Relativité: g avant d/ds ou d/ds avant g?

invite8ef93ceb · 11/06/2006, 09h53

Bonjour,

pour réussir à montrer que l'équation géodésique est l'équation d'Euler-Lagrange, j'avais le terme suivant à calculer

$\frac{d}{ds}\left( \frac{\partial }{\partial \dot{x}^{k}}\left( g_{\mu \nu }\dot{x}^{\mu }\dot{x}^{\nu }\right) \right)$ .

Si on applique la dérivée par rapport à la vitesse, on obtient aisément la quantité suivante

$\frac{d}{ds}\left( g_{k\nu }\dot{x}^{\nu }+g_{\mu k}\dot{x}^{\mu }\right)$ .

Ma première idée a été de descendre les indices avec la métrique, puis d'appliquer la dérivé selon s (le paramètre affine, ou le temps si vous voulez). On obtient

(1) $2 \ddot{x}_{k}$ .

Mais je n'arrivais à rien de bon. Alors j'ai appliqué d/ds avant de baisser les indices, pour obtenir

(2) $g_{k\nu ,\mu }\dot{x}^{\mu }\dot{x}^{\nu }+g_{k\nu }\ddot{x}^{\nu }$

Pourquoi je n'arrive pas au même résultat en (1) et (2)? Qui a-t-il de mauvais à appliquer la métrique avant de dériver?

Je pense qu'il y a quelque chose qui m'échappe...

Merci pour votre aide,

Cordialement,

Simon

invite8915d466 · 11/06/2006, 12h45

attention, les $g_{\mu\nu}$ dépendent des coordonnées, et donc aussi implicitement du temps lors du mouvement de la particule par l'intermédiaire des x(t). Tu ne peux pas les entrer dans la dérivée temporelle comme ça, ou alors il faut soustraire la quantité $\dot{g}_{\mu\nu}=g_{\mu\nu, \kappa}\dot{x}_{\kappa}$ . (on peut peut être aussi utiliser le fait que la dérivée covariante du tenseur métrique est nul, comme on vérifie trivialement dans un référentiel localement en chute libre).

invite8ef93ceb · 11/06/2006, 12h59

Ok, donc quand j'écris $\ddot{x}_k$ , je dois toujours me souvernir qu'il y a un $g^{k\nu}$ sous-entendu?

On dirait que ça veut dire que la dérivée temporelle peut s'appliquer directement aux vecteurs covariant, mais que quand on l'applique aux vecteurs contravariants, il faut se rappeler qu'il s'agit de vecteurs cov. multipliés par la métrique.

Je ne comprends pas cette dissymétrie...

C'est possible d'avoir plus de détail, sur le pourquoi du "je ne peux pas"?

Merci!

Simon

invitea29d1598 · 11/06/2006, 13h36

Envoyé par Lévesque

Je ne comprends pas cette dissymétrie...

du fait de la normalisation de la 4V tes deux variables ne sont pas indépendantes...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite8ef93ceb · 11/06/2006, 14h19

Envoyé par gillesh38

attention, les $g_{\mu\nu}$ dépendent des coordonnées, et donc aussi implicitement du temps lors du mouvement de la particule par l'intermédiaire des x(t).

Je viens d'allumer... Faut effacer la RR de mon esprit

Je comprends maintenant, en RR, g est constante dans le temps donc je ne m'étais jamais posé ce genre de question... Et là, elles apparaissent!

Merci à vous deux, je vais me coucher moi ignorant ce soir

Ciao,

Simon

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