Référenciels
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Référenciels



  1. #1
    CuriousMind

    Référenciels


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    Bonjour,

    En physique avancée, comme la relativité d'Albert Einstein, on utilise le paradigme suivant: la vitesse de la lumière est la même dans tous les référentiels. Il y a donc une invariabilité de la vitesse de la lumière selon le changement de référentiel.

    J'aimerais donc vous poser la question suivante qui m'embête: quelle serait la vitesse d'un rayon lumineux (qui va évidement à la vitesse de la lumière) dans le référentiel d'un autre rayon lumineux allant à la même vitesse, dans des sens opposés? et dans le même sens?

    Il serait irréel , selon moi qu'un rayon allant à la vitesse de la lumière (3,00 x 10^8 m/s) « voit » un autre rayon aller à 3,00 x 10^8 m/s de plus que lui.

    Merci de me faire part de vos réponses, ou de réponses ayant déjà été expérimentées.

    -----

  2. #2
    albanxiii
    Modérateur

    Re : Référenciels

    Bonjour,

    Il n'existe pas de référentiel se déplaçant la vitesse de la lumière (par rapport à un référentiel inertiel).
    Faites une recherche sur le forum, cela a été abordé en long, en large et en travers. Ou bien attendez qu'une bonne âme répète le tout à nouveau.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  3. #3
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Référenciels

    Salut,

    On va faire court.

    Les référentiels sont des constructions pratiques et des choix humains arbitraires afin de décrire mathématiquement une théorie, attribuer des valeurs numériques aux coordonnées, au temps, aux vitesses. Il n'est donc pas surprenant que la construction de ces référentiels obéissent à certaines contraintes. En particulier, il n'est pas possible d'attribuer un référentiel à la lumière (dans le vide) et ce n'est pas sans lien avec le fait que pour la vitesse c la contraction des longueurs et la dilatation du temps diverge.

    Ce que tu peux faire c'est considérer un référentiel à vitesse c-epsilon (epsilon étant une quantité minuscule). Dans ce cas même dans ce référentiel, tout rayon lumineux (dans le vide) sera mesuré à vitesse c.

    On peut s'amuser à inventer une notion de référentiel qu'on pourrait associer à la lumière dans le vide (ça aussi ça a déjà été discuté) mais ça s'avère totalement inutile (*), tellement inutile qu'on ne sait pas y calculer une vitesse !!!!

    (*) Exception, les coordonnées. On peut utiliser les coordonnées dites "nulles". Mais coordonnées n'est pas référentiel.
    Difficile de trouver une référence là-dessus, c'est surtout utilisé pour des référentiels accélérés ou en relativité générale, voir par exemple :
    https://fr.qwe.wiki/wiki/Eddington%E...in_coordinates
    Dernière modification par Deedee81 ; 19/05/2020 à 08h43.
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  4. #4
    mach3
    Modérateur

    Re : Référenciels

    Repost :

    Explications sur le concept de référentiel dans le cadre de la relativité restreinte et générale :

    D'abord un petit rappel, la géométrie de l'espace-temps est (au moins localement en RG, partout en RR) celle de Minkowski. Elle est semblable à celle d'Euclide par l'existence d'un produit scalaire (enfin presque, il n'en respecte justement pas toutes les propriétés...), qui permet de définir les distances et les angles, notamment la notion d'orthogonalité (deux vecteurs non nuls étant orthogonaux si leur produit scalaire est nul). Chez Euclide le produit scalaire d'un vecteur non nul avec lui-même (le carré scalaire) est strictement positif, et seul le vecteur nul à un carré scalaire nul. Chez Minkowski, il y a des vecteurs non nuls dont le carré scalaire est positif, d'autres dont le carré scalaire est négatif (dits de genre espace et de genre temps, respectivement, ou l'inverse, le signe dépendant d'un choix conventionnel) et même des vecteurs non nuls dont le carré scalaire est nul (dits de genre nul).
    La structure de l'espace-temps de Minkowski, qui est de dimension 4 est telle que tout vecteur orthogonal à un vecteur de genre temps est un vecteur de genre espace. Le sous-espace de dimension 1 que génère ce vecteur de genre temps à donc pour orthogonal un sous-espace de dimension 3 dont tous les vecteurs sont de genre espace. Cela permet donc des découpages dits 1+3, 1 dimension de temps et 3 dimensions d'espace, découpages variables suivant le choix d'un vecteur de genre temps. Corolaire de cela, l'ensemble des vecteurs de genre nul est un cône à base sphérique (la même chose qu'un cône à base circulaire mais en ajoutant une dimension), qu'on appelle cône de lumière (illustration avec une dimension d'espace retirée ici). En un évènement, ce cône partitionne l'espace-temps de Minkowski en un ensemble de vecteurs de genre espace ("l'ailleurs") et deux ensembles disjoints de vecteurs de genre temps ("le passé" et "le futur").

    Si en tout point d'une ligne de l'espace-temps le vecteur tangent à la ligne n'est pas de genre espace, on appelle cette ligne une ligne d'univers. On parlera de ligne d'univers de genre temps si en tout point le vecteur tangent est de genre temps et de ligne d'univers de genre nul si en tout point le vecteur tangent est de genre nul.

    Un référentiel c'est :

    -un ensemble de lignes d'univers de genre temps (genre nul exclu donc) qui remplissent intégralement l'espace-temps (ou au moins une partie de), telles qu'elles ne se coupent jamais et restent disposées les unes par rapport aux autres identiquement d'un bout à l'autre à certaines transformations non singulières près (rotation, cisaillement, dilatations ou compressions suivant divers axes...), c'est à dire qu'elles gardent toujours le même voisinage. Cet ensemble définit les "lieux" du référentiel. Deux évènements qui se produisent sur une même ligne d'univers appartenant à cet ensemble se produisent "au même lieu" ou encore "au même endroit" dans ce référentiel. Un objet dont tous les points ont une ligne d'univers qui fait partie de l'ensemble qui défini le référentiel est "immobile" dans le référentiel (il reste continuellement au même lieu, au même endroit, dans le référentiel). C'est cela qui fait que, par raccourci, on associe un référentiel à un objet dans bien des cas, mais cette association n'est pas obligatoire.
    En terme technique cet ensemble de lignes d'univers est appelé un "fibré". Cet ensemble de lignes EST l'espace selon le référentiel.
    L'exemple le plus simple en espace-temps plat est l'ensemble de toutes les droites parallèles à une droite de genre temps donnée.

    -un ensemble d'hypersurfaces (3D donc) de genre espace (tout vecteur tangent à l'hypersurface est de genre espace), tels qu'elles ne se touchent, ni ne se coupent jamais, tout en remplissant intégralement l'espace-temps (ou du moins une partie de). Cet ensemble défini les dates du référentiel. Deux évènements qui se produisent sur la même hypersurface ont lieu à la même date dans le référentiel, ils ont lieu en même temps. En terme technique c'est également un fibré. Cet ensemble EST le temps selon référentiel.
    L'exemple le plus simple en espace-temps plat est l'ensemble des hyperplans (dimension 3) parallèles à un hyperplan donné, orthogonal à une droite de genre temps (pour visualiser avec une dimension de moins, penser à tous les plans (dimension 2) orthogonaux à une droite de l'espace 3D)

    Un référentiel est donc une double fibration de l'espace-temps. L'exemple le plus simple et courant en espace-temps plat est un référentiel dit "de Lorentz", on choisit une droite de genre temps, l'ensemble des droites parallèles à cette droite constitue les lieux du référentiel, l'espace selon ce référentiel, et l'ensemble des hyperplans orthogonaux à cette droite constitue les dates du référentiel, le temps selon ce référentiel.

    Le référentiel est une construction mathématique artificielle (même si elle peut être construite sur la base d'un objet réel, lequel serait donc immobile dans le référentiel ainsi construit). Le référentiel sert de cadre ("frame" en anglais, qui est justement le mot pour "référentiel" dans cette langue) pour appuyer la description des phénomènes. On peut d'ailleurs le munir de divers systèmes de coordonnées (et inversement, certains systèmes de coordonnées peuvent permettre de définir un référentiel) pour aller plus loin dans la description numérique des phénomènes.

    Dernier point, la vitesse d'un point matériel par rapport au référentiel est caractérisé par la tangente hyperbolique de la rapidité (à un facteur c près), une "sorte d'angle", entre la ligne d'univers du point matériel et une ligne d'univers du référentiel là où elles se croisent.
    Formellement, dans le cas où la ligne d'univers du point matériel est de genre temps, on prend des vecteurs unitaires (leur carré scalaire est de 1, au signe près qui dépend de la convention) tangent à cette ligne et à une de celle du référentiel à leur intersection, et on en fait le produit scalaire. On obtient alors le fameux facteur , qui est le cosinus hyperbolique de la rapidité.
    La rapidité entre deux lignes d'univers de genre temps est un réel fini, ce qui implique que le est un réel fini supérieur à 1 et que la vitesse de l'une par rapport à l'autre (à un facteur c près) est strictement inférieure à 1 en valeur absolue (donc strictement inférieure à c si on remet le facteur).
    Le cas où la ligne d'univers du point matériel est de genre nul est plus délicat, car les vecteurs tangents à cette ligne d'univers sont tous de carré scalaire nul (par définition du genre nul) et il n'en existe pas qui soient unitaires. Un peu de trigonométrie hyperbolique montre néanmoins que la vitesse (c'est à dire la tangente hyperbolique de la rapidité) de l'une par rapport à l'autre (à un facteur c près) exactement égale à 1 (donc exactement c si on remet le facteur), ce qui implique que la rapidité et le facteur divergent vers l'infini.

    Un référentiel n'étant constitué que de lignes d'univers de genre temps, la vitesse d'un point matériel par rapport à lui est donc strictement inférieure à 1 (ou c) si sa ligne d'univers est de genre temps et exactement égale à 1 (ou c) si sa ligne d'univers est de genre nul. Donc, dans tout référentiel, si la ligne d'univers d'un point matériel est de genre temps, sa vitesse est strictement inférieure à c (cas d'une particule de masse non nulle) et si la ligne d'univers est de genre nul, sa vitesse est strictement égale à c (cas d'une particule de masse nulle).

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    mach3
    Modérateur

    Re : Référenciels

    Repost #2 : plus sur les concepts autour de la vitesse

    Il est question d'une relation entre deux lignes d'univers qui s'intersectent. La ligne d'univers de l'objet dont la vitesse à un instant précis nous intéresse et une ligne d'univers de référence, qui est celle d'un objet qui serait immobile dans le référentiel considéré et qui croiserait l'objet à ce moment là.
    Ces deux lignes forment un genre d' "angle", qui est souvent appelé rapidité. Comme l'angle euclidien, elle peut être orientée. Comme les angles euclidiens également, les rapidités sont additives si elles sont dans le même plan (et orientées convenablement) : Soit A, B et C, trois objets allant dans la même direction et se croisant au même endroit, alors au croisement, la rapidité de A par rapport à C est simplement la somme de celle de A par rapport à B et B par rapport à C. Contrairement à l'angle euclidien par contre, qui est défini modulo , il est défini de 0 (l'objet est immobile par rapport au référentiel) à (la ligne d'univers de l'objet est de genre nul, c'est une particule sans masse) sans modulo.

    La tangente hyperbolique de la rapidité est la vitesse par rapport au référentiel (éventuellement multipliée par un coefficient dimensionnant, ), elle va de 0 (immobilité par rapport au référentiel) à (ou ) (genre nul, particule sans masse)
    Le cosinus hyperbolique de la rapidité est le fameux facteur , il va de 1 (immobilité) à (genre nul, particule sans masse)
    Le sinus hyperbolique de la rapidité est ce qui est parfois appelé "vitesse propre" (mais l'inventeur du terme aurait pu s'abstenir, on ne voit pas ce qu'il y a de "propre" la-dedans...), il va de 0 (immobilité) à (genre nul, particule sans masse)

    La rapidité, ainsi que ses 3 fonctions hyperboliques, caractérisent de façon absolue la relation entre l'objet et la référence. Bien comprendre, la rapidité ou la vitesse (propre) sont relatives, elles nécessitent qu'on précise par rapport à quoi (la référence), mais si on parle de "rapidité d'un objet par rapport à un autre" ou de "vitesse (propre) d'un objet par rapport à un autre", il s'agit bien d'invariants : par exemple dans tout référentiel, la vitesse de la Lune par rapport à la Terre est la même.

    Comme pour les petits angles en géométrie euclidienne, on a pour les petites rapidités :
    (et )
    Pour les petites rapidités, les vitesses peuvent être considérées comme additives et indifférentiables des rapidités ou des "vitesses propres".

    Pour mieux visualiser ces 4 grandeurs, il faut faire un petit dessin en supposant qu'on a zoomé suffisamment pour que les lignes d'univers de référence et de l'objet puissent être considérées comme des droites, et en respectant des règles de représentation qui permettent de travailler avec la géométrie de Minkowski dans le plan qui contient ces droites.
    Une ligne faisant un angle de moins de 45° avec la verticale est de genre temps (ligne d'univers d'une particule de masse non nulle).
    Une ligne faisant un angle de 45° avec la verticale sera de genre nul (particule de masse nulle).
    Une ligne faisant un angle de plus de 45° avec la verticale n'est pas une ligne d'univers : elle est de genre espace.
    On trace la ligne d'univers de référence verticalement. On trace la ligne d'univers de l'objet de biais, avec un angle inférieur à 45° avec la ligne d'univers de référence. Les deux lignes s'intersectent en l'évènement A. On trace ensuite une horizontale qui coupe la ligne d'univers de référence en l'évènement B et la ligne d'univers de l'objet en l'évènement C, pour former un triangle ABC. On convient que ce triangle est rectangle en B (la géométrie considérée n'est pas celle d'Euclide, mais celle de Minkowski, il faut donc convenir de ce qui est orthogonal au sens de Minkowski dans la représentation qui est faite). Enfin, on trace une verticale passant par C et une horizontale passant par A, qui se coupent en D.
    Les deux droites verticales (AB) et (DC) sont les lignes d'univers de deux horloges immobiles et synchronisées dans le référentiel.
    La droite (AC) est la ligne d'univers de l'objet considéré.

    On a les propriétés suivantes :

    AB et CD sont deux durées égales mesurées par les horloges immobiles dans le référentiel

    BC est la distance parcourue par l'objet dans le référentiel pendant la durée AB=CD mesurée dans le référentiel. BC correspond à la durée d'aller-retour d'un signal lumineux (donc faisant un angle de 45° avec la verticale) entre les deux horloges synchronisées, et mesurée par l'une d'elle, divisée par 2 (et éventuellement dimensionnée en multipliant par ).

    AC est la durée mesurée par l'objet entre le moment où il croise la première horloge et le moment où il croise la seconde horloge (dans notre représentation, AC peut sembler plus grand que AB, mais la géométrie considérée n'est pas celle d'Euclide, mais celle de Minkowski : bien que de représentation plus longue, AC est plus court que AB dans cette géométrie, et la durée de AC tend vers 0 quand l'angle avec la verticale dans la représentation tend vers 45°).

    L' "angle" BAC est la rapidité (on ne la mesure pas avec un rapporteur, la géométrie n'est pas celle d'Euclide, dans la convention choisie, un angle de 45° avec la verticale est une rapidité infinie (*))

    Le rapport BC/AB est la tangente hyperbolique (opposé/adjacent) de la rapidité, c'est la vitesse : distance parcourue dans le référentiel divisée par la durée mesurée dans le référentiel. Ce rapport ne dépasse pas 1 ("BC=AB") qui correspond à l'angle de 45° avec la verticale.

    Le rapport AB/AC est le cosinus hyperbolique (adjacent/hypoténuse) de la rapidité, c'est le facteur gamma : rapport de la durée mesurée dans le référentiel et de la durée (propre) mesurée par l'objet entre A et C

    Le rapport BC/AC est le sinus hyperbolique (opposé/hypoténuse) de la rapidité, c'est la "vitesse propre" (produit entre le facteur gamma et la vitesse) : distance parcourue dans le référentiel divisée par la durée (propre) mesurée par l'objet entre A et C

    m@ch3

    *: il n'est pas utile de préciser par rapport à quoi pour une raison simple que je laisse au lecteur le soin de retrouver
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