Bonjour,
Je travaille actuellement sur une introduction à la mécanique des fluides avec ce site:
http://res-nlp.univ-lemans.fr/NLP_C_...ontenu_24.html
L’ensemble est très complet jusqu’au moment où on parle de viscosité. Il faut admettre la relation :
.
Je ne vois pas bien d’où elle sort sachant qu’elle n’a rien d’evident.
Existe-t-il une explication à ma portée?
Merci d’avance
Et à bientôt (et désolé si ma question n’est pas très claire!)
Dernière modification par Alex1504 ; 25/12/2019 à 15h17.
On cherche la relation linéaire la plus générale possible entre le tenseur des contrainteset le tenseur du taux de déformation
Le cas évident est
Je n'en sais pas plus, désolé...
Merci d’essayer de m’aider
Je n’ai en fait presque pas de connaissance sur mu et mu’ (en dehors de leur définition dans le cadre d’un écoulement à 1 dimension). J’ai à ma disposition un cours sur l’etude des déformations linéaires des solides (pas certain que ca serve mais on sait jamais). Une simple justification qualitative me suffirait.
Par ailleurs on sépare en deux le tenseur des contraintes de façon à avoir l’une des deux matrices de trace nulle été l’autre diagonale. La matrice diagonale représente évidemment une pression mais je ne vois pas pourquoi la matrice de trace nulle s’annule en écoulement sans viscosité (ce qui justifie d’ailleurs son appellation de tenseur des contraintes de viscosité)
Répondre à ma première question répondrait automatiquement à ma seconde car ce résultat découle de la relation qui m’en semble bizarre évoquée dans mon premier post.
Dernière modification par Alex1504 ; 25/12/2019 à 20h14.
En fait je comprends bien pourquoi il faut une relation lineaire en les eij (fluide newtonien) et avec un même scalaire a chaque fois pour l’isotropie... mais on pourrait imaginer plein de relations fausses avec ces conditions
Dernière modification par Alex1504 ; 25/12/2019 à 20h17.
Justification de Landau : les frottements proviennent d'un mouvement relatif des particules de fluide. Le tenseur des contraintes dépend donc des dérivées de la vitesse. On cherche une relation linéaire en première approximation. Il faut éliminer la rotation uniforme d'où le choix de la partie symétrique du taux de déformation. Et, conclusion à la Landau : "La forme la plus générale est :".Envoyé par Alex1504
On sépare bien le tenseur en deux en ne prenant que la partie symétrique, mais ensuite il n'y a pas séparation : il y a deux termes linéaires,
- l'un faisant intervenir la trace, autrement dit la divergence de la vitesse liée à la variation de volume de la particule fluide, donc la viscosité de compression ou volumique
- l'autre faisant intervenir la partie symétrique complète, avec la diagonale, viscosité de cisaillement ou dynamique.
Sans viscosité, ce qui s'annule, ce n'est pas la matrice mais mu.
"mais on pourrait imaginer plein de relations fausses avec ces conditions", manifestement non puisque Landau dit "La forme la plus générale est :". Je ne sais pas justifier. Il y a des méthodes analogues, mais je n'arrive pas à remettre la main sur un exemple, dans lequel on définit un tenseur d'ordre 2 comme relation linéaire la plus générale entre deux vecteurs, et ensuite en imposant que ce tenseur à 9 composantes doit vérifier certaines propriétés de symétrie, on arrive à réduire le nombre de composantes indépendantes.
Merci beaucoup pour cette longue justification. Tout cela est très nouveau pour moi et il me faudra un peu de temps pour y méditer.
J'ai remis la main sur la simplification du tenseur.
Initialement, on a un tenseur d'ordre 4, relation linéaire entre deux tenseurs d'ordre 2, puis on simplifie : voir
Rhéophysique Patrick Oswald
et à la fin il n'y a plus que deux coefficients indépendants et on peut "oublier" le tenseur
Dernière modification par gts2 ; 25/12/2019 à 21h58.
Merci de la référence mais étant en vacances un peu loin de chez moi j’ai pas de moyen de mettre l’an main sur le livre en bibliothèque. Je ne souhaite pas non plus l’acheter en entier pour une histoire qui n’en prend que quelques pages...
Ce qui me gêne le plus dans la relation entre les 2 tenseurs c’est que la contrainte tangentielle de direction x sur la surface élémentaire de normale y soit proportionnelle à la dérivée de la composante selon y du champ des vitesses par rapport à x. Je ne vois pas en quoi ce gradient de vitesse génère des «*frictions*» i.e. contraintes visqueuses dans le plan normal à y: c’est contre-intuitif!
Le lien donné est le lien sur la page concernée dans Google Books.
Il faut regarder au niveau moléculaire : on considère une surface Oxy qui délimite pour z<0, un flux de vitesse vm selon Oy et pour z>0, un flux de vitesse vp>vm selon Oy. On a bien un gradient de vy selon Oz.
Par diffusion selon Oz, des particules vont traverser Oxy, celles qui vont des z<0 vers z>0, emporte avec elles une quantité de mouvement plus faible, que celle qui vont dans l'autre sens.
La quantité de mouvement selon Oy en z>0 va donc diminuer et réciproquement pour z>0.
On a bien freinée selon Oy, on a bien une "contrainte tangentielle de direction y sur la surface élémentaire de normale z" "proportionnelle à la dérivée de la composante selon y du champ des vitesses par rapport à z".
On peut aller jusqu'au calcul et dans le cas du gaz parfait (parfait thermo pas meca), on trouve que la viscosité cinématique est égale au coefficient de diffusion.
Merci, le lien Google devait être un peu «*secoué*» pour donner une image! Le livre est trop complexe pour l’instant mais je le garde en mémoire pour le moment où je serai un peu meilleur en thermodynamique (grosses équations sur l’entropie bof pour le moment). Mais c’est bon j’ai maintenant une justification qualitative suffisante pour tout ce qui concerne la viscosité grâce à ton aide. Merci beaucoup!
