L'atome d'hydrogène

[invite6208e89b]

Bonsoir,

Je me demande qui'est ce qui fait que l'électron d'un atome d'hydrogène continue à tourner auteur du noyau sans jamais le percuter?

Merci
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[DarK MaLaK]

Salut, c'est le fait qu'il ne tourne pas autour du noyau au sens où la mécanique classique l'entend, car sinon il perdrait de l'énergie et la matière ne pourrait pas être stable. Il faut étudier la physique quantique pour voir que sa dynamique est en fait régie par l'équation de Schrödinger...

[albanxiii]

Bonjour,

Evidemment que cela ne peut être expliqué que par la mécanique quantique.

J'espère ne pas dire de bétise, mais on peut voir cela comme une conséquence du principe d'incertitude de Heinsenberg qui dit qu'il existe une limite qui nous empêche de déterminer avec autant de précision que l'on veut à la fois la position et l'impulsion d'une particule : (et les deux même pour et ).

Si on suppose que l'électron est situé très près du proton, alors son est très petit, et en conséquence des relations d'incertitude, son est forcément très grand, donc cet électron va rapidement s'éloigner de sa position actuelle. Et donc se retrouver ailleurs très vite !

Je n'ai raisonné que sur une dimension pour simplifier, mais c'est exactement la même chose en 3 dimensions.

[curieuxdenature]

Bonsoir,

Je me demande qui'est ce qui fait que l'électron d'un atome d'hydrogène continue à tourner auteur du noyau sans jamais le percuter?

Merci

Bonjour

tout dépend du sens que tu donnes au terme 'pourquoi', le simple fait d'en faire le constat répond en partie à la question.
S'il ne fusionnent pas c'est parce qu'il ne peuvent pas le faire dans les conditions constatées.
La particule composite la plus proche du proton est le neutron, pour qu'un changement de l'un vers l'autre s'opère il faut remplir au moins la condition qui fait leur différence de masse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite60be3959]

Bonsoir,

Je me demande qui'est ce qui fait que l'électron d'un atome d'hydrogène continue à tourner autour du noyau sans jamais le percuter?

Merci

Bonjour,

Quand on imagine que l'électron de l'atome d'hydrogène tourne autour du proton "central" on établit d'emblé un modèle planétaire de cet atome. C'est le modèle dit de Rutherford(1911). La force d'interaction électrique est formellement la même que celle gravitationnelle. Quelle belle idée que de penser que les électrons tourneraient autour de leur noyau comme le font les planètes autour de leur étoile !

Oui, mais selon l'électromagnétisme une charge accélérée rayonne de l'énergie et doit ainsi finir sont chemin sur le proton. Donc modèle à rejeter.

En 1913, Bohr imagine un modèle également planétaire mais plus subtile. Il se base sur les expériences de spectroscopie (spectre des raies lumineuses d'absorption et d'émission) et postule alors que le moment cinétique de l'électron (disons sa capacité à tourner autour du noyau) est quantifié. Ce moment cinétique ne peut prendre que certaines valeurs proportionnelles à une constante(la fameuse constante de Planck).
En rajoutant cette hypothèse(confirmée expérimentalement un an plus tard par Franck et Herzt) dans les équations de la dynamique, on obtient des distances électron-proton également quantifiées et notamment une distance minimale qui "empêche" en quelque sorte l'électron de tomber sur l'atome(appeléle rayon de Bohr a₀)

Cependant le modèle de Bohr n'explique pas les spectres de raies des autres atomes et dans son modèle, l'électron est toujours sensé perdre de l'énergie par rayonnement. Il subsiste donc une contradiction forte et très gènante !

Pour résoudre le problème il faudra près de 13 ans(et encore, la pillule est très mal passée, à l'époque, et même encore aujourd'hui !).

La solution réside dans le fait d'abandonner la notion de trajectoire classique pour une particule, notion qui fait intervenir la position et la vitesse de la particule. Cette vision évidente pour nous, être macroscopique, semble être mise en défaut à l'échelle atomique(et moléculaire aussi).
Formellement on ne décrit plus le système physique par la 2nde loi de Newton(!) mais par une nouvelle équation d'évolution, l'équation de Schrödinger. L'électron ne décrit plus des orbites circulaires(ou même elliptiques comme l'avait affiné Sommerfeld, sans succès), il est dit délocalisé. Il possède certaines probabilités de présence autour du noyau, justement centrées sur les orbites de Bohr. Il est à la fois ici et là, sous une forme qu'il nous est impossible d'appéhender. Voilà l'effort d'imagination que nous impose la mécanique quantique ! On dit que l'atome possède un nuage électronique, même s'il n'y a qu'un seul électron !(normal il est un peu partout à la fois!).
Einstein et Bohr rongeront longtemps leur frein en s'heurtant à cette idée qui manifestement explique tout ce qu'il faut savoir sur l'atome d'hydrogène(ou presque) et également sur les spectres de raies des autres atomes et molécules, et bien au-delà d'ailleurs.

Einstein s'exclamait déconcerté : "Dieu ne joue pas aux dés !", car en effet la notion de hasard est fondamentale en mécanique quantique. Mais c'est ainsi, il faut l'accepter. Jusqu'à preuve du contraire bien entendu !

[invite6208e89b]

Merci pour ces réponses utiles!

Je me demande aussi s'il y a une réaction qui transforme l'atome d'hydrogène en un proton et électron indépendants, quelle est l'énergie d'une telle réaction, et comment la réaliser?

[coussin]

Ah bah oui c'est tout simple. C'est tout bêtement de l'ionisation.
Dans l'atome d'hydrogène, l'électron est lié par une quantité d'énergie de 13.6 eV.
Ça serait de la photoionisation si on envoyait sur l'atome d'hydrogène un laser à cet énergie mais ça fait beaucoup pour un laser, chépa si ça existe (si ça existe, c'est super cher )
Ça peut se faire avec un canon à électron par exemple.

[stefjm]

Ah bah oui c'est tout simple. C'est tout bêtement de l'ionisation.
Dans l'atome d'hydrogène, l'électron est lié par une quantité d'énergie de 13.6 eV.

Energie qui peut être considérée comme l'énergie cinétique de l'électron sur la première orbite. (donnée par le modèle de Bohr)

avec v=c/137.036

[invite6208e89b]

merci pour ces éclaircissements !

[DarK MaLaK]

Salut stefjm, d'où vient le facteur 137.036 de ta formule ?

[stefjm]

Salut stefjm, d'où vient le facteur 137.036 de ta formule ?

C'est l'inverse de la constante de structure fine qui apparait dans le rayon de Bohr.


Je parie que tu n'avais jamais fait le calcul de l'énergie d'ionisation comme cela!

Dans l'atome de Bohr, l'électron va à la vitesse c/137.036.

Ca se trouve facilement en écrivant la force électrique à l'aide des constantes fondamentales et .



Cordialement.

[DarK MaLaK]

Pari perdu pour une fois ! Enfin pas tout à fait : je n'ai pas imaginé le calcul tout seul, mais j'ai vu ça dans un cours, sauf que j'avais totalement oublié la valeur numérique de cette constante et que c'était présenté de manière légèrement différente, à savoir qu'on observait d'abord que représente la vitesse typique de l'électron (et on en déduit qu'il n'y a pas de problèmes avec la relativité). Puis on fait le calcul et par la suite on retrouve ce résultat après avoir résolu l'équation de Schrödinger ! De plus, cette façon de faire permet de définir des constantes pour adimensionner l'équation.


Par contre, je me demande comment on peut être sûr que est la vitesse de l'électron et pas simplement une quantité quelconque homogène à une vitesse. Ce n'est pas expliqué clairement dans mon cours...

[curieuxdenature]

Bonjour DarK MaLaK

pour les faibles énergies c'est le rapport entre l'énergie de l'électron et l'énergie maximum de son orbitale autour du noyau (une seule charge Z)
511 000 eV / 13.6 eV = mC² / 1/2 mv²
on remplace c par 1 et on a = 2 / v²
soit v=c / 136.06

[stefjm]

Pari perdu pour une fois ! Enfin pas tout à fait : je n'ai pas imaginé le calcul tout seul, mais j'ai vu ça dans un cours, sauf que j'avais totalement oublié la valeur numérique de cette constante et que c'était présenté de manière légèrement différente, à savoir qu'on observait d'abord que représente la vitesse typique de l'électron (et on en déduit qu'il n'y a pas de problèmes avec la relativité).

Ca, c'est de la bête analyse dimensionnelle de numérologue. (numérologue qui connais la valeur de ses constantes adimensionnées )

La seule vitesse possible, c'est de toute évidence .
Qu'on s'empresse de comparer à c pour les problèmes éventuels de relativité.

Puis on fait le calcul et par la suite on retrouve ce résultat après avoir résolu l'équation de Schrödinger !

T'es plus savant que moi. J'en suis resté à Bohr...
Il y a encore des vitesses d'électron dans le modèle Schrödinger?

De plus, cette façon de faire permet de définir des constantes pour adimensionner l'équation.

Ça m'intéresse! Tu pourrais préciser s'il te plait?

Par contre, je me demande comment on peut être sûr que est la vitesse de l'électron et pas simplement une quantité quelconque homogène à une vitesse. Ce n'est pas expliqué clairement dans mon cours...

Ben, naïvement, c'est la vitesse d'un truc chargé par rapport à un autre truc chargé.
Comme il y a un proton et un électron avec un rapport de masse 1836,15 entre les deux, j'imagine qu'on prend le proton comme référentiel galiléen et qu'on laisse tourner l'électron autour?

Si tu as mieux comme explication, cela m'intéresse aussi.

Cordialement.

[stefjm]

Bonjour DarK MaLaK

pour les faibles énergies c'est le rapport entre l'énergie de l'électron et l'énergie maximum de son orbitale autour du noyau (une seule charge Z)
511 000 eV / 13.6 eV = mC² / 1/2 mv²
on remplace c par 1 et on a = 2 / v²
soit v=c / 136.06

Du coup, c'est moi qui ne suit plus!

[curieuxdenature]

Ce n'est pas une coïncidence, 511000 eV est l'énergie relative à la masse de l'électron et 13.6 l'énergie maximum de son orbitale autour d'un proton.
C'est un rapport qui se trouve être identique au rapport énergie nucléaire / énergie électromagnétique soit e²/hbar.
L'électron n'est pas sensible à l'interaction forte, ce qui ne l'autorise pas à s'approcher plus du noyau. Sa seule possibilité est donc d'échanger des photons virtuels de 13.6 eV avec son proton de mari.
Et puisqu'il est tenu à l'écart du noyau, il peut prendre toutes les positions qui correspondent à l'équivalent de cette vitesse, sans nécessairement tourner autour.

[stefjm]

C'est un rapport qui se trouve être identique au rapport énergie nucléaire / énergie électromagnétique soit e²/hbar.

C'est là que je suis perdu.
e²/hbar est une vitesse égale à un rapport d'énergie?
Rien que l'écrire me fait bizarre!

On a simplement :

511 000 eV / 13.6 eV=2.137^2

D'un autre coté, on a
e^2/hbar=hbar.c/(137 hbar) = c/137

Cordialement.

[curieuxdenature]

511 000 eV = Me c²
13.6 eV = 1/2 Me v²
tu as la vitesse par rapport à c, 511 000 / 13.6 = 2 c²/v²
v = racine( 2 c² * 13.6 / 511000) = c / 137.036

e²/hbar est une simplification pour donner le ton évidemment, il faut que les unités restent homogènes.
E = k e²/d
E = hbar c/d = h v = 1/2 mv², etc..
si d reste identique dans les deux cas, 1/137.036 est la constante de structure fine, c'est aussi le rapport entre ces deux forces fondamentales.

[stefjm]

e²/hbar est une simplification pour donner le ton évidemment, il faut que les unités restent homogènes.

Ce n'est pas cela qui posait souci. e^2/hbar est bien une vitesse quand on prend l'unité naturelle de la charge.

Merci pour le développement du reste. J'ai bien le même ce coup ci!

Cordialement.

[DarK MaLaK]

Ca, c'est de la bête analyse dimensionnelle de numérologue. (numérologue qui connais la valeur de ses constantes adimensionnées )

La seule vitesse possible, c'est de toute évidence .
Qu'on s'empresse de comparer à c pour les problèmes éventuels de relativité.

En fait, une phrase m'a intrigué dans sa formulation. Je la copie ici : "Notons d'abord que est une vitesse. A moins que l'équation ne soit pathologique (ce qui n'est heureusement pas le cas), elle doit représenter la vitesse typique v de l'électron pour les niveaux les plus bas de l'atome d'hydrogène."

L'expression que j'ai soulignée suppose que les auteurs (ou quelqu'un d'autre avant eux) ont vérifié que cette équation n'était pas pathologique (et je ne comprends pas comment). Et dans un second temps, cela suppose qu'il peut en exister. Or, je n'en ai jamais vu, ça a toujours l'air de marcher correctement, avec dans le pire des cas un facteur 2 ou 1/2 devant...

Ça m'intéresse! Tu pourrais préciser s'il te plait?

Je vais essayer mais c'est un peu long, et je n'ai pas encore vraiment compris la résolution de l'équation, seulement les démarches qui permettent d'avoir une équation un peu moins bordélique qu'au début.

En fait, on se place d'abord en coordonnées sphériques (ça paraît logique...) et on a l'équation qui s'écrit comme ceci :



Là, on veut faire disparaître au mieux toutes les constantes qui apparaissent et on se rend vite compte que c'est le rayon de Böhr, l'énergie de Rydberg, etc. qui vont apparaître. D'abord, on simplifie l'écriture en posant :



Ensuite, on va multiplier introduire des quantités sans dimension à partir des constantes que sont le rayon de Böhr et l'énergie de Rydberg . On pose : et et on obtient :



Et donc on sait déjà que s'il existe des solutions à cette équation (ce qui est le cas, bien sûr...), elles feront apparaître le rayon de Böhr et l'énergie de Rydberg. Moi, c'est là que je bloque et j'essaie de trouver sur internet une résolution mathématique rigoureuse de cette équation (j'ai seulement le résultat dans mon cours).

Je ne sais pas si c'est ce que tu demandais ou si tu savais déjà tout ça, mais j'espère ne pas avoir répondu trop à côté de la question... En attendant, je vais lire les éventuels messages qui auraient été postés pendant mon absence et ma rédaction !

[DarK MaLaK]

Bonjour DarK MaLaK

pour les faibles énergies c'est le rapport entre l'énergie de l'électron et l'énergie maximum de son orbitale autour du noyau (une seule charge Z)
511 000 eV / 13.6 eV = mC² / 1/2 mv²
on remplace c par 1 et on a = 2 / v²
soit v=c / 136.06

Salut, en quoi cette façon de présenter les choses est-elle intéressante ? Moi, mis à part pour quelques justifications physiques, je n'ai pas beaucoup vu la constante de structure fine et j'ignore si elle a une importance que je ne soupçonnerais pas...

Si j'ai bien compris, on a :



Cette énergie E, c'est l'énergie de l'électron au repos, c'est ça ? (désolé si la question paraît stupide mais comme j'ai très peu étudié la relativité jusqu'à présent, j'ai toujours peur de comprendre de travers dès que je rencontre une formule qui s'y rapporte...). Sinon, il apparaîtrait une masse effective ou quelque chose comme ça, non ?

[coussin]

Moi, c'est là que je bloque et j'essaie de trouver sur internet une résolution mathématique rigoureuse de cette équation (j'ai seulement le résultat dans mon cours).

C'est justement l'équation vérifiée par les fonctions de Coulomb http://en.wikipedia.org/wiki/Coulomb_function

[DarK MaLaK]

Salut coussin, en es-tu sûr ? ça ne ressemble pas vraiment aux solutions que j'ai et qui sont exprimées en fonction de polynômes appelés polynômes de Laguerre.

[stefjm]

En fait, une phrase m'a intrigué dans sa formulation. Je la copie ici : "Notons d'abord que est une vitesse. A moins que l'équation ne soit pathologique (ce qui n'est heureusement pas le cas), elle doit représenter la vitesse typique v de l'électron pour les niveaux les plus bas de l'atome d'hydrogène."

L'expression que j'ai soulignée suppose que les auteurs (ou quelqu'un d'autre avant eux) ont vérifié que cette équation n'était pas pathologique (et je ne comprends pas comment). Et dans un second temps, cela suppose qu'il peut en exister. Or, je n'en ai jamais vu, ça a toujours l'air de marcher correctement, avec dans le pire des cas un facteur 2 ou 1/2 devant...

Je ne sais pas ce qu'est une équation pathologique! Je n'ai jamais vu le terme et pourtant, j'aime bien l'AD...

Ceci dit, certaine AD font apparaitre des coefficients qui font peur! (par exemple, si on cherche un nombre pur liant hbar, c, G et m_electron !)

Je vais essayer mais c'est un peu long, et je n'ai pas encore vraiment compris la résolution de l'équation, seulement les démarches qui permettent d'avoir une équation un peu moins bordélique qu'au début.

T'aurais du m'envoyer là directement plutôt que de recopier, t'es courageux!
Mécanique quantique Par Jean-Louis Basdevant, Jean Dalibard, Manuel Joffre
http://books.google.fr/books?id=Umi_...cas%29&f=false

D'abord, on simplifie l'écriture en posant :

C'est rigolo que ce point soit présenté comme une simplification!
En fait, c'est un retour à l'unité de charge mécanique naturelle telle que , comme c'était le cas dans le temps, avant le SI qui a tout compliqué inutilement pour la charge électrique.

Ensuite, on va multiplier introduire des quantités sans dimension à partir des constantes que sont le rayon de Böhr et l'énergie de Rydberg .

D'accord.
En fait, le rayon de Bohr, c'est aussi 1/(4pi.137.Rinf) avec Rinf la constante de Rydberg.

Et donc on sait déjà que s'il existe des solutions à cette équation (ce qui est le cas, bien sûr...), elles feront apparaître le rayon de Böhr et l'énergie de Rydberg. Moi, c'est là que je bloque et j'essaie de trouver sur internet une résolution mathématique rigoureuse de cette équation (j'ai seulement le résultat dans mon cours).

Peut-être dans le Basdevant?
J'avoue que cela me dépasse un peu. (Mais je vais prendre mes médecines...)

Je ne sais pas si c'est ce que tu demandais ou si tu savais déjà tout ça, mais j'espère ne pas avoir répondu trop à côté de la question...

Super!
Ca m'a bien éclairé.
Merci.

[stefjm]

Salut, en quoi cette façon de présenter les choses est-elle intéressante ? Moi, mis à part pour quelques justifications physiques, je n'ai pas beaucoup vu la constante de structure fine et j'ignore si elle a une importance que je ne soupçonnerais pas...

Si j'ai bien compris, on a :

C'est ça.
Elle caractérise l'intensité de l'interaction électrique par rapport à

Elle apparait entre le rayon classique de l'électron et la longueur d'onde réduite Compton, ainsi qu'entre la longueur d'onde réduite Compton et le rayon de Bohr.
Par étage de 137.

longueur d'onde Compton réduite de l'électron :
Rayon classique de l'électron :
Rayon de Bohr :

Cette énergie E, c'est l'énergie de l'électron au repos, c'est ça ? (désolé si la question paraît stupide mais comme j'ai très peu étudié la relativité jusqu'à présent, j'ai toujours peur de comprendre de travers dès que je rencontre une formule qui s'y rapporte...). Sinon, il apparaîtrait une masse effective ou quelque chose comme ça, non ?

Oui pour la masse au repos.
Pour la masse effective, je ne sais pas encore ce que c'est mais je ne vais pas tarder à le savoir...

Cordialement.

[coussin]

Salut coussin, en es-tu sûr ? ça ne ressemble pas vraiment aux solutions que j'ai et qui sont exprimées en fonction de polynômes appelés polynômes de Laguerre.

Oui je suis sûr (d'où le nom : fonction de Coulomb )
Les polynômes de Laguerre sont un cas particulier de la solution la plus générale exprimable en terme de fonction hypergéométrique.

[DarK MaLaK]

coussin : Bon ben je suis encore plus dans le flou du coup ! Déjà que j'ai bien du mal à comprendre comment on tire les polynômes de Laguerre de cette équation, je commence à prendre peur en voyant qu'on peut trouver des solutions sous forme de fonctions hypergéométriques.

Est-ce que tu saurais la résoudre et me donner les étapes, ou un site qui ferait le calcul en entier (qui j'imagine doit être long) ?

[DarK MaLaK]

Ah et dans la fonction de Coulomb, il y a des termes que je ne comprends pas. Le gamma majuscule est-il la fonction d'Euler ? Que représente le M ?

[coussin]

La dérivation du résultat de A à Z n'a pas d'intérêt… Je ne l'ai d'ailleurs jamais vu
En Maths, y a tout un tas d'équation différentielles « type » dont on connais les solutions. Je sais même pas si ça se démontre.

[DarK MaLaK]

Si on connaît les solutions, c'est que quelqu'un a déjà résolu l'équation, non ?

Moi, ce qui m'intéresse, c'est de faire le cheminement du début à la fin, surtout pour l'atome d'hydrogène que j'estime être la partie la plus importante du cours... Et ça me permet aussi de m'améliorer en maths parce que parfois (voire souvent) on les laisse un peu de côté en admettant trop de choses à mon goût.