Expérience de pensée : supposons un univers qui ne contiendrait que 2 photons

[andretou]

Bonjour à tous
Quelle serait l'énergie totale E_T d'un univers qui ne contiendrait en tout et pour tout que 2 photons de même énergie E₁ et E₂ :
A/ si les trajectoires des photons sont parallèles et de même directions (les 2 photons sont donc immobiles l'un par rapport à l'autre) ?
B/ si les trajectoires des photons sont colinéaires et ils s'éloignent l'un de l'autre ?
C/ si les trajectoires des photons sont colinéaires et ils se rapprochent l'un de l'autre de sorte qu'une collision est à venir ?
L'énergie totale de cet univers est-elle la même dans chaque cas : E_T = E₁ + E₂ ?
Merci d'avance pour vos réponses
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[mach3]

Si on précise qu'ils ont la même énergie dans un référentiel donné, alors l'énergie totale est bien la même dans tous les cas dans ce référentiel là. L'impulsion et la masse totales dépendent des cas.
Pas sûr que ce soit le cas dans un autre référentiel. Pas le temps de vérifier là.

m@ch3

[andretou]

Si on précise qu'ils ont la même énergie dans un référentiel donné, alors l'énergie totale est bien la même dans tous les cas dans ce référentiel là. L'impulsion et la masse totales dépendent des cas.
Pas sûr que ce soit le cas dans un autre référentiel. Pas le temps de vérifier là.

m@ch3

J'aurais parié que l'énergie totale serait différente en A (pas d'énergie cinétique) !
Est-ce à dire que les photons ont une masse en A et pas dans B ni C ?
Mais s'ils ont une masse alors ils s'attirent et vont finir par se rejoindre et par fusionner ?...

[mach3]

Cas A :
4-impulsion du photon 1 de composantes (E,E)
4-impulsion du photon 2 de composantes (E,E)
4-impulsion totale (2E,2E)
Carré scalaire de la 4-impulsion totale 4E^2-4E^2=0, masse nulle

Cas B et C :
4-impulsion du photon 1 de composantes (E,E)
4-impulsion du photon 2 de composantes (E,-E)
4-impulsion totale (2E,0)
Carré scalaire de la 4-impulsion totale 4E^2-0=4E^2, masse 2E

Concernant l'attraction de deux photons ça ne dépend pas de la masse, tout compte, énergie, impulsion, etc, mais c'est tellement tellement faible pour deux photons...

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[andretou]

Je crois que j'ai un gros problème avec l'univers A dans lequel j'ai imaginé que les 2 photons se déplacent parallèlement dans la même direction et sont donc immobiles l'un par rapport à l'autre...
Mais d'après le principe de l'invariance de la vitesse de la lumière (quel que soit le référentiel), les 2 photons ne s'éloignent-ils pas nécessairement l'un de l'autre à la vitesse de la lumière ?
Autre cas : dans un faisceau laser, les photons sont immobiles les uns par rapport aux autres. Mais comment concilier cette observation avec le principe de l'invariance de la vitesse de la lumière si je prends pour référentiel un des photons du faisceau (pour lequel tous les autres photons s'éloignent donc théoriquement à la vitesse de la lumière) ?
Merci d'avance pour votre aide

[coussin]

Vous venez de découvrir pourquoi on ne peut pas se mettre dans "le référentiel d'un des photons".

[andretou]

Vous voulez dire qu'il est interdit de prendre pour référentiel un photon ?

[coussin]

Vous voulez dire qu'il est interdit de prendre pour référentiel un photon ?

Oui puisque le photon serait au repos dans son référentiel, ce qui n'est pas possible.

[andretou]

Pourtant quand 2 photons s'éloignent l'un de l'autre dans des directions opposées, on peut se placer dans le référentiel d'un de ces photons ; et dans ce cas, pour le photon référentiel, l'autre photon s'éloigne à 300.000 km/s.
Est-ce correct ?
Si oui, cela signifie que dans au moins ce cas-ci on peut prendre un photon pour référentiel.

[mach3]

Pourtant quand 2 photons s'éloignent l'un de l'autre dans des directions opposées, on peut se placer dans le référentiel d'un de ces photons ; et dans ce cas, pour le photon référentiel, l'autre photon s'éloigne à 300.000 km/s.

non, dans aucun cas. Un photon n'est jamais immobile par rapport à un référentiel, par la définition même du concept de référentiel en relativité. Je vais revenir avec plus de détails sur la notion de référentiel pour mettre les points sur les i.

m@ch3

[mach3]

Explications sur le concept de référentiel dans le cadre de la relativité restreinte et générale :

D'abord un petit rappel, la géométrie de l'espace-temps est (au moins localement en RG, partout en RR) celle de Minkowski. Elle est semblable à celle d'Euclide par l'existence d'un produit scalaire (enfin presque, il n'en respecte justement pas toutes les propriétés...), qui permet de définir les distances et les angles, notamment la notion d'orthogonalité (deux vecteurs non nuls étant orthogonaux si leur produit scalaire est nul). Chez Euclide le produit scalaire d'un vecteur non nul avec lui-même (le carré scalaire) est strictement positif, et seul le vecteur nul à un carré scalaire nul. Chez Minkowski, il y a des vecteurs non nuls dont le carré scalaire est positif, d'autres dont le carré scalaire est négatif (dits de genre espace et de genre temps, respectivement, ou l'inverse, le signe dépendant d'un choix conventionnel) et même des vecteurs non nuls dont le carré scalaire est nul (dits de genre nul).
La structure de l'espace-temps de Minkowski, qui est de dimension 4 est telle que tout vecteur orthogonal à un vecteur de genre temps est un vecteur de genre espace. Le sous-espace de dimension 1 que génère ce vecteur de genre temps à donc pour orthogonal un sous-espace de dimension 3 dont tous les vecteurs sont de genre espace. Cela permet donc des découpages dits 1+3, 1 dimension de temps et 3 dimensions d'espace, découpages variables suivant le choix d'un vecteur de genre temps. Corolaire de cela, l'ensemble des vecteurs de genre nul est un cône à base sphérique (la même chose qu'un cône à base circulaire mais en ajoutant une dimension), qu'on appelle cône de lumière (illustration avec une dimension d'espace retirée ici). En un évènement, ce cône partitionne l'espace-temps de Minkowski en un ensemble de vecteurs de genre espace ("l'ailleurs") et deux ensembles disjoints de vecteurs de genre temps ("le passé" et "le futur").

Si en tout point d'une ligne de l'espace-temps le vecteur tangent à la ligne n'est pas de genre espace, on appelle cette ligne une ligne d'univers. On parlera de ligne d'univers de genre temps si en tout point le vecteur tangent est de genre temps et de ligne d'univers de genre nul si en tout point le vecteur tangent est de genre nul.

Un référentiel c'est :

-un ensemble de lignes d'univers de genre temps (genre nul exclu donc) qui remplissent intégralement l'espace-temps (ou au moins une partie de), telles qu'elles ne se coupent jamais et restent disposées les unes par rapport aux autres identiquement d'un bout à l'autre à certaines transformations non singulières près (rotation, cisaillement, dilatations ou compressions suivant divers axes...), c'est à dire qu'elles gardent toujours le même voisinage. Cet ensemble définit les "lieux" du référentiel. Deux évènements qui se produisent sur une même ligne d'univers appartenant à cet ensemble se produisent "au même lieu" ou encore "au même endroit" dans ce référentiel. Un objet dont tous les points ont une ligne d'univers qui fait partie de l'ensemble qui défini le référentiel est "immobile" dans le référentiel (il reste continuellement au même lieu, au même endroit, dans le référentiel). C'est cela qui fait que, par raccourci, on associe un référentiel à un objet dans bien des cas, mais cette association n'est pas obligatoire.
En terme technique cet ensemble de lignes d'univers est appelé un "fibré". Cet ensemble de lignes EST l'espace selon le référentiel.
L'exemple le plus simple en espace-temps plat est l'ensemble de toutes les droites parallèles à une droite de genre temps donnée.

-un ensemble d'hypersurfaces (3D donc) de genre espace (tout vecteur tangent à l'hypersurface est de genre espace), tels qu'elles ne se touchent, ni ne se coupent jamais, tout en remplissant intégralement l'espace-temps (ou du moins une partie de). Cet ensemble défini les dates du référentiel. Deux évènements qui se produisent sur la même hypersurface ont lieu à la même date dans le référentiel, ils ont lieu en même temps. En terme technique c'est également un fibré. Cet ensemble EST le temps selon référentiel.
L'exemple le plus simple en espace-temps plat est l'ensemble des hyperplans (dimension 3) parallèles à un hyperplan donné, orthogonal à une droite de genre temps (pour visualiser avec une dimension de moins, penser à tous les plans (dimension 2) orthogonaux à une droite de l'espace 3D)

Un référentiel est donc une double fibration de l'espace-temps. L'exemple le plus simple et courant en espace-temps plat est un référentiel dit "de Lorentz", on choisit une droite de genre temps, l'ensemble des droites parallèles à cette droite constitue les lieux du référentiel, l'espace selon ce référentiel, et l'ensemble des hyperplans orthogonaux à cette droite constitue les dates du référentiel, le temps selon ce référentiel.

Le référentiel est une construction mathématique artificielle (même si elle peut être construite sur la base d'un objet réel, lequel serait donc immobile dans le référentiel ainsi construit). Le référentiel sert de cadre ("frame" en anglais, qui est justement le mot pour "référentiel" dans cette langue) pour appuyer la description des phénomènes. On peut d'ailleurs le munir de divers systèmes de coordonnées (et inversement, certains systèmes de coordonnées peuvent permettre de définir un référentiel) pour aller plus loin dans la description numérique des phénomènes.

Dernier point, la vitesse d'un point matériel par rapport au référentiel est caractérisé par la tangente hyperbolique de la rapidité (à un facteur c près), une "sorte d'angle", entre la ligne d'univers du point matériel et une ligne d'univers du référentiel là où elles se croisent.
Formellement, dans le cas où la ligne d'univers du point matériel est de genre temps, on prend des vecteurs unitaires (leur carré scalaire est de 1, au signe près qui dépend de la convention) tangent à cette ligne et à une de celle du référentiel à leur intersection, et on en fait le produit scalaire. On obtient alors le fameux facteur , qui est le cosinus hyperbolique de la rapidité.
La rapidité entre deux lignes d'univers de genre temps est un réel positif fini, ce qui implique que le est un réel fini supérieur à 1 et que la vitesse de l'une par rapport à l'autre (à un facteur c près) est positive mais strictement inférieure à 1 (donc inférieure à c si on remet le facteur).
Le cas où la ligne d'univers du point matériel est de genre nul est plus délicat, car les vecteurs tangents à cette ligne d'univers sont tous de carré scalaire nul (par définition du genre nul) et il n'en existe pas qui soient unitaires. Un peu de trigonométrie hyperbolique montre néanmoins que la vitesse (c'est à dire la tangente hyperbolique de la rapidité) de l'une par rapport à l'autre (à un facteur c près) exactement égale à 1 (donc exactement c si on remet le facteur), ce qui implique que la rapidité et le facteur divergent vers l'infini.

Un référentiel n'étant constitué que de lignes d'univers de genre temps, la vitesse d'un point matériel par rapport à lui est donc strictement inférieure à 1 (ou c) si sa ligne d'univers est de genre temps et exactement égale à 1 (ou c) si sa ligne d'univers est de genre nul. Donc, dans tout référentiel, si la ligne d'univers d'un point matériel est de genre temps, sa vitesse est strictement inférieure à c (cas d'une particule de masse non nulle) et si la ligne d'univers est de genre nul, sa vitesse est strictement égale à c (cas d'une particule de masse nulle).

m@ch3

[andretou]

Merci vivement pour ces explications complètes, même si hélas je passe à côté de pas mal de concepts.
Je retiens donc que l'on ne peut en effet pas prendre pour référentiel un photon (on peut dire qu'un photon s'éloigne de moi à 300.000 km/s, mais pour autant on ne peut pas dire que je m'éloigne du photon à 300.000 km/s).
Mais si j'envoie 2 photons dans des directions opposées, que puis-je dire sur la vitesse à laquelle ils s'éloignent l'un de l'autre ? Puis-je dire qu'au bout de 1 seconde ils se seront éloignés l'un de l'autre de 600.000 km ?

[mach3]

Oui, on peut dire que, dans un référentiel donné, deux photons s'éloignent l'un de l'autre à 2c. C'est ce qu'on appelle une vitesse d'éloignement ou de rapprochement, une différence entre deux vitesses par rapport à un même référentiel.
Note au passage, cette vitesse de rapprochement ou d'éloignement dépend du référentiel (si c'est 2c dans certains référentiels dans notre cas, ce sera moins dans d'autres).

m@ch3

[andretou]

Autres questions : a-t-on le droit de prendre pour référentiel un neutrino ? Ou un proton du LHC qui se déplace à 99,99% de c ?

[mach3]

Autres questions : a-t-on le droit de prendre pour référentiel un neutrino ? Ou un proton du LHC qui se déplace à 99,99% de c ?

a-t-on le droit de prendre un référentiel ou un neutrino ou un proton du LHC sont immobile? oui, vu qu'ils ont une masse, leur vitesse est strictement inférieure à c, et il y a donc forcément un référentiel dans lequel un neutrino ou un proton du LHC est immobile.

m@ch3

[andretou]

vu qu'ils ont une masse, leur vitesse est strictement inférieure à c

En ce qui concerne le neutrino, est-on certain que sa vitesse est inférieure à c ?

[coussin]

Pour le neutrino, on sait qu'il a une masse non nulle car on a observé l'oscillation de saveurs; phénomène qui requiert une masse.
Cependant, je ne sais pas si on a déjà réussi à mesurer directement la différence entre la vitesse d'un neutrino et la vitesse de la lumière. Celle-ci est très très petite et on peut facilement se planter (cf les neutrinos supraluminiques )

[Nicophil]

La masse non nulle du neutrino n'est-elle pas de la physique BSM (Beyond Standard Model) ?

[coussin]

La masse non nulle du neutrino n'est-elle pas de la physique BSM (Beyond Standard Model) ?

Si.
D'autres infos sur le vitesse des neutrinos : https://fr.wikipedia.org/wiki/Neutri..._des_neutrinos

[Sethy]

Autres questions : a-t-on le droit de prendre pour référentiel un neutrino ? Ou un proton du LHC qui se déplace à 99,99% de c ?

Je pense que je vois où tu veux en venir.

Mais le postulat d'Einstein est clair : la vitesse de la lumière est la même dans tous les référentiels.

Si cela se conçoit aisément avec deux enfants qui jouent avec des lampes de poche, l'un sur le quai au repos par rapport à celui-ci, l'autre dans un train en mouvement par rapport au quai, je concède que c'est plus difficile avec des particules quasi-relativistes.

Il n'empêche que c'est la base de la relativité (et même du nom de cette théorie).

Donc, quand bien même tu choisirais le référentiel d'un neutrino pour mesurer la vitesse de 2 photons, l'un allant "dans le même" sens que le neutrino et l'autre allant dans un autre sens, ça ne changerait rien à ce qui a été énoncé jusqu'ici.

[andretou]

Donc, quand bien même tu choisirais le référentiel d'un neutrino pour mesurer la vitesse de 2 photons, l'un allant "dans le même" sens que le neutrino et l'autre allant dans un autre sens, ça ne changerait rien à ce qui a été énoncé jusqu'ici.

Si en effet on choisit pour référentiel un neutrino qui se déplacerait à la même vitesse que les photons au sein d'un faisceau laser, et si le photon qui précède ce neutrino s'éloigne de lui à la vitesse de la lumière conformément au principe de l'invariance de la vitesse de la lumière, alors cela signifie que le temps "s'arrête" pour le neutrino (c'est-à-dire que pour un observateur un temps infini s'écoulera avant que ne s'écoule 1 seconde pour le neutrino).
Est-ce correct ?

[mach3]

Si en effet on choisit pour référentiel un neutrino qui se déplacerait à la même vitesse que les photons

ben non... Un neutrino a une masse, donc il ne se déplace pas à la même vitesse qu'un photon, peu importe le référentiel.

m@ch3

[andretou]

Un neutrino a une masse, donc il ne se déplace pas à la même vitesse qu'un photon

Théoriquement, si un neutrino se déplaçait à c, cela impliquerait que, du fait de sa masse non nulle, il aurait une énergie infinie ? C'est bien ça ?

[mach3]

Oui.

m@ch3

[extrazlove]

Merci vivement pour ces explications complètes, même si hélas je passe à côté de pas mal de concepts.
Je retiens donc que l'on ne peut en effet pas prendre pour référentiel un photon (on peut dire qu'un photon s'éloigne de moi à 300.000 km/s, mais pour autant on ne peut pas dire que je m'éloigne du photon à 300.000 km/s).
Mais si j'envoie 2 photons dans des directions opposées, que puis-je dire sur la vitesse à laquelle ils s'éloignent l'un de l'autre ? Puis-je dire qu'au bout de 1 seconde ils se seront éloignés l'un de l'autre de 600.000 km ?

Bonjour,
Juste une question sur la géométrie de Minkowski
Y a t'il un vecteur pour le présent ou voir un vecteur ou futur passé en même temps ?

[Sethy]

Théoriquement, si un neutrino se déplaçait à c, cela impliquerait que, du fait de sa masse non nulle, il aurait une énergie infinie ? C'est bien ça ?

Je suis prudent, n'étant pas physicien. Mais oui, c'est une manière de dire les choses.

L'autre manière, c'est de se rendre compte qu'au plus une particule massive approche de la vitesse de la lumière, au plus il est difficile de l'accélérer.

Ceci dit, dans le LHC par exemple, je cite "Les protons sont accélérés à des vitesses extrêmement proches de celle de la lumière. Avec une énergie de 7 TeV, soit 7 500 fois leur énergie de masse, leur vitesse est d'environ 0,999 999 991 fois celle de la lumière, autrement dit, ils se déplacent à seulement 2,7 mètres par seconde moins vite que la lumière (299 792 455,3 au lieu de 299 792 458 mètres par seconde).".

Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Grand_...aux_de_protons