Poser le pied sur la lune vs vider une bouteille

[Médiat]

Bonjour,

Je me dis que le problème consistant à vider une bouteille remplie d'eau plate (à Paris) devrait être plus simple que de poser le pied sur la lune …

On dispose d'une bouteille (déformable ou non, donc il y a 2 problèmes en fait) remplie de 1.5 litre d'eau plate (cf. image), quel est le moyen le plus efficace pour vider cette bouteille ? A priori je vois 3 stratégies, mais il n'y a aucune raison de se limiter à cela)

1) renverser la bouteille complètement et attendre
2) renverser la bouteille afin qu'il y a toujours un filet d'air qui entre dans la bouteille (taille optimale du filet ?), l'angle d'inclinaison de la bouteille varie donc en permanence
3) renverser la bouteille complètement et donner au liquide un mouvement de rotation

Il va de soi que toute réponse impliquant une ou des expérience sera considérée comme non pertinente, pour des raisons évidentes (qu'est-ce qui se passe si on fait varier quelques paramètres ?); je me pose cette question car je n'ai pas la moindre idée de comment on peut résoudre ce genre de problème avec une feuille et un stylo …


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[XK150]

Salut ,

Une bonne réponse , sinon LA bonne réponse ici : https://www.youtube.com/watch?v=bxI5DmZ1ap0

[coussin]

Oui, c'est la réponse 3

[Médiat]

Merci, mais comme je le disais dans mon message #1, les expériences ne m'intéressent pas (je peux les faire tout seul).

D'autant que la réponse 3 n'est pas valide pour toutes les formes de contenant (un cylindre de "gros" diamètre par exemple), ce que je voudrais voir, et c'est pourquoi je m'adresse à des physiciens, c'est un raisonnement et des calculs (je pense que l'on peut négliger la force de Coriolis)

[A voir en vidéo sur Futura]

[obi76]

Salut,

oui effectivement je pense qu'on peut raisonnablement négliger Coriolis.
Là en fait tu es dans un cas diphasique, franchement compliqué, mais voilà quelques pistes. Je parle de la démarche, on pourra se lancer dans les calculs par la suite si tu veux.
Pour commencer, quelque soit la configuration, on peut déterminer la quantité d'air dans le culot de la bouteille au minimum pour que l'eau cesse de tomber (la baisse de pression va contrebalancer exactement la pression de la colonne d'eau restante). Du coup, on peut décomposer temporellement le problème : à l'état initial il y a une certaine quantité d'air à pression atmosphérique dans le culot de la bouteille. De l'eau coule, la pression baisse, elle s'arrête de couler.
A ce stade 2 solutions : soit on arrive à alimenter de manière continu l'air du culot pour qu'il reste à pression atmosphérique, soit pas et dans ce cas une bulle d'air va se former en bas et va remonter dans le liquide.
Si on a un état transitoire comme celui-ci, le débit va nécessairement être inférieur, puisque celui-ci dépend du différentiel de pression (extérieur) (air dans le fond de la bouteille). Plus ce sera grand, moins ça coule vite (Bernouilli). Donc si on veu optimiser la vitesse d'écoulement du luiquide, il faut réussir à maintenir la pression d'air dans la bouteille à la pression atmosphérique.

Le problème, c'est que si on ramène de l'air de manière continue (tuyau ou par mise en rotation du liquide), la section de passage de l'eau est réduite. On a donc une compétition entre : maintient de la pression de l'air dans la bouteille vs réduction de la section de passage.
Là il faudrait estimer, au moins à la louche. Il doit exister un diamètre optimal d'arrivée d'air pour que la section de passage du fluide soit maximum avec un maintient de la pression suffisant pour que la vitesse du liquide reste importante.

On pourrait en discuter des heures mais le problème est intéressant

[coussin]

Merci, mais comme je le disais dans mon message #1, les expériences ne m'intéressent pas (je peux les faire tout seul).

D'autant que la réponse 3 n'est pas valide pour toutes les formes de contenant (un cylindre de "gros" diamètre par exemple), ce que je voudrais voir, et c'est pourquoi je m'adresse à des physiciens, c'est un raisonnement et des calculs (je pense que l'on peut négliger la force de Coriolis)

Dans ce cas, c'est plus simple : c'est absolument impossible à "calculer" à mon avis.
Sans expérimentations on ne peut donc pas répondre à votre question.

[Médiat]

Merci obi76, j'aimerais en savoir plus, mais sans que quiconque y passe trop de temps.

Dans ce cas, c'est plus simple : c'est absolument impossible à "calculer" à mon avis.
Sans expérimentations on ne peut donc pas répondre à votre question.

Vous confirmez que faire les calculs pour envoyer un homme marcher sur la lune est plus facile que ceux pour vider une bouteille

[coussin]

Oui à mon avis. Entre de la dynamique classique à la Newton et une equa diff hautement non linéaire à la Navier-Stokes, y a pas photo je pense.

[Médiat]

Oui à mon avis. Entre de la dynamique classique à la Newton et une equa diff hautement non linéaire à la Navier-Stokes, y a pas photo je pense.

C'est ce qui m'intéresse : quelles équations (dans les 3 cas), je ne parle pas de les résoudre, mais de les écrire ...

[coussin]

La dynamique d'un liquide soumis à la gravité est décrite, je pense, par Navier-Stokes. La bouteille étant une condition aux limites et vos 3 scénarios sont des conditions initiales.

[Médiat]

Mais encore ... (ce que vous écrivez est du chinois pour moi)

[obi76]

En fait, soit on pose les équations de la mécanique des fluides (diphasique, parce qu'on a du liquide et du gaz) soumis à la gravité, et on les résout numériquement. Il n'y aura aucune solution analytique de ce jeu d'équation dans un cas comme ça.

Par contre, si la question est "juste" : quelle est la méthode la plus rapide ? Dans ce cas pas forcément besoin de résoudre tout ça, on peut estimer chacun des phénomène à la louche.

Quand ça se vide, il y a du gaz en haut, de l'eau en dessous. On peut estimer rapidement la pression du gaz en fonction de la quantité de gaz présent et de son volume au dessus de l'eau avec la loi des gaz parfaits. Ca permettrait, connaissant le débit d'air qui y arrive, de déduire la pression, en fonction de la vitesse à laquelle le niveau d'eau descend. Le niveau d'eau descendra, et pour estimer cette vitesse de descente, on utilise la conservation de la masse (vitesse * section du la surface libre = vitesse de l'eau * section de passage au goulot), et Bernouilli.
Et enfin, si on mets un conduit d'air pour alimenter la poche gazeuse au dessus (que ce soit une "percée" due à la rotation du liquide, à un tuyau, ou peu importe), on peut estimer la perte de charge du gaz à travers le conduit d'arrivée en fonction de la vitesse du gaz et de la section du conduit, et déduire ainsi la pression maintenable au dessus du liquide. La section de passage du liquide sera celle du goulot - la section de passage de l'air dans l'autre sens, et la perte de charge doit être égal à la différence de pression entre le gaz au dessus et l'atmosphère.

On a donc 3 inconnues, couplées entre elles par 3 équations (la pression du gaz, la vitesse du liquide au goulot, et le débit gaz). On peut je pense estimer le débit liquide à l'état stationnaire, et donc déduire la vitesse de vidange de la bouteille. mais comme je l'ai dit, on a 2 phénomènes en compétitions (que le modèle que je viens de proposer devrait montrer) : le débit d'air dans un sens, le débit d'eau dans l'autre sens. L'un va gêner l'autre, il y a donc un optimum.

Donc pour résumer : 3 inconnues (pression du gaz en haut, vitesse du gaz dans le conduit d'apport, vitesse de l'eau au niveau du goulot) et 3 jeu d'équations : gaz parfait, Bernouilli et perte de charge dans le conduit d'arrivée d'air. Au final parmi ces 3 équations (à confirmer, de tête) il y en aura une différentielle linéaire du premier ordre en temps et 2 équations classiques. On peut donc les résoudre. L'équa diff viendra du passage de la vitesse du fluide au goulot au volume de gaz.

Tout ça ça permettra de voir les cas 2 et 3, le premier étant clairement défavorable (ça s'écoulera en dent de scie, la pression du gaz descendra jusqu'au minimum possible avant de réaugmenter, si on intègre le débit de liquide au cours du temps ça sera forcément inférieur au débit obtenu si la pression du gaz au dessus est plus élevée grâce à un apport continu de gaz.

[Médiat]

Salut obi

Merci pour le temps que tu passes sur une question un peu débile, et en tout état de cause, que les équations n'aient pas de solutions analytiques ne me dérange pas du tout.

Tes explications, "à la louche" sont très claires

[RomVi]

Bonjour

J'ai bien peur qu'il n'existe aucune mise en équation pour ce type de phénomène, car une part chaotique va intervenir. Ce serait comme essayer de calculer où va se retrouver une bille après 20 rebonds sur du carrelage. On ne peut utiliser que des corrélations, qui ont été établies d'après l'expérience.

[Médiat]

Je ne savais pas que les physiciens ne savaient pas comment vider une bouteille

Ceci dit, chaotique ne veut pas dire non déterministe, et il est clair qu'une approximation pourrait être suffisante.

Je vous rassure cette mauvaise blague n'était pas le but de ce fil !

[obi76]

Ben justement, ce fil montre bien les deux approches :
- l'approche "bourrin" où on pose les équations fluides, et on essaye de le résoudre numériquement
- l'approche physique, où essaye d'estimer chaque phénomène en présence, on les modélise... l'erreur est plus grande mais à mon sens bien plus intéressante. Là on fait de la physique (de la vraie) Poser le pied sur la lune, et même fabriquer des moteurs fusée, à l'époque c'était comme ça : on simplifie, on estime, on résout... on fait de la physique quoi. Ca se perd, puisqu'avec le numérique maintenant ce que j'entends à chaque fois c'est "yaka le simuler".
Concernant la partie chaotique, elle ne me dérange pas. Mon approche est certes simplifiée, mais l'erreur obtenue avec cette simplification est à mon sens plus grande que l'impact de la turbulence sur l'écoulement (on estime un écoulement moyenné, la turbulence ne sera "que" des fluctuations autour de cette valeur).

Sans aucun jugement sur les autres réponses.

PS : pour la résolution du jeu d'équation que le propose, il faudra les résoudre par morceau, puisque la section de la bouteille dépend de la hauteur. Ca risque d'introduire une non-linéarité dans les équations différentielles si section(hauteur) présente un profil non constant (en gros si la section est linéairement décroissante, on va avoir une équa diff du type ).

PS 2 : dans les réponses précédentes, le jeu d'équations proposé est celui de Navier-Stokes (diphasique, et elles doivent être compressibles), donc consistent à résoudre au cours du temps la vitesse / pression des fluides en tout point. C'est barbare mais le numérique permet de le faire (à quel prix !).