3 Forces

[Ukaneb]

Hello!

Je travaille sur l'exercice suivant:
3 Forces dans un plan de 3 directions différentes: F1=200N, F2=400N, F1 et F2 ont un angle de 45 degrés.
Je dois determiner la résultante. J'ai deux questions:
1. En ce qui concerne la norme de la résultante, je pense que c'est égal a la somme des cosinus des forces F1 et F2 (projection), mais je veux bien votre confirmation (car mon cours n'est pas tres clair sur ce point).
2. La ou je suis beaucoup moins sur c'est pour la direction de la résultante. Je pense que c'est la médiane de l'angle, mais je ne suis pas sur car les forces F1 et F2 ne sont pas de meme intensité et cela a peut etre une influnce sur l orientation?

D'avance merci!
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[Opabinia]

Bonjour,

Le plus simple est de placer les deux vecteurs (F₁, F₂) dans un repère orthonormé (xOy), de telle sorte que leur bissectrice soit portée par l'axe (x'x); en posant a = Pi/8 = 22.5° , il vient:

F₁ = F₁.Cos(a).u_x - F₁.Sin(a).u_y ;
F₂ = F₂.Cos(a).u_x + F₂.Sin(a).u_y ;

Le reste coule de source.

[gts2]

Il y a 2 forces, pas 3 ?

Pour 1, comme vous le dites vous-même, "somme des cosinus ... (projection)", donc cette somme sera bien la résultante si vous projetez sur la direction de la résultante. Par cette méthode, il faut donc commencer par trouver cette direction.
Remarque de forme : cosinus d'une force n'a pas grand sens, même si on comprend.

Pour 2, c'est correct, mais quel résultat vous demande-t-on ? Si c'est une valeur numérique, il va falloir traduire numériquement cette médiane.
Remarque de forme : médiane de l'angle n'a pas grand sens, même si on comprend.

Conclusion :
- soit vous maitrisez bien la géométrie, et dans ce cas, votre méthode marche après inversion (1-2),
- soit vous faites plus terre à terre : vous prenez des axes x et y simples, vous projetez sur ses axes, vous additionnez les projections puis trigo et Pythagore.

EDIT : "simples" : vous pouvez utiliser le repère d'Opabinia.

[Opabinia]

En ce qui concerne la résultante F = F₁ + F₂ des deux forces, la valeur de sa norme est indirectement donnée par le produit scalaire de ces dernières; on a en effet:

F² = (F│F) = (F₁ + F₂)│(F₁ + F₂) = F₁² + F₂² + F₁F₂.Cos(π/4) .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Opabinia]

Et d'ailleurs, une fois ce calcul fait, tu pourrais calculer de la même façon les angles que font les deux vecteurs avec la résultante, sans même passer par la construction proposée au message (#2).
Il suffit pour cela de reprendre deux autres produits scalaires:

P_s1 = (F│F₁) = F² + F₁² + 2FF₁.Cos(t₁) ;
P_s2 = (F│F₂) = F² + F₂² + 2FF₂.Cos(t₂) .

Il vient das ces conditions:

t₁ = (F, F₁) = ArcCos((P_s1 - F² - F₁²)/(2FF₁)) ;
t₂ = (F, F₂) = ArcCos((P_s2 - F² - F₂²)/(2FF₂)) .

Les valeurs obtenues doivent vérifier: t₁ + t₂ = a = 45° .

[Ukaneb]

Super, merci Opabinia, merci gts2!

Opabinia: formules tres claires, exercice résolu. Le seul probleme est que ces formules ne sont pas dans mon cours.
gts2: merci pour les corrections sur la forme, je sais que c est egalement important. Ayant un background en eco/finance et reprenant des etudes d'informatique (dont le tronc commun contient egalement de la physique), j'ai effectivement des lacunes la dessus!

[Dynamix]

Salut

Le seul probleme est que ces formules ne sont pas dans mon cours.

Tu sais sans doute que la somme de deux vecteur s' obtient graphiquement en le "mettant bout à bout"
Dessines tes vecteurs bout à bout et le résultat devrait te paraitre évident .

[Ukaneb]

Cool, merci

[Opabinia]

... Le seul problème est que ces formules ne sont pas dans mon cours ...

Version simplifiée du procédé proposé au message (#2):

... placer les deux vecteurs (F1, F2) dans un repère orthonormé (xOy), de telle sorte que leur bissectrice soit portée par l'axe (x'x); en posant a = Pi/8 = 22.5° , il vient:

F1 = F1.Cos(a).ux - F1.Sin(a).uy ;
F2 = F2.Cos(a).ux + F2.Sin(a).uy ...

Placer (F₁) sur le premier axe (x'x), orienté dans le même sens, de telle sorte que les vecteurs présentent désormais pour composantes:

F₁ = F₁.u_x ;
F₂ = F₂.Cos(Pi/4).u_x + F₂.Sin(Pi/4).u_y .

Les composantes (F_x, F_y) de la résultante s'expriment alors immédiatement en fonction des données de l'énoncé;

F = F_x.u_x + F_y.u_y ,

de même que la norme et l'orientation du 3^me vecteur:

F = (F_x² + F_y²)^1/2 ,
t₁ = (F₁, F) = (u_x, F) = ArcTan(F_y/ F_X) .

[Ukaneb]

merci!