Quantité de mouvement - théorie des collisions élastiques

[flo1245]

Bonjour,

Je me pose une question suite à un article scientifique (paru dans "pour la science") que j'ai pu lire concernant la collision
entre une balle de tennis et une raquette de tennis, considérant que la balle est en mouvement et la raquette aussi. Direction
des vecteurs P l'un vers l'autre.

Apparemment la balle de tennis aura une vitesse après collision augmentée de 2 fois celle de la raquette (V=Vb+2Vr), si la raquette est 2 fois plus lourde.
On considère que le choc est élastique pour les hypothèses. Je sais qu'il faut écrire la conservation de la quantité de mouvement
et de l'énergie cinétique pour trouver un résultat théorique. Que se passe t'il si la raquette s'arrête après la collision ou même si l'on continue le mouvement du bras,
j'imagine que ce n'est pas la même chose ? Que se passe-t'il aussi si la raquette à exactement le même poids que la balle ? Y t'il aussi
une augmentation de vitesse de la balle (accèlération) ? Que se passe t'il si elle la raquette est 20 fois plus lourde que la balle ?

Par analogie, on pourrait aussi prendre l'exemple du cas d'une voiture de masse 2M qui arrive à une vitesse V1 sur une voiture de masse M qui se déplace aussi
à la vitesse V1 vers elle (choc frontal). Que va t'il se passer ? Est-ce que la voiture de 2M va s'arrêter complètement et faire en sorte que la voiture de masse M,
gagne en vitesse grâce à la transmission totale de la quantité de mouvement P ? Ou bien alors la voiture de masse 2M va repartir dans l'autre sens avec une vitesse plus faible et la voiture de masse M aura une plus grande vitesse qu'initialement mais dans d'autres proportions ? Pour l'exemple du tennis, la raquette pourrait aussi dans ce cas reculer ?

Je n'ai pas du mal à écrire les équations et à les résoudre, mais j'ai du mal à saisir les hypothèses de départ pour écrire les signes de ces équations,
c'est effectivement important de savoir si la voiture de 2M va reculer ou pas après collision, et si la raquette va reculer aussi... j'aurai tendance à dire
qu'on ne sait pas vraiment le prédire ça ? Pour le tennis, c'est donc la force du poignet qui peut jouer à faire en sorte que le mouvement du bras et de la raquette continue, la force donne une impulsion supplémentaire que l'on comptabilise dans les équations de la conservation de la quantité de mouvement, mais dans le cas des 2 voitures, je ne sais pas prédire le mouvement après contact des deux véhicules.

Merci d'avance pour les éclaircissements à toutes ces questions.
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[invitef29758b5]

Salut

Je sais qu'il faut écrire la conservation de la quantité de mouvement

Et la conservation de l' énergie cinétique .
Avec les 2 équation que tu obtiens , tu peux répondre toi même à toute le questions que tu poses .
Sauf une :

Que se passe t'il si la raquette s'arrête après la collision

car ce cas ne correspond pas au choc parfaitement élastique .

[flo1245]

Oui d'accord, mais ne sachant pas dans quel direction les masses vont évoluer après le choc, je ne sais pas faire d'hypothèse.
La voiture plus lourde, elle va reculer ou s'arrêter ? C'est important pour l'équation si je dois noter que Vb' est nul ou pas.
A vous lire, elle devrait aussi reculer sinon on parle d'une collision inélastique.

Merci.

[invitef29758b5]

Il n' y a pas lieu de se préocuper du signe dans les équations , vu que ce sont des inconnues .
Les signes apparaissent dans les solutions .
Pour savoir si vb' est nul ou pas , il faut résoudre l' équation . Celle ci est la même que vb' soit nul ou pas .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Black Jack 2]

Bonjour,

Cas de 2 voitures en choc frontal (et donc vecteurs vitesses colinéaires, mais de sens contraires)

m1.v1 + m2.v2 = m1.v'1 + m2.v'2 (v1 et v2 de signes contraires)

Si la voiture 1 est 2 fois plus lourde que la voiture 2, on a m1 = 2.m2 et que v1 = -v2, il vient :

--> 2.v1 - v1 = 2.v'1 + v'2
V1 = 2.v'1 + v'2

Ensuite il faut considérer plusieurs cas.

1er cas limite (le choc est parfaitement élastique ... ce qui en pratique ne sera jamais le cas)
Conservation de l'énergie cinétique ---> 1/2.m1.v1² + 1/2.m2.v2² = 1/2.m1.v1'² + 1/2.m2.v2'²
2.v1² + v1² = 2.v1'² + v2'²
3.v1² = 2.v1'² + v2'²

On a donc un système à 2 équations à 2 inconnues (v'1 et v'2) :
v1 = 2.v'1 + v'2
3.v1² = 2.v1'² + v2'²

qui résolu donne : V'1 = - V1/3 et V'2 = (5/3).V1
****

2em cas limite (le choc est totalement mou, dans ce cas, les 2 véhicules restent imbriqués l'un dans l'autre après le choc ... et donc v'1 = v'2)
v1 = 2.v'1 + v'2 devient :
v1 = 3.v'1 et donc on peut calculer v'1 (en connaissant v1 et v2 en vaeur algébrique (de signes contraires)

et donc dans ce cas : v'1 = v'2 = v1/3
****

Par les 2 cas précédents, on trouve les valeurs maximales et minimales de v'1 et v'2 (avec leur signe)


v'2 est dans [V1/3 ; (5/3).V'1] (et donc, le véhicule le plus léger recule suite au choc)
v'1 est dans [-V1/3 ; V1/3]

Le véhicule lourd recule si le choc est parfaitement élastique, il continue dans le même sens si le choc est entièrement mou.

Si le choc est "partiellement" élastique, il est possible que v'1 = 0
Si c'est le cas, on a :

V1 = 2.v'1 + v'2
V1 = v'2

L'énergie cinétique avant le choc est Eco = (1/2).3.m1*v1² = (3/2).m1*v1² et après le choc, elle est : Ec1 = 1/2.m2.V'2² = 1/2.m1/2.V1² = 1/4 m1.V1²
Il y a donc eu une perte d'énergie de (3/2).m1*v1² - 1/4 m1.V1² = (5/4).m1*v1² suite au choc. (soit environ 83 % d'énergie perdue)
L'énergie "perdue" a été transformée en déformation et chaleur.

Voila, toutes erreurs incluses.
Il te reste à comprendre.

[flo1245]

Merci pour ce raisonnement détaillé, j'ai également pu
comprendre que le signe allait apparaitre dans la réponse
après résolution sans savoir initialement la direction que ça allait prendre.
Tous les calculs semblent juste, un tout grand merci !

Par contre si on se met dans le cas de la raquette de tennis qui arrive sur la balle
à la même vitesse que la balle, et si la raquette est 2 fois plus lourde que la balle, on arrive aussi à la formule V'1 = - V1/3 et V'2 = (5/3).V1,
la balle est alors ralentie par rapport à sa vitesse initiale si il y a recul de la raquette ? Ce n'est pas logique, on alors on doit tenir compte de la force d'impulsion
ajoutée par le poignet ? Car en pratique notre balle sera tjrs accélérée.