Hamiltoniens quadratiques

[ornithology]

Bonjour,

j'ai rencontré plusieurs fois ke terme hamiltonien quadratique et je ne l'ai pas trouvé dans wikipédia.
Pourriez vous regarder ce que j'ai trouvé?
H est définie comme une forme quadratique sur l'espace des phases x,p
La matrice M est réelle et symétrique.
j'aimerais avoir votre avis sur ce point:
si a la place de x on prend une fonction phi et que les termes dans M sont huls pour l'impulsion correspondante,
se retrouve t on dans le cas de la mécanique statistique ou on écrit P(phi) = exp(- H) en particulier dans le cas gaussien?
peut on également se servir de M pour le cas quantique ?

merci.
-----

[Resartus]

Bonjour,
Cela veut dire, en effet, que les termes contenus sont du second degré (avec éventuellement des temes croisés) dans les coordonnées généralisées , ce qui rend la résolution particulièrement simple, puisque les solutions sont des oscillateurs harmoniques (que ce soit en classique ou en quantique).
Et cela se résout, comme indiqué dans votre lien, par des changement de variables, qu'on obtient en diagonalisant la matrice

Par contre, je ne vois pas du tout de rapport avec la mécanique statistique, saut peut-être pour le calcul du taux d'occupation des niveaux d'énergie en fonction de la température...

[ornithology]

je pensais a ceci en physique statistique
on y parle aussi de gaussiennes

[ornithology]

voir le théoreme de wicks page 178 du livre de Le Bellac dans le cas de physique statistique
il considere la fonction génératrice Z(j) quans la loi de probabilité est un gaussienne
c'est le cas pour l'hamiltonien du post 1 quand M ignore les les impulsions.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ornithology]

un lagrangien peut il ne pas dépendre du temps?

[Deedee81]

Salut,

un lagrangien peut il ne pas dépendre du temps?

Tu parles d'une dépendance explicite ou sa valeur au cours du temps ?

La dépendance explicite est assez rares pour les cas que je connais. Mais ça arrive. Une valeur constante ça doit quand même être plutôt peu fréquent, sauf peut-être pour un truc comme une particule libre.

[ornithology]

Je me suis mal exprimé.je pense a des L(q,q') sans q'_t. alors H =-L. et H peut etre quadratique en q.

[Deedee81]

Ah, tu veux dire un lagrangien qui ne dépend pas des dérivées (par rapport au temps) des variables de configuration. C'est-à-dire des vitesses.

C'est pas une hérésie d'envisager ça, mais je ne me rappelle pas avoir jamais vu le cas (même les lagrangiens simples de particule libre ou d'oscillateur harmonique dépend de q').

[ornithology]

Par contre, je ne vois pas du tout de rapport avec la mécanique statistique, saut peut-être pour le calcul du taux d'occupation des niveaux d'énergie en fonction de la température...

En physique statistique on utilise les fonctionnelles génératrices Z(j1,j2,....) pour calculer des moyennes gaussiennes de produits de variables aléatoires . on les note <X1X2X3X4>_0 le zéro voulant dire moyenne gaussienne
et on retrouve les formules du théoreme de Wick.

@Deedee81
l'intégrale gaussienne ne fait pas intervenir les dérivées temporelles q' ni les impulsions

[Deedee81]

l'intégrale gaussienne ne fait pas intervenir les dérivées temporelles q' ni les impulsions

Faudrait savoir, dans le message auquel je répondais tu parlais du lagrangien.

S'il te plaît : ce n'est pas la première fois que je t'en fais la remarque : essaie d'être clair. Tu ne sors que des bouts d'explication de ci de là, de manière totalement décousue, c'est extrêmement difficile à suivre.

[ornithology]

Dans le post 7 je disais que quand L ne dépend pas de q' on a H = -L
c'est le cas pour les intégrales gaussiennes on L est de la forme q A q (H aussi)
je reste dans le sujet.
ce que je trouve interessant c'est que dans le cas quantique on utilise les opérateurs de créations annihilation et leurs propriétés
pour démontrer les formules de Wick et pour le cas statistique on obtient les memes formules en dérivant la fonctionnelle génératrice Z(j)
La clé est dans une remarque du lien du papier de yves castin:
[a,.] agit comme une dérivation
formule 137

je fais donc le lien pour les hamiltoniens quadratiques (gaussiens) donnant les memes formules dans les cas classiques statistiques et quantiques (avec opérateurs a et a+)
j'espere avoir été un peu plus clair meme si tout n'est pas tout a fait limpide encore pour moi
Mon but est de voir pourquoi on retrouve les memes diagrammes de Feynman dans les deux domaines et but ultime
les étendres aux cas intermédiaires.
je découvre les choses a fur et a mesure. Hier encore j'ignorais le nom du théoreme d' Isserrlis.

[Deedee81]

Dans le post 7 je disais que quand L ne dépend pas de q' on a H = -L
c'est le cas pour les intégrales gaussiennes on L est de la forme q A q (H aussi)

je n'arrive pas à trouver de cas où L est de cette forme ??? Tu aurais une référence (dans le lien que tu donnes c'est l'hamiltonien et en plus il contient P et donc la dérivée des coordonnées).
EDIT ah tu parlais du livre de Le Bellac, désolé, faudra que je regarde mais ce soir (je l'ai pas sous la main)

je reste dans le sujet.

Je n'ai pas dit que tu étais hors sujet, j'ai dit que tu n'étais pas clair. Dans la moitié de tes messages il est difficile de comprendre de quoi tu parles. On dirait des réflexions jetées ça et là.
N'oublie pas que Futura n'est pas un blog et que les autres doivent te lire... et comprendre.

[ornithology]

je pensais au lagrangien d'interaction pour les spins d ising sur une droite. ca dépend du spin voisin pas de vitesses.

[Deedee81]

je pensais au lagrangien d'interaction pour les spins d ising sur une droite. ca dépend du spin voisin pas de vitesses.

Je te remercie. C'est en effet très bien vu. Je n'avais pas du tout pensé à ce cas (et en effet c'est une intégrale gaussienne)