Pourquoi la métrique est symétrique?

[Lévesque]

Bonjour,

J'ai deux questions principales, que j'ai mis en gras. Si jamais quelqu'un veux m'aider à clarifier ça, ce serait très apprécié!

Une définition possible de la métrique est (Weinberg, 1972)

.

En gros, définie comme ça, la métrique g est obtenue par une transformation d'un système de coordonnées minkowskien à un système de coordonnées général (possiblement courbe). Cette définition sous-entends qu'il existe un système de coordonnées minkowskien. Évidemment, puisque eta est symétrique, on a automatiquement la conséquence que g est symétrique.

En fait, ce que je me demande, c'est de quel principe fondamental vient la symétrie de la métrique?

Dans des ouvrages plus mathématiques (c.f. Straumann), on commence par définir une métrique de Riemann qui est par définition symétrique. À ce moment il n'y a pas vraiment d'explication au fait que la métrique soit symétrique. Mais je voudrais quand même comprendre pourquoi on fait ça, qu'est-ce qui nous oblige à faire ça.

Sinon, dans le livre de Weinberg, il semble que la symétrie vienne du postulat selon lequel il existe un référentiel minkowskien. C'est ça? La symétrie de la métrique aurait-elle un lien avec le principe d'équivalence?

Merci infiniment pour vos contributions futures à la clarification de ce sujet!

Cordialement,

Simon
-----

[invite8ef897e4]

Bonjour,

c'est une question en apparence simple, mais je te soupçonne de ne pas te satisfaire d'une telle réponse simple

En attendant que des gens plus compétents que moi te répondent, tu peux voir :

Any sense to anti-symmetric piece of metric?

et en particulier l'article suivant : Physical Consequences of the Interpretation of the Skew Part of in Einstein's Nonsymmetric Unified Field Theory

[invite04fcd5a3]

salut lesvesque

je te recopie un passage de 'un bouquin, ca parle de la sysmetrie qui en fait a a voir avec le jacobien des transformations.


c'est un théorème, donc il a été démontré, c'est donc fiable.

"Theorem
If the jacobian matrix of the transformation from a given coordinate system (xi) to a rectangular system(xI) (donc on peut parler ici de minkowsky) is J=(dxI/dxj), then the matrix G(gij) of the euclidian metric tensor in the (xi)-system is given by

G=Jt J (a)




Remark:Equation (a) illustrates the following well-known result of matrix theory:any symmetric, positive definite matrix A has a non singular "square root" C such that A= Ct C



Le petit t est pour la transposition.bien sur.


voila bon faut maintenant broder sur la signification physique du jacobien, c'est tout.


a pluche en esperant que ca ramene de l'eau a ton moulin

[mtheory]

La métrique est symétrique automatiquement en géométrie Riemanienne mais si tu généralises la géométrie là les choses peuvent changer.
Tout comme l'hypothèse de la symétrie de la connexion affine.

N'oublie pas que la métrique est initialement le produit scalaire des vecteurs de bases dans un système de coordonnées curvilignes.

Après tu peux te placer dans un autre cadre généralisant le champ g sur une variété.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gatsu]

Je ne comprends même pas la question, ni les réponses d'ailleurs
Une pseudo-métrique en mathématique n'est elle par définition symétrique ?

[Lévesque]

Merci pour vos réponses!

En gros, voici mon problème. Je suis en train de démontrer que le principe d'équivalence impose une torsion nulle, c'est-à-dire une connexion symétrique.

Pour ce faire, je montre que la différence de la connexion et d'une autre quantité est un tenseur: Connexion - Qté = T se transforme comme un tenseur.

Le principe d'équivalence nous permet de trouver que T = 0 dans un référentiel. Mais comme T est un tenseur, il est nul dans tous les référentiels. La conséquence est que Connexion = Qté toujours.

Maintenant, si la métrique est symétrique, j'ai automatiquement que Qté est symétrique, ce qui termine la preuve puisque Connexion = Qté est automatiquement symétrique.

Mais pour bien réaliser ma preuve, je dois être certain d'où vient la symétrie de la métrique. Entre autre, il ne faut pas que j'utilise ce que je souhaite démontrer...

Vous en pensez quoi? Je peux utiliser sans problème le fait que g est symétrique?

À ce sujet, Rincevent m'avait beaucoup aidé ici.

Merci encore pour les refs et la citation,

Simon

[Lévesque]

Je ne comprends même pas la question, ni les réponses d'ailleurs
Une pseudo-métrique en mathématique n'est elle par définition symétrique ?

Oui, ma question ressemble à "pourquoi choisi-t-on cette pseudo-métrique pour décrire la nature"? ou "pourquoi un autre choix ne serait pas bon"? ou "qu'est-ce que ça changerait de ne pas prendre une métrique symétrique"? ou "quelles observations nous amènent à choisir une métrique symétrique"?

[mtheory]

http://xxx.soton.ac.uk/abs/gr-qc/9207003

[gatsu]

Merci pour vos réponses!

En gros, voici mon problème. Je suis en train de démontrer que le principe d'équivalence impose une torsion nulle, c'est-à-dire une connexion symétrique.

Pour ce faire, je montre que la différence de la connexion et d'une autre quantité est un tenseur: Connexion - Qté = T se transforme comme un tenseur.

Le principe d'équivalence nous permet de trouver que T = 0 dans un référentiel. Mais comme T est un tenseur, il est nul dans tous les référentiels. La conséquence est que Connexion = Qté toujours.

Maintenant, si la métrique est symétrique, j'ai automatiquement que Qté est symétrique, ce qui termine la preuve puisque Connexion = Qté est automatiquement symétrique.

Mais pour bien réaliser ma preuve, je dois être certain d'où vient la symétrie de la métrique. Entre autre, il ne faut pas que j'utilise ce que je souhaite démontrer...

Vous en pensez quoi? Je peux utiliser sans problème le fait que g est symétrique?

À ce sujet, Rincevent m'avait beaucoup aidé ici.

Merci encore pour les refs et la citation,

Simon

Bon si j'ai bien compris tu veux montrer que le principe d'équivalence fort implique que l'on a une pseudo-métrique symétrique et que cela implique aussi que le tenseur de torsion est nul parceque la connexion s'exrpime dans ce cas en fonction de la métrique.....mais de la façon dont tu décris les choses j'ai l'impression que la connexion linéaire s'exprime forcément en fonction de la métrique (j'ai peut etre mal compris) ce qui bien sur n'est pas forcément le cas...ce n'est vrai que pour l'espace-temps choisi en RG.
En revanche il existe pleins d'autres raison que le principe d'quivalence pour justifier l'utilisation d'une connexion symétrique et l'invariance de jauge en est une par exemple .

[Lévesque]

mais de la façon dont tu décris les choses j'ai l'impression que la connexion linéaire s'exprime forcément en fonction de la métrique

Non, la connexion est au départ, choisie comme n'étant pas symétrique. Dans ce cas, il y a les termes dont tu parles, qui correspondent à la partie symétrique, et il y a d'autres termes qui sont par définition non symétrique. Tient, je te donne la forme générale de la connexion (Straumann 2004, p.597):

.

Le C est la partie antisymétrique de la connexion : .

Regarde ici pour plus de détails.

Simon

[Lévesque]

http://xxx.soton.ac.uk/abs/gr-qc/9207003

Merci, ça l'air très intéressant.

T'en pense quoi toi? Dans ma preuve, c'est quoi le minimum d'hypothèses que je dois faire?

À date, je crois en avoir 2 : le principe d'équivalence (dans le sens qu'il existe un référentiel tel que les lois physique...) et la symétrie de la métrique.

Mais, mon intuition me dit que je pourrais seulement faire l'hypothèse du principe d'équivalence et conclure que la métrie est symétrique, c.f. définition de la métrique de Weinberg du post #1.

C'est juste ça l'idée... je veux éviter de refaire 2 fois la même hypothèse, ou de faire une hypothèse qui correspond à ce que je cherche à démontrer...

Merci,

Simon

[invite04fcd5a3]

Merci, ça l'air très intéressant.

T'en pense quoi toi? Dans ma preuve, c'est quoi le minimum d'hypothèses que je dois faire?

À date, je crois en avoir 2 : le principe d'équivalence (dans le sens qu'il existe un référentiel tel que les lois physique...) et la symétrie de la métrique.

Mais, mon intuition me dit que je pourrais seulement faire l'hypothèse du principe d'équivalence et conclure que la métrie est symétrique, c.f. définition de la métrique de Weinberg du post #1.

C'est juste ça l'idée... je veux éviter de refaire 2 fois la même hypothèse, ou de faire une hypothèse qui correspond à ce que je cherche à démontrer...

Merci,

Simon

resalut

t'es un filou toi lesvesque, en fait tu cherches un principe plus general d'ou decoulerais le principe d'equivalence et la notion de symetrie de la métrique (mais c'est la definition même de la métrique que sa symetrie).
Vers la periode des théorie unitaires,à la fin, Einstein s'est posé la question s'il fallait pas tout bonnement chercher dans la voie des tenseurs non symétriques, en se disant qu'apres tout imposer la notion de symetrie était une hypothèse supplementaire dont on pouvait peut être se passer.

[gatsu]

Merci pour vos réponses!

En gros, voici mon problème. Je suis en train de démontrer que le principe d'équivalence impose une torsion nulle, c'est-à-dire une connexion symétrique.

Le problème c'est que comme tu dois le savoir, la notion de connexion sur une variété est indépendante a priori de la notion de métrique. En conséquence le fait de choisir une torsion nulle a des implications beaucoup plus générales qu'un lien (non équivalent) avec le principe d'équivalence. Ne serait ce que si tu te places dans une variété arbitraire de dimension 4 sur laquelle tu définis une connexion linéaire et que tu cherches à définir le tenseur électromagnétique de Maxwell tu auras tendance a écrire par principe de correspondance :

tu peux remarquer très facilement que si le tenseur de torsion est non nul, il peut ne pas y avoir invariance de jauge en électromagnétisme.....c'est donc très fondamental, au moins pour ça, de choisir une torsion nulle indépendamment d'un quelconque principe d'équivalence.
Ce que tu montres dans ton calcul c'est que effectivement si il existe un système de coordonnées dans lequel la connexion est nulle et le tenseur métrique plat alors, en s'appuyant sur un résultat de Straumann, il n'y a pas de torsion. Or, d'une part la réciproque est a priori fausse et d'autre part ces conditions paraissent suffisantes mais pas nécéssaires, il peut donc y avoir d'autres raisons plus fondamentales, comme celle donnée plus haut qui justifient une torsion nulle.
Ensuite je ne comprends toujours pas ces histoires de "métrique non symétrique", comme l'a souligné champunitaire, une métique est une forme bilinéaire symétrique définie positive. Ceci dit, on appelle pseudo-métrique une métrique qui n'est pas définie positive. Mais si en plus on enlève la symétrie bon ba on a une forme bilinéaire et puis c'est tout, ça n'a plus rien d'une métrique. La question pourrait donc etre pourquoi travaille t on sur des théories métriques de la gravitation et pas sur des principes variationnels plus généraux associés seulement à des formes bilinéaires ?

[mtheory]

Ensuite je ne comprends toujours pas ces histoires de "métrique non symétrique", comme l'a souligné champunitaire, une métrique est une forme bilinéaire symétrique définie positive. Ceci dit, on appelle pseudo-métrique une métrique qui n'est pas définie positive. Mais si en plus on enlève la symétrie bon ba on a une forme bilinéaire et puis c'est tout, ça n'a plus rien d'une métrique. La question pourrait donc etre pourquoi travaille t on sur des théories métriques de la gravitation et pas sur des principes variationnels plus généraux associés seulement à des formes bilinéaires ?

Salut,
J'ai donné un lien à un article de Damour à ce sujet.

Je vais quand même t'expliquer l'idée d'Einstein.

D'abord il est anormale et dégoutant d'avoir une force décrit par la géométrie de l'espace-temps et une autre non comme dans le cas de l'électromagnétisme.
Prenons maintenant le tenseur métrique et pour le moment considérons le comme un simple champ tensoriel sur une variété différentiable.
Par hypothèse sa symétrie n'est plus fixée,ce n'est pas encore un champ définissant la métrique,ce qui veut dire que le nombre de ses composantes est de 4*4=16.
Remarquons que le nombre de composantes du champ éléctromagnétique données par le tenseur de Faraday antisymétrique est 6.

Oh,oh! Mais un tenseur métrique ça posséde 10 composantes!

Eurêka!Je sais comment unifier la gravitation et l'électromagnétisme!!

Si je pose le tenseur métrique symétrique alors je peux écrire:



QED

[gatsu]

Salut,
J'ai donné un lien à un article de Damour à ce sujet.

Je vais quand même t'expliquer l'idée d'Einstein.

D'abord il est anormale et dégoutant d'avoir une force décrit par la géométrie de l'espace-temps et une autre non comme dans le cas de l'électromagnétisme.
Prenons maintenant le tenseur métrique et pour le moment considérons le comme un simple champ tensoriel sur une variété différentiable.
Par hypothèse sa symétrie n'est plus fixée,ce n'est pas encore un champ définissant la métrique,ce qui veut dire que le nombre de ses composantes est de 4*4=16.
Remarquons que le nombre de composantes du champ éléctromagnétique données par le tenseur de Faraday antisymétrique est 6.

Oh,oh! Mais un tenseur métrique ça posséde 10 composantes!

Eurêka!Je sais comment unifier la gravitation et l'électromagnétisme!!

Si je pose le tenseur métrique symétrique alors je peux écrire:



QED

Je suis d'accord avec tout ce que tu as dit il n'y a pas de problème (enfin je crois ). Mais je souhaiterais savoir si le champ de tenseurs 2 fois covariant que tu as défini par :

peut mathématiquement être appelé métrique car comme dit plus haut, selon moi un tenseur métrique ou pseudo-métrique est au moins symétrique.

[mtheory]

Je suis d'accord avec tout ce que tu as dit il n'y a pas de problème (enfin je crois ). Mais je souhaiterais savoir si le champ de tenseurs 2 fois covariant que tu as défini par :

peut mathématiquement être appelé métrique car comme dit plus haut, selon moi un tenseur métrique ou pseudo-métrique est au moins symétrique.

ça je suis d'accord,normalement seul la partie peut être utiliser comme métrique puisqu'elle seule satisfait les axiomes de ce qu'on entend par métrique sur un espace topologique.

En tout cas c'est ce que je dirai...

[Lévesque]

ça je suis d'accord,normalement seul la partie peut être utiliser comme métrique puisqu'elle seule satisfait les axiomes de ce qu'on entend par métrique sur un espace topologique.

En tout cas c'est ce que je dirai...

Donc, le titre de la discussion devrait être changé. Ça pourrait être : pourquoi les propriétés métriques de l'espace-temps doivent être représentées par un champ tensoriel symétrique?

Et en fait, cela correspond plus à la question que je me posais. De plus, je pense que l'hypothèse selon laquelle la relativité restreinte demeure valable dans une région infinitésimale (principe d'équivalence) doit avoir un lien avec le choix d'un champ tensoriel symétrique.[1]

Je précise donc ma question. Selon Straumann [1], le principe d'équivalence d'Einstein (pas d'expérience possible pouvant distinguer un système en chute libre dans un champ grav. d'un système en mouvement de translation uniforme) nous suggère que les propriétés métrique de l'espace-temps doivent être décrites par un champ tensoriel symétrique.

Ma question est : Comment le principe d'équivalence peut-il suggérer un champ tensoriel symétrique comme description des propriétés métriques de l'espace-temps?

Merci beaucoup pour votre aide,


Simon


[1] N. Straumann, GR with app. to astrophysics, (2004) p.22 : "According to Einstein Equivalence Principle, special relativity remains, however, valid in "infinitesimal" regions. This suggest that the metric properties of spacetime have to be described by a symmetric tensor field for which it is not possible to find a coordinate systems such that in finite regions of spacetime."

[gatsu]

Donc, le titre de la discussion devrait être changé. Ça pourrait être : pourquoi les propriétés métriques de l'espace-temps doivent être représentées par un champ tensoriel symétrique?

Et en fait, cela correspond plus à la question que je me posais. De plus, je pense que l'hypothèse selon laquelle la relativité restreinte demeure valable dans une région infinitésimale (principe d'équivalence) doit avoir un lien avec le choix d'un champ tensoriel symétrique.[1]

Je précise donc ma question. Selon Straumann [1], le principe d'équivalence d'Einstein (pas d'expérience possible pouvant distinguer un système en chute libre dans un champ grav. d'un système en mouvement de translation uniforme) nous suggère que les propriétés métrique de l'espace-temps doivent être décrites par un champ tensoriel symétrique.

Ma question est : Comment le principe d'équivalence peut-il suggérer un champ tensoriel symétrique comme description des propriétés métriques de l'espace-temps?

Merci beaucoup pour votre aide,


Simon


[1] N. Straumann, GR with app. to astrophysics, (2004) p.22 : "According to Einstein Equivalence Principle, special relativity remains, however, valid in "infinitesimal" regions. This suggest that the metric properties of spacetime have to be described by a symmetric tensor field for which it is not possible to find a coordinate systems such that in finite regions of spacetime."

Le problème c'est que je crois que dans la phrase de Straumann ce qui est important ce n'est pas "by a symmetric tensor" (puisque c'est selon moi une évidence due à la définition d'un espace métrique) mais c'est "for whitch it is not possible to find a coordinate systems such that in finite regions of spacetime."

[Lévesque]

c'est donc très fondamental, au moins pour ça, de choisir une torsion nulle indépendamment d'un quelconque principe d'équivalence.

Je suis d'accord.

Mais juste pour tirer un peu la couverte de mon côté, je te donne ce qui est écrit dans l'indexe du livre de Misner, Thorne et Wheeler, Gravitation:
"Torsion
not present in the affine connection if
equivalence principle is valid, 250"

À la page 250:
"Terminology: is said to be "symmetric" or "torsion-free" covariant derivative when . Other types of covariant derivative, as studied mathematicians, have no relevance for any gravitation theory based on the equivalence principle."

Gravitation (le livre) comme son titre l'indique, est un livre sur les phénomènes gravitationnels. Dans le cadre de la théorie présentée dans ce livre, les auteurs concluent que le principe d'équivalence empêche d'avoir une torsion non-nulle.

Il y a donc un lien évident entre principe d'équivalence et torsion nulle dans la théorie de la relativité générale, et ce peu importe l'invariance de jauge.

C'est de ce lien que je discutes ici.

Cordialement,

Simon

[Lévesque]

Ce que tu montres dans ton calcul c'est que effectivement si il existe un système de coordonnées dans lequel la connexion est nulle et le tenseur métrique plat alors, en s'appuyant sur un résultat de Straumann, il n'y a pas de torsion.

Les deux si réfèrent bien entendu exactement à la formulation mathématique du principe d'équivalence.

Or, d'une part la réciproque est a priori fausse et d'autre part ces conditions paraissent suffisantes mais pas nécéssaires, il peut donc y avoir d'autres raisons plus fondamentales, comme celle donnée plus haut qui justifient une torsion nulle.

D'après ce que je cite de Misner Thorne Wheeler (cf post d'avant), il n'existe pas de théorie de la gravitation possible ayant à la fois une torsion non-nulle et respectant le principe d'équivalence. Il me semble que ça correspond exactement au contraire de ce que tu dis.

La question pourrait donc etre pourquoi travaille t on sur des théories métriques de la gravitation et pas sur des principes variationnels plus généraux associés seulement à des formes bilinéaires ?

Si tu veux, mais ça ne répond pas à ma question.

Du MTW, j'ai que :

Principe d'équivalence -> Torsion nulle.

Il pourrait être intéressant de voir si ce qu'ils disent est valable pour toute variété, ou seulement si on se place dans une variété Riemannienne. Si c'est valable pour toute variété, alors on n'a pas forcément une forme bilinéaire symétrique. Dans ce cas, ma preuve ne peut pas marcher parce que je dois supposer que g est symétrique pour que ça marche.

Si ce que MTW disent est valable seulement pour une variété Riemannienne, alors je dois savoir si cette variété est définie comme ayant une torsion non-nulle. Si c'est le cas, MTW parlent pour parler. Si ce n'est pas le cas, alors ma preuve montre seulement que dans une variété Riemannienne, le principe d'équivalence implique une torsion nulle. La spécification "riemannienne" me garantit automatiquement la symétrie recherchée.

Ma preuve est valide dans quel cadre alors? Elle montre que le principe d'équivalence implique une torsion nulle dans quelles variétés?

En passant, "ma" preuve utilise le calcul de Weinberg (Gravitation and cosmology, p.100-1) pour exprimer la connexion en terme de la métrique. Je reprends le même calcul, mais dans un autre but.


Cordialement,

Simon

[gatsu]

Je suis d'accord.

Mais juste pour tirer un peu la couverte de mon côté, je te donne ce qui est écrit dans l'indexe du livre de Misner, Thorne et Wheeler, Gravitation:
"Torsion
not present in the affine connection if
equivalence principle is valid, 250"

À la page 250:
"Terminology: is said to be "symmetric" or "torsion-free" covariant derivative when . Other types of covariant derivative, as studied mathematicians, have no relevance for any gravitation theory based on the equivalence principle."

Gravitation (le livre) comme son titre l'indique, est un livre sur les phénomènes gravitationnels. Dans le cadre de la théorie présentée dans ce livre, les auteurs concluent que le principe d'équivalence empêche d'avoir une torsion non-nulle.

Il y a donc un lien évident entre principe d'équivalence et torsion nulle dans la théorie de la relativité générale, et ce peu importe l'invariance de jauge.

C'est de ce lien que je discutes ici.

Cordialement,

Simon

Je n'ai pas dit qu'il n'y avait pas de lien, mais que pour moi ça ne pouvait pas être la raison la plus fondamentale du choix d'une torsion nulle puisque l'on peut définir a priori une infinité de connexion à torsion nulle sur une variété. De plus si ta connexion ne vérifie pas (qui est l'une des conditions nécessaires pour parler d'une connexion Riemanienne ) il me semble que ton raisonnement n'est plus valable. J'essaie juste d'insister sur le fait que d'apres ce que j'ai compris en RG (et de manière générale dans les théories métriques de la gravitation) on s'efforce de décrire le champ gravitationnel tout en définissant un cadre dans lequel puisse etre étudiée n'importe quelle théorie physique et qu'il me semble qu'une torsion nulle permet d'éviter quelques "difficultés" sur la généralisation de théories déjà existantes comme l'electromagnétisme avant même d'essayer de décrire le champ de gravitation (mais je crois que pour le coup c'est une question de point de vue ).

Les deux si réfèrent bien entendu exactement à la formulation mathématique du principe d'équivalence.

oui je suis d'accord pour une variété Riemanienne c'est le cas.

Ma preuve est valide dans quel cadre alors? Elle montre que le principe d'équivalence implique une torsion nulle dans quelles variétés?

Ta preuve n'est pas valide que dans une variété "presque Riemannienne" puisqu'il me semble que par définition une variété Riemannienne est une variété sur laquelle on définit une connection linéaire vérifiant :

• (1)
• (2)

ton raisonnement est donc valable pour toute variété differentielle à 4 dimensions sur laquelle on définit une connexion vérifiant (1) (il me semble que le résultat de Straumann ne peut venir que de là) et sur laquelle on postule ensuite le principe d'équivalence fort. A partir de cela tu montres donc que si ces hypothèses sont fondées, alors on ne peut que travailler dans une variété Riemanienne (puisque tu montres la condition (2)).

[Lévesque]

J'ai vérifié, et je crois que le résultat de Straumann suppose seulement que la connexion affine est métrique (), et que c'est valable pour une variété différentielle quelconque.

Lorsqu'on passe à une variété pseudo-Riemannienne, on impose en plus la torsion nulle. Un théorème dit qu'il y a une unique connexion affine qui est à la fois métrique et de torsion nulle. Dans ce cas, le résultat que je donne de Straumann est modifié en posant C=0 où l'on retrouve la forme connue des symboles de Christoffel en RG.

Mais si la torsion n'est pas nulle, on a une variété munie d'une métrique, mais je pense que (comme tu dis) la connexion peut être un peu n'importe quoi.

Donc, relisant ton message, je réalise que je dis la même chose que toi... c'est bon signe

Il semble donc que ce que je montre, c'est que si on suppose que la nature est décrite par une variété munie d'une connexion métrique, alors automatiquement si le principe d'équivalence est vérifié on doit imposer une torsion nulle. Cela correspond aussi en gros à ce que dit MTW (sauf erreur de ma part).

J'espère avoir mieux compris... j'ai l'impression (si je ne me trompe pas) de mieux comprendre ce que prouve me preuve


Merci gatsu!

Cordialement,

Simon