Atome d'hydrogène

**livre** · 05/02/2020, 18h28

Bonjour,

Dans l'atome d'hydrogène, en utilisant
$<r^k>_{n\ell m} = \int \psi^*_{n\ell m} r^k \psi_{n\ell m} (\vec{r})d\vec{r} = \int_0^{\infty} |R_{n\ell}|^2 r^{k+2}dr$
on est censé trouver, pour k=1,-1,-2 et -3 :

$<r>_{n\ell m} = a_{\mu} \frac{n^2}{Z}\Big(1 + \frac{1}{2}\Big[1 - \frac{\ell(\ell+1)}{n^2}\Big]\Big)$
$<r^{-1}>_{n\ell m} = \frac{Z}{ a_{\mu} n^2}$
$<r^{-2}>_{n\ell m} = \frac{Z^2}{ a_{\mu}^2 n^3 (\ell + \frac{1}{2})}$
$<r^{-3}>_{n\ell m} = \frac{Z^3}{ a_{\mu}^3 n^3 \ell (\ell + \frac{1}{2})(\ell + 1)}$

Comment ce problème peut être résolu ?

Merci

**Opabinia** · 07/02/2020, 07h37

Le calcul est à moitié fait (je n'ai pas vérifié les formules); il suffit d'introduire, dans l'expression de l'intégrale simple

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l'expression du carré de l'amplitude de la fonction d'onde radiale, qui donnée par le produit d'un polynôme de degré (n - 1) par une exponentielle décroissante:

R_{n, l}(r) = P_n-1(r).Exp(-Zr/na₀) (a₀ désignant le rayon de la première orbite de Bohr).

L'intégrale est toujours convergente, mais l'établissement de son expression est difficile.
As-tu déjà vérifié le résultat particulier correspondant à k = 1 ?

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