Forme différentielle et différentielle totale exacte.

[Hamza2001]

Bonjour,

Pourquoi on ne peut pas écrire dQ ou dW dans le 1er principe de thermodynamique ?

Merci.
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[gts2]

Bonjour,

C'est simplement pour éviter de confondre dU, différentielle de la fonction U et , travail élémentaire qui n'est pas la différentielle d'une fonction W.
Dit sous forme intégré, U(B)-U(A) a un sens c'est l'énergie dans l'état B - celle dans l'état A, alors que pour le travail ce qui a un sens est W(AB)=somme de , travail pour aller de A à B qui dépend du chemin suivi pour aller de A à B, qu'on ne peut donc écrire sous forme W(B)-W(A).

[mach3]

Repost :

Une approche plus complexe mais plus éclairante est sous l'angle des dérivées directionnelles et 1-formes. Bref résumé qui passe sur pas mal de détail, à creuser si ça intéresse.

On considère une variété, de dimension n, avec des champs scalaires définis dessus (dans le cas de la thermo, la variété sera l'ensemble des états d'équilibre d'un système et les champs scalaires seront la pression, la température, etc, bref les fonctions d'état). On peut, sur cette variété, considérer des courbes paramétrées (dans le cas de la thermo, ce seront des chemins, des successions d'états d'équilibres successifs, le long desquels les fonctions d'état varient) et ces courbes paramétrées peuvent servir à définir ce qu'on appelle des dérivées directionnelles. Par exemple, admettons une courbe de paramètre . Le long de cette courbe, les champs scalaires de la variété prennent des valeurs données par , , , etc. Les dérivées directionnelles des champs scalaires suivant cette courbe paramétrée sont simplement :
, , , etc.
Il s'agit des variations des champs scalaires P, T, V, etc le long de la courbe quand le paramètre augmente, divisée par l'accroissement de ce paramètre quand cet accroissement devient arbitrairement petit.

est appelé opérateur de dérivée directionnelle, il s'applique à tout champ scalaire se trouvant au point considéré et donne sa dérivée dans la direction de la courbe de paramètre qui passe en ce point.

En un point, il y a une infinité de courbe paramétrées qui passent, et on peut donc utiliser le concept de dérivée dans toutes les directions possibles à partir d'un point de la variété. Il y a notamment des courbes paramétrées "spéciales" vis-à-vis des champs scalaires, par exemple des courbes suivant lesquels un champ scalaire varie mais n-1 autres champs scalaires (indépendant les uns des autres) ne varient pas. Par exemple dans une variété de dimension 2 une courbe le long de laquelle P varie mais T reste constant. On peut alors considérer que le paramètre est P, et l'opérateur de dérivée directionnelle est alors l'opérateur de dérivée partielle par rapport à P avec T constant :


En fait il se trouve que les opérateurs de dérivées directionnelles forment un espace vectoriel dont les opérateurs de dérivée partielle peuvent servir de vecteurs de base :


est un vecteur, et exprimé dans la base de vecteurs ses coordonnées sont

Appliqué au champ scalaire V, cela donne :



ou écrit d'une manière qui doit rappeler quelque chose :



est un scalaire, obtenu après l'application de l'opérateur de dérivée directionnelle sur le champ scalaire V.

Or, cet opérateur est un vecteur, et une façon d'obtenir un scalaire à partir d'un vecteur est l'application d'une 1-forme sur celui-ci. Qui dit espace vectoriel, dit espace vectoriel dual, c'est à dire l'ensemble des formes linéaires ou 1-forme sur l'espace vectoriel. On peut fabriquer de telles formes en prenant la "dérivée extérieure" des champs scalaires, par exemple , et pour les champs P, T et V (le d est en gras même si cela ne se voit pas bien avec le LaTeX - versus -, ce n'est pas le d de la différentielle même si il y a correspondance). Dans le cas où elle est appliquée à des champs scalaire, cette dérivée extérieure donne ce qu'on appelle leur gradient (parfois notés , et ). Si on applique la 1-forme sur le vecteur , on obtient le scalaire . La 1-forme appartenant à un espace vectoriel, on peut l'exprimer par rapport à une base, par exemple :



est une 1-forme, et exprimé dans la base de 1-forme ses coordonnées sont

Si on l'applique à un vecteur , on obtient automatiquement



Une 1-forme dérivée d'un champ scalaire V, appliquée sur un vecteur nous donne la dérivée directionnelle de ce champ scalaire V dans la direction de ce vecteur. Cette 1-forme dérivée du champ scalaire V est en fait une dérivée directionnelle "en potentiel", elle contient toute l'information pour générer toute dérivée directionnelle, et n'attend qu'une chose, qu'on lui donne un vecteur. est une dérivée dans une direction non spécifiée.

Attention par contre, toutes les dérivées extérieures de champ scalaire sont des 1-formes, mais toutes les 1-formes ne sont pas dérivées d'un champ scalaire, c'est justement la spécificité d'une différentielle totale ou exacte d'avoir sa 1-forme correspondante dérivant d'un champ scalaire.

La chaleur ou le travail ne sont pas des fonctions d'état, elles ne caractérisent pas l'état du système, mais un échange entre le système et l'extérieur. Donc écrire dQ ou dW n'a aucun sens. Il n'y a pas de champ scalaire Q ou W définissable sur la variété.
Si on veut parler d'un échange infinitésimal de chaleur ou de travail, on peut utiliser ou .
Une autre option est d'utiliser un autre symbole (un q et un w minuscules et gras par exemple), pour signifier qu'on parle de 1-formes (non fermée, qui ne dérivent pas d'un champ scalaire) qui lorsqu'intégrées sur un chemin donnent la chaleur ou le travail échangés le long de ce chemin (un truc du genre par exemple).

m@ch3

[gts2]

Bonjour,

Tu avais déjà parlé de la formalisation de la thermodynamique par les variétés dans un autre fil.
Ce que tu dis est clair, mais un message même clair et détaillé d'une page n'est pas l'équivalent d'un cours de thermo fondé sur les variétés (1) ou d'un cours sur les variétés illustré par la thermo (2).
Suite au premier fil, j'avais cherché des références mais pas trouvé grand chose, d'autant plus que je préférerai nettement le premier cas

[A voir en vidéo sur Futura]

[yvon l]

Bonjour,

Pourquoi on ne peut pas écrire dQ ou dW dans le 1er principe de thermodynamique ?

Merci.

Bonjour,
Contrairement à U, qui exprime une quantité d'énergie, Q et W sont les manifestations d'un transfert d'énergie (apport ou retrait d'énergie).
Par exemple si un système contient une énergie U, et s'il est le siège d'un travail (transfert d'énergie) W, il subit une variation d'énergie delta U =W. Le sens de la variation de U dépend du sens de W.
Idem avec un transfert thermique Q (chaleur).
Ne pas confondre avec la notion de puissance P du transfert (en watt) thermique dQ /dt et /ou mécanique dW/dt

[Hamza2001]

j'ai compris la partie qui concerne le travail...Mais j'ai encore des confusions sur la chaleur Q
Est-ce-que on peut considérer la chaleur comme un travail des particules(chaude) sur les particules (froides)?
Merci.

[yvon l]

j'ai compris la partie qui concerne le travail...Mais j'ai encore des confusions sur la chaleur Q
Est-ce-que on peut considérer la chaleur comme un travail des particules(chaude) sur les particules (froides)?
Merci.

Bonjour,
Il ne faut pas confondre l’énergie thermique (une partie de U) et le transfert d’énergie thermique Q que les physiciens appellent chaleur.

L’énergie thermique est une forme déstructurée de l’énergie. Sa nature intime apparaît au niveau microscopique sous forme d’éléments massiques élémentaires qui échangent de l’énergie sous forme de petits travaux (entre les éléments) (F*d) élémentaires. Le bilan macroscopique de l’ensemble correspond généralement à un travail global W nul (si volume constant).
Par contre, la chaleur Q est de l’énergie thermique en cours de transfert. Du point de vue microscopique c’est un flux d’énergie déstructurée. Comme le travail W, ce flux contribue à modifier la valeur de U d’un système en apportant ou en enlevant de l’énergie. Seule la forme du transfert est différente.

Une image serait l’énergie d’une foule dans un stade.
Cette foule contient des individus ayant chacune une certaine énergie (qu’ils échangent par mouvement et collision ).Soit U la somme de toute ces énergies
La diminution de l’énergie U contenue sous cette forme dans le stade (delta U) peut se faire de façon structurée, par un mouvement collectif dans une même direction (vers la sortie) des individus ou de façon totalement désorganisée.
La partie organisée correspond au transfert W
La partie désorganisée correspond au transfert Q

[Hamza2001]

càd qu'on ne peut pas parler de flux d’énergie dans un état données, mais on parle d'un flux d'énergie qui transforme un système d'un état initiale vers un état finale, c'est pourquoi on a pas le droit de parler de différentielle de chaleur idem de travail.
Merci.