Paradoxe avec les densités de flux thermiques

[Methanoate]

Bonjour,

J'ai une question concernant l'expression de la densité de flux thermique...Je tombe sur un pseudo-paradoxe :

1) Considérons deux plaques 1 et 2 horizontales de longueur L et de conductivités thermiques l1 et l2. Ces deux plaques sont posées l'une sur l'autre et soumises à la température T1 à gauche et à la température T2 à droite (T2 < T1). Le flux se propage selon la longueur des plaques. Ces plaques sont montées en parallèles.

On a :
- résistance thermique de la plaque 1 : R1 = L/l1.
- résistance thermique de la plaque 2 : R2 = L/l2.

Donc : résistance équivalente : Req = R1.R2/(R1+R2) = L/(l1 + l2).

Donc : densité de flux thermique = (T1-T2)/Req = (T1-T2)(l1+l2)/L.

Si maintenant on suppose que les deux plaques sont identiques (l1 = l2 = l), on obtient :

densité de flux thermique = (T1-T2)2l/L.

Si les deux plaques sont identiques, il me semble que tout se passe come si on avait une seule et même plaque de longueur L et de conductivité thermique l (on a le même matériaux de part et d'autre de la zone de contact). Dans ce cas, on trouve : densité de flux thermique = (T1-T2)l/L.

Comme se fait-il que l'on ne retrouve pas l'expression précédente ? Ce problème n'apparaît pas si on considère le flux thermique où la surface transversale des plaques intervient. Comme le flux se propage selon la longueur, l'épaisseur des plaques n'intervient pas ici.
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[gts2]

Bonjour,

Vous n'auriez pas oublié la section des plaques quelque part ?

[Methanoate]

Bonjour gts2,

Non justement...Quand on définit la résistance thermique à partir de la densité de flux thermique (W/m²), la section des plaques n'intervient pas dans l'expression de ces résistances. Pour un mur d'épaisseur e et de conductivité l, on a : Rth = e/l et densité de flux thermique = (T1-T2)/Rth.

[gts2]

J'avais mal lu, vous parlez de densité de flux.

Si vous parlez de densité de flux, dans ce cas le problème est au début : on n'a pas "résistance équivalente : Req = R1.R2/(R1+R2)" qui s'applique à de "vraies" résistances thermiques.
Faites le calcul avec de "vraies" résistances thermiques et les sections, puis calculer la densité de flux.

[A voir en vidéo sur Futura]

[yvon l]

(..)
Si les deux plaques sont identiques, il me semble que tout se passe come si on avait une seule et même plaque de longueur L et de conductivité thermique l (on a le même matériaux de part et d'autre de la zone de contact). Dans ce cas, on trouve : densité de flux thermique = (T1-T2)l/L.

Comme se fait-il que l'on ne retrouve pas l'expression précédente ? Ce problème n'apparaît pas si on considère le flux thermique où la surface transversale des plaques intervient. Comme le flux se propage selon la longueur, l'épaisseur des plaques n'intervient pas ici.

Pour les 2 plaques identiques, la résistance thermique est de moitié et pour une même densité un flux double passe au travers (la section est double)
Normal donc si la résistance thermique est de moitié on peut doubler le flux pour un même delta T. Ou est le problème?

[Methanoate]

Bonjour,

J'ai fais un schéma pour expliquer la situation. Les résistances thermiques sont définies à partir des densités de flux thermiques (W/m²) :

- le premier schéma représente un bloc de longueur L et de conductivité thermique l soumis aux températures T1 et T2.

On a : densité de flux thermique = (T1-T2)l/L.

On peut mentalement subdiviser ce bloc en deux parties égales comme le montre le second schéma. On peut raisonner avec les résistances thermiques. Les deux demi-blocs ont chacun une résistance thermique R1 = R2 = L/l.

La résistance équivalente de ces deux blocs est donc : 1/Req = 1/R1+1/R2 soit Req = R1/2 = R2/2 = L/2l.

On a donc densité de flux thermique = (T1-T2)/Req = (T1-T2)2l/L.

Je ne comprends pas pourquoi nous ne trouvons pas la même expression de la densité de flux thermique alors que les systèmes sont identiques...

Le problème est résolu si on considère le flux thermique (et les résistances thermiques L/lS) mais pourquoi ça pose problème avec les densités de flux thermiques ? Les résistances thermiques associées à la densité de flux thermique devraient s'associer comme des résistances électriques (ce qui est démontré dans de nombreux cours)...

[gts2]

Le problème est que ce que vous appelez résistance thermique n'est pas une résistance thermique, mais une résistance thermique surfacique.

"Les résistances thermiques associées à la densité de flux thermique devraient s'associer comme des résistances électriques."

Cela marche en série car la loi repose sur les différences de température qui s'ajoutent.

Cela ne marche pas en parallèle, car la loi repose sur les flux thermiques qui s'ajoutent, ce qui n'est pas le cas des densités de flux.
Je note R les résistances thermiques et r les résistances thermiques surfaciques avec donc r=R/S
En parallèle 1/R=1/R1+1/R2=S/r=S1/r1+S2/r2, avec ici S1=S2=S/2 soit 2/r=1/r1+1/r2