut dire ça comme ça. Même si ta phrase semble un peu bizarre

[Floris]

Es ce que j'ai bon ?

Pourquoi il y à ce moins entre: l² et c²(t-t')²

[Floris]

Quand tu dis que l'espace temps ne peut pas être euclidiens cela sous entend qu'un espace euclidiens implique violation de la causalités? (invarience de c )

Désolé si je met du temps à comprendre. Je fais de mon mieux.

Es ce que l'on utilise toujours s² = (x-x')² + (y-y')² + (z-z')² - c²(t-t')² en RG sa marche aussi?

[Amanuensis]

Pourquoi il y à ce moins entre: l² et c²(t-t')²

La science ne répond pas aux pourquoi... Si la norme était euclidienne (que des +), cela ne rendrait pas compte des notions d'intervalles temporels et spatiaux tels qu'on les observe.

[Amanuensis]

Quand tu dis que l'espace temps ne peut pas être euclidiens cela sous entend qu'un espace euclidiens implique violation de la causalités? (invarience de c )

Là encore, on ne peut pas répondre. Ce qui est sûr, c'est qu'une métrique de signature (1,3), c'est à dire trois termes d'un signe et un de l'autre implique une vitesse spéciale, celles des trajectoires nulles.

De là à parler de limite ou de causalité, c'est autre chose. Il y a le modèle mathématique, et son interprétation en termes physiques, c'est à dire en termes d'observations ; ce sont deux aspects bien distincts.

On construit les modèles de la physique à partir des observations ; faire l'inverse, supposer un modèle contraire aux faits et essayer d'en déduire ce que serait les observations dans cet univers imaginaire, est très difficile (litote). Sûr moyen de tomber dans les nawaks, àmha.

Es ce que l'on utilise toujours s² = (x-x')² + (y-y')² + (z-z')² - c²(t-t')² en RG sa marche aussi?

Uniquement localement, infinitésimalement en toute rigueur, et dans un domaine suffisamment petit devant la courbure (par exemple dans un vaisseau spatial en chute libre, en prenant un référentiel où il est immobile) en pratique.

[Floris]

D'accord, merci beaucoup.

Tu dis qu'on utilise s uniquement sur des distances infinitésimal. Existe t'il un truc en RG ou on peut faire ça sur de grande longueurs?

[Amanuensis]

D'accord, merci beaucoup.

Tu dis qu'on utilise s uniquement sur des distances infinitésimal. Existe t'il un truc en RG ou on peut faire ça sur de grande longueurs?

Pour les grandes distances faut intégrer ds, et cela n'a de sens que le long d'un chemin donné.

Si le chemin est de genre nul (lumière), l'intégration donne 0. Si le chemin est de genre temps, on obtient la durée propre le long de la trajectoire. Si le chemin est de genre espace, on obtient une longueur dont la signification physique n'est pas nécessairement claire. S'il est mixte, je n'ai aucune idée du sens physique du résultat de l'intégration.

[vaincent]

Bonjour,

Pourquoi il y à ce moins entre: l² et c²(t-t')²

Son origine est assez simple à comprendre. Mais il faut poser un contexte assez précis. Soit donc 2 référentiels R et R' qui coïncident initialement, c'est-à-dire que si (t,x) et (t',x') (on raisonne à une seule dimension d'espace, x) sont les coordonnées d'espace-temps respectives de R et de R', alors à t=t'=0 on a x=x'=0.
R' va être animé d'un mouvement rectiligne uniforme par rapport à R, et l'on envoi un signal lumineux dans la direction Ox (sens positif).
Puisque la vitesse de la lumière est c aussi bien dans R que dans R', on peut alors écrire les 2 relations évidentes suivantes :

dans R

dans R'

ce qui donne :



et



puis :

(1)

(2)

On a donc :



On a alors fait appraître un invariant (invariant par rapport aux systèmes de coordonnées de nos 2 référentiels R et R'). Cet invariant exprime en quelque sorte une "distance" (au carré), ce que l'on appel un intervalle d'espace-temps. On note alors :



est nul pour un rayon lumineux (ce qui défini d'ailleurs l'équation du "cône de lumière"), mais on peut montrer que la relation ci-dessus est vrai pour un objet qui se déplace à une vitesse différente de celle de la lumière(les coordonnées x et t décrivent alors la position spatio-temporelle de cet objet).

Maintenant, revenons à la situation initial, et considérons que le rayon lumineux à parcouru une distance très petite(infinitésimale) dx en un temps dt. On aura alors, de façon similaire :



et plus généralement, pour tout objets (autres qu'un rayon lumineux notamment) :



ce qu'il faut lire en fait : , mais on a pour habitude de ne pas écrire les parenthèses.

On définit alors ce que l'on appel la métrique de l'espace-temps(qui mesure les intervalles entre des évenements de l'espace-temps).

A trois dimension d'espace, la relation précédente se généralise tout de suite :



Voilà pour le côté formel des choses, mais ce qu'il faut retenir c'est que l'invariance de la vitesse de la lumière est responsable de la forme particulière (non-euclidienne) de la métrique de l'espace-temps.
Puisqu'elle est invariante, la vitesse de la lumière va forcément intervenir dans la définition des invariants qui apparaissent naturellements dans l'espace-temps, et c'est notamment le cas de la métrique.
Si ce n'avait pas été le cas, on aurait pas pu utiliser les relations (1) et (2) pour construire un invariant qui fait apparaître l'espace (x) et le temps (t) dans une même relation et qui définit un intervalle. On aurait été obligé, comme avant la RR, de séparer le temps et l'espace. La vitesse de la lumière les "rapproches" en quelque sorte.

[vaincent]

La science ne répond pas aux pourquoi... Si la norme était euclidienne (que des +), cela ne rendrait pas compte des notions d'intervalles temporels et spatiaux tels qu'on les observe.

Arrêtes de raconter n'importe nawak ! Ce n'est pas parce que tu ne connais pas l'origine de quelque chose qu'il faut tout de suite invoquer un des "pourquoi" auquel la science n'a pas de réponse. C'est tellement pratique et en plus ça fait classe ! Cette phrase "la science ne répond pas aux pourquoi" est vraiment un cliché utilisés à toutes les sauces. La science répond à énormément de "pourquoi" car elle explique "comment". Pourquoi la Terre tourne autour du Soleil ? Pourquoi la lumière me réchauffe t-elle ? Pourquoi les aimants attirent certains métaux ? etc....
Et pourquoi y a t-il un signe moins dans la métrique de Minkowski, et bien parce que la vitesse de la lumière est invariante. On trouve ça dans tout bon livre de RR. Par exemple : gravitation relativiste, Rémi Hakim, CNRS éditions(pages 47 et 48) ou encore Relativity, gravitation and cosmology, Tai-Pei Cheng, Oxford University Press (pages 28 à 31)(les choses ici sont montrées dans l'autres sens que dans le Hakim)

[Les Terres Bleues]

Son origine est assez simple à comprendre. Mais il faut poser un contexte assez précis. Soit donc 2 référentiels R et R' qui coïncident initialement, c'est-à-dire que si (t,x) et (t',x') (on raisonne à une seule dimension d'espace, x) sont les coordonnées d'espace-temps respectives de R et de R', alors à t=t'=0 on a x=x'=0.
R' va être animé d'un mouvement rectiligne uniforme par rapport à R, et l'on envoi un signal lumineux dans la direction Ox (sens positif).
Puisque la vitesse de la lumière est c aussi bien dans R que dans R', on peut alors écrire les 2 relations évidentes suivantes :

dans R

dans R'

Le choix de la signature de la métrique n'apparaît-il pas déjà dans cette manière de proposer un "contexte assez précis" ?

Finalement la phrase : "Et pourquoi y a t-il un signe moins dans la métrique de Minkowski, et bien parce que la vitesse de la lumière est invariante." devrait être aussitôt complétée par la justification suivante : "à cause de la définition dont nous convenons pour la vitesse".

C'est pas un peu circulaire, non ?
Et, est-ce que ça répond vraiment au pourquoi ?

[Floris]

Bonjour et merci pour ces précisions.

Voilà pour le côté formel des choses, mais ce qu'il faut retenir c'est que l'invariance de la vitesse de la lumière est responsable de la forme particulière (non-euclidienne) de la métrique de l'espace-temps.

Peut t'on dire que l'espace-temps n'est pas euclidiens justement à cause de la présence du - ? Enfin peut être que sa na riens à voir mais je pose la question quand même.

[Deedee81]

Salut,

Peut t'on dire que l'espace-temps n'est pas euclidiens justement à cause de la présence du - ? Enfin peut être que sa na riens à voir mais je pose la question quand même.

Si on considère que l'intervalle est invariant, oui, le '-' suffit à ce que l'espace-temps ne soit pas euclidien.

Note qu'il existe des théorèmes généralisés de géométrie sur ces espaces non euclidiens. Comme le théorème de Pythagore généralisé.

[mach3]

Par définition un espace euclidien est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire :

i allant de 1 à N, la dimension de l'espace vectoriel, u et v étant des vecteurs, ui et vi les coordonnées de ces vecteurs.

Le produit scalaire d'un vecteur par lui même étant sa longueur au carré:



De là découle par exemple le théorème de Pythagore, mais surtout la notion de métrique: le produit scalaire est une forme bilinéaire, c'est à dire une fonction qui transforme un couple de vecteur en un nombre, et dans une base donnée cette forme est représentée par une matrice. Dans la base canonique c'est la matrice identité.



vallant 1 si i=j et 0 sinon.

Si on considère la longueur d'un vecteur infinitésimal on retrouve



soit du²=dx²+dy²+dz² pour l'espace euclidien 3D.

Pas de signe - par définition de l'espace euclidien.

Une métrique, c'est à dire la façon de mesurer les distances est telle qu'une longueur AB est inférieure ou égale à la somme des deux longueurs, AC et CB, pour tout C. Cela ne marche que si les coefficients sont tous positifs. Si l'un des coefficients est négatif, on a plus à faire à une métrique mais à une pseudométrique et on est plus dans le cas d'un espace euclidien, par définition.

m@ch3

[vaincent]

Finalement la phrase : "Et pourquoi y a t-il un signe moins dans la métrique de Minkowski, et bien parce que la vitesse de la lumière est invariante." devrait être aussitôt complétée par la justification suivante : "à cause de la définition dont nous convenons pour la vitesse".

Il faut bien partir de quelque chose. Quelle autre définition de la vitesse proposerais-tu ?

C'est pas un peu circulaire, non ?

Non car la particularité de la métrique de Minkowski n'est pas due à la façon dont on définit la vitesse, mais au fait que c soit la même dans R et dans R', ce qui permet de définir un invariant, identifié comme la (pseudo-)métrique de l'espace-temps.
Une autre définition de la vitesse( par exemple amènerait en effet à une métrique euclidienne. Mais cela serait en complète contradiction avec les faits suivant : "t" est forcément positif, "c" est la norme de la vitesse de la lumière, qui par définition d'une norme est également positive, ce qui implique que x doit être positif. Surtout que x, ici, est définit comme la distance à l'origine dans le sens positif !

[mach3]

Une autre définition de la vitesse( par exemple amènerait en effet à une métrique euclidienne. Mais cela serait en complète contradiction avec les faits suivant : "t" est forcément positif, "c" est la norme de la vitesse de la lumière, qui par définition d'une norme est également positive, ce qui implique que x doit être positif. Surtout que x, ici, est définit comme la distance à l'origine dans le sens positif !

bof, ça ne change rien, si on considère un rayon qui va vers les x négatif, on a bien x=-ct. Au carré ça donne toujours x²=c²t² et donc 0=c²t²-x². En fait c'est plutôt parce que position, vitesse et durée sont des réels qu'on a le signe moins. D'ailleurs certains auteurs utilisent une métrique ++++ en mettant le temps en imaginaire pur.

m@ch3

[vaincent]

bof, ça ne change rien, si on considère un rayon qui va vers les x négatif, on a bien x=-ct. Au carré ça donne toujours x²=c²t² et donc 0=c²t²-x².

oui exact, ça ne changerait rien. Merci de la correction.

[Amanuensis]

Le choix de la signature de la métrique n'apparaît-il pas déjà dans cette manière de proposer un "contexte assez précis" ?

C'est pas un peu circulaire, non ?
Et, est-ce que ça répond vraiment au pourquoi ?

Pas exactement circulaire. C'est plutôt un cas de "begging the question" comme disent les anglais : connaissant ce qu'on veut obtenir, il suffit de réunir les conditions pour qu'on l'obtienne. Le contexte assez précis est juste cette liste de conditions. Cela ne répond pas à un "pourquoi", cela déplace juste la question à "pourquoi ces conditions-là" (très souvent le cas en physique quand on tente de répondre à un "pourquoi"). Et ce serait plus intéressant si la liste de conditions était listée proprement.

C'est d'autant plus clair sur le sujet que l'espace-temps de Minkowski n'est pas la solution valide, qui est l'espace-temps de la RG. Il a donc été introduit subrepticement des conditions en trop, qui amène à la RR plutôt qu'au cas plus général qu'est la RG.

Quand Floris demande

Peut t'on dire que l'espace-temps n'est pas euclidiens justement à cause de la présence du - ?

la question est ambigüe et la réponse est double. L'une est "l'espace-temps de Minkowski diffère d'un espace euclidien par le fait que sa (pseudo-)métrique a un '-'", l'autre est "le modèle courant de l'espace-temps, celui de la RG, n'est pas euclidien principalement parce qu'il possède une courbure non nulle (i.e., la courbure répondant à l'équation d'Einstein)". (Même si en RG la signature de la pseudo-métrique empêche aussi de parler d'euclidien 4D, l'avantage de pointer du doigt la courbure permet par la même occasion d'indiquer qu'on ne trouvera pas un espace spatial--3D-- euclidien non plus.)

On peut retrouver une liste de conditions amenant à la pseudo-métrique locale en restreignant l'existence d'une vitesse limite finie à la vitesse instantanée, en se plaçant donc non pas dans l'espace-temps (la variété), mais dans l'ensemble des vitesses instantanées (ce qui revient à formuler avec des dx, dx', dt, plutôt qu'avec des x, x', t) et imposer diverses conditions comme l'isotropie, l'existence d'une vitesse limite, etc. Notons que dans ce cas, la structure vectorielle de l'espace des vitesses instantanées dérive de l'hypothèse que l'espace-temps est modélisable par une variété 4D, ce qui est bien plus faible et plus naturel que l'hypothèse très lourde que l'espace-temps possède une structure affine, hypothèse sous-jacente, sous une forme ou une autre, à toute démo aboutissant à l'espace-temps de Minkowski.

Au passage, cela ramène au sujet, qui n'est pas, justement, l'espace-temps de Minkowski. La question originelle portait sur la vitesse limite dans les référentiels accélérés. Or, s'il y a quelque chose que l'espace-temps de Minkowski gère mal, et qui rendait la RR viciée dès le début, est bien qu'il rend très difficile le traitement des référentiels accélérés (sous-entendu par rapport à une classe privilégiée de référentiels, ceux compatibles avec la structure affine, ceux dits galiléens). C'est une des raisons qui a amené à développer la RG.

La RG répond à la question de la vitesse limite en restreignant cette notion à la vitesse instantanée locale en un événement donné, ce qui permet de gérer les référentiels accélérés. Et indique au passage qu'on ne peut pas parler de vitesse limite autrement qu'instantanée locale, comme on le sait avec les divers exemples de vitesses supérieures à c qui apparaissent avec un espace-temps avec expansion métrique de l'espace.

En restant dans le sujet, la question de la pseudo-métrique est bien celle de la pseudo-métrique locale de la RG, de signature +--- ou -+++.

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Ce texte est peut-être un peu au-delà de ce que cherche à comprendre Floris ; il me semble qu'il propose néanmoins des éléments importants dans le cadre de la question originelle portant sur la relation entre vitesse limite et référentiels accélérés.