L'infernal Exercice 6 ( L1 physique/Cinématique)

[Pilou Le Vertueux]

Bonjour à tous et à toutes j'aimerais avoir de l'aide sur un exercice de physique dont l'énoncé est le suivant :
"Un objet ponctuel M se déplace suivant l'axe Ox, son vecteur accélération s'écrit:
A(t)=-KV^2 Ux (ux est un vecteur unitaire) , k est une constante et V la vitesse de l'objet.
On donne : x(t=0)=xo et V(t=0)=Vo

1-Trouver les expressions des vecteurs V(t) puis Om(t).

2-Montrer que le vecteur vitesse peut s'écrire V(x)=Vo e^(k(xo-x))Ux."

J'en suis au 1) et j'ai trouvé cela : (J'utiliserai "I" pour exprimer l'intégrale) :

I de t0 à t de ax Ux=I de t0 à t de -kv^2 Ux

Or, -kV^2= ax =dvx/dt

Donc: I de t0 à t de -kV^2=Vx=V
-Kdt = dv/V^2
I de t à t0 de -Kdt = (-1/V^2) de t0 à t puis là j'utilise mes formules d'intégrales et j'obtiens:-kt = -1/v + 1/Vo qui équivaut à V=Vo/ktVo+1 et donc

V(t)= (Vo/ktVo+1)Ux.

Là je crois avoir à peu près réussi mais c'est après que ça se complique

Pour calculer Om(t) je dois faire la primitive du résultat précédent c'est à dire : I de t à to de Vo/Vokt+1 et je ne trouve pas de primitive remarquables à utiliser pour le calcul.J'avais pensé à utiliser la formule: I u'/u=1/u mais ce n'est pas possible puisque la dérivé de Vokt +1 ne donne pas Vo...Enfin je crois...

Merci d'avoir lu jusque là et j'attend vos réponses avec impatience je suis sur ce problème depuis ce matin!
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[gts2]

J'avais pensé à utiliser la formule: I u'/u=1/u mais ce n'est pas possible puisque la dérivé de Vokt +1 ne donne pas Vo.

En effet cela donne kVo, ce n'est pas vraiment un problème puisque c'est une constante, il suffit de multiplier votre expression par k/k.

[Pilou Le Vertueux]

Tout d'abord merci de prendre de votre temps pour me répondre.En effectuant la démarche dont vous parliez on a: I Vo/VoKt+1 x K/K =I KVo/VoK^2t+K...Mais une dérivée du dénominateur obtenu nous donne VoK^2 et non KVo...Vous disiez aussi "En effet cela donne kVo, ce n'est pas vraiment un problème puisque c'est une constante" j'ai du mal à comprendre cela...Cela reviendrait à dire que la primitive de 3 pourrait être 5t (par exemple) sous prétexte que 3 et 5 sont des constantes.Il y a quelque chose qui m'échappe, je touche au but mais je bloque.

[jacknicklaus]

V(t)= (Vo/ktVo+1)Ux.

Plus précisément : V(t)= Vo/(ktVo+1) Ux

Pour une primitive de V(t), pensez à la fonction logarithme...

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Ecrit en clair cela donne , en multipliant par k/k cela donne , on a pu sortir k car constant, et le numérateur et bien la différentielle du dénominateur

Les constantes changent l'expression, bien sûr, mais pas le type de calcul.

[Pilou Le Vertueux]

Merci à tous les deux de votre réponse ! gts2, C'est en effet très claire maintenant, je ne connaissais pas cette propriété de la primitive (avec les constantes).
Jacknicklaus, oui j'y ai pensé aussi! Il suffit seulement d'appliquer la formule: I u'/u=Ln(u) et on obtient donc: ( (1/k) (Ln(ktVo+1))+xo )Ux! Eureka!