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Instabilité d'une interface



  1. #1
    kizakoo

    Instabilité d'une interface


    ------

    Bonsoir, dans cette épreuve on s'intéresse à l'étude de l'instabilité d'une interface fluide/fluide épreuve instabilité
    Dans la page 10 on a considéré une certaine forme de la perturbation déclenchant l'instabilité
    Le choix du sinus est-il arbitraire?
    Pourquoi avoir choisi le terme de perturbation sous forme exponentielle?
    Nom : Screenshot_20180628-002413.png
Affichages : 41
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    Merci infiniment de votre aide.

    -----
    Dernière modification par kizakoo ; 28/06/2018 à 00h37.

  2. #2
    Resartus

    Re : Instabilité d'une interface

    Bonjour,
    Quand les équations différentielles sont linéaires, il est naturel de rechercher des solutions périodiques (transformée de fourier...).
    De son coté, la variation en fonction du temps sera une exponentielle dont la partie réelle de l'exposant sera décroissante pour un système stable, et croissante pour un système instable.

    Cela pourra s'appliquer aussi quand les équations sont faiblement non linéaires (ce qui sera le cas au moins au démarrage)

    (un exemple classique est le cas du pendule pour des oscillations de grande amplitude)
    Dernière modification par Resartus ; 28/06/2018 à 08h09.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  3. #3
    kizakoo

    Re : Instabilité d'une interface

    Bonjour Resartus et merci de ta réponse.
    N'ayant pas étudier la mécanique des fluides j'ai pensé au fait que cette forme est justifiée par le fait qu'on a assimilé ,dans cette épreuve, l'instabilité de l'interface dont il est question à une onde puisqu'on évoque "longueur d'onde" et "relation de dispersion" . Mais ,habituellement, dans le cas d'une onde on adopte la notation complexe==> exponentielle complexe ce qui n'est pas le cas ici ===> exponentielle réelle. C'est exactement ce point qui me dérange. Peux-tu m'éclairer?
    Merci infiniment de ton aide.

  4. #4
    Resartus

    Re : Instabilité d'une interface

    Bonjour,
    Ici l'avantage des sinus est que cela prend plus directement en compte une des conditions aux limites de la cellule (0 à t=0 sur le bord du bas). Le bord du haut donnera ensuite une condition sur k.
    Mais on aurait très bien pu faire le calcul en exponentielles, et introduire ces conditions une fois trouvées les solutions générales

    Edit : je me rends compte que c'est la partie temporelle qui te gêne? En fait, quand il n'y a pas de derivée seconde temporelle, ou que celle ci est négligée (ici ce serait l'inertie du fluide), il n'y a aura pas d'oscillations, mais simplement une exponentiellle réelle
    Dernière modification par Resartus ; 28/06/2018 à 17h27.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    kizakoo

    Re : Instabilité d'une interface

    Bonjour Resartus,
    J essaie de comprendre ce terme de perturbation et je me pose quelques questions:
    1- j ai compris que l'on a assimilié la perturbation à une onde mais où est la forme de l'onde dans le terme de pertubation?
    2-peux-tu s'il te plait développer un peu plus l exemple du pendule et l'analogie que tu as établie avec cette pertubation de l'interface?
    Merci infiniment de ton aide
    Dernière modification par kizakoo ; 02/07/2018 à 00h58.

  7. #6
    Resartus

    Re : Instabilité d'une interface

    Bonjour,
    Désolé, le mot perturbation prêtait ici à confusion.

    On sait résoudre très facilement des équations différentielles linéaires, où on sait que les solutions générales sont des exponentielles.
    C'est le cas de quantité de questions de mécanique (ressorts) ou d'électronique
    On peut utiliser ces solutions pour résoudre les équations du pendule dans l'approximation des toutes petites oscillations: on remplace alors le sin(theta) qui apparait dans l'équation du PFD par theta, ou bien, ce qui est équivalent, on assimile le cos(theta) qui apparait dans l'énergie potentielle à 1-theta²/2

    Quand les équations ne sont pas linéaires, mais qu'elles en sont proches, il existe des méthodes de résolution approchée qu'on appelle la théorie des perturbations (rien à voir avec les "perturbations" de ton problème).
    Ces méthodes ont été utilisées en fond en astronomie au 19ème siècle, et aujourd'hui en mécanique quantique ou en mécanique des fluides.
    Quelques éléments d'explication (pas très claires AMHA, je vais chercher si je trouve plus didactique)
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_perturbations

    Comme tu essayes de résoudre des problèmes d'agrég, j'avais supposé (à tort) que tu en avais déjà entendu parler…

    La résolution des équations du pendule pour des oscillations de grande amplitude peut être utilisée pour introduire ces méthodes, car comme c'est un des rares cas où on sait aussi résoudre analytiquement l'équation, cela permet d'en montrer les limites. Mais je ne me souviens plus dans quel livre j'avais vu cela et une recherche rapide sur internet ne donne rien.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

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