000> + 111>

[Pio2001]

Super, c'est ce que je voulais savoir.
Je m'occupe des changements de base pour écrire les matrices densités réduites correspondantes aux mesures que va faire Alice sur sa paire de particules si elle veut les soumettre à un test de Bell pour voir si elles sont intriquées.
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[ornithology]

Fais ces calculs pour Alice et Bob. tu vas avoir deuy matrices 2*2 diagonales. ca dit pourquoi ils ne verront pas d interférence. mais elles seront inutiles pour la violattion des inégalités de Bell.

[Pio2001]

Je pars de l'état |000> + |111>, j'envoie deux particules à Alice, et une à Bob. Je dois donc avoir une matrice 4x4 côté Alice, et une matrice 2x2 côté Bob.

[ornithology]

oui,
n'oublie pas le 1/ racine(2) pour la normalisation de 000> + 111>

[ornithology]

Et quand tu en auras fini avec l'état GHZ pourquoi ne pas aller voir l'état W?

[Pio2001]

Et quand tu en auras fini avec l'état GHZ pourquoi ne pas aller voir l'état W?

Pitié ! Je suis en train de calculer 256 coefficients à la main
4 matrices 8x8 : une pour chaque paire d'angles que va choisir Alice pour détecter une intrication entre ses deux particules.
Je continuerai demain.

[ornithology]

c'etati pour rire l'etat W
je comprends mal ce que tu veux faire avec d'un conté Bob qui a une particule et Alice avec ses deux particules.
elle mesure quoi? et Bob? et toi tu veux calculer quoi.
Je commencerais par conserver la direction commune des 000 et 111 et calculer les 3 matrices réduites 4*4
et apres changer les angles si tu le veux.

[Pio2001]

Ca, c'est assez simple : dans ce cas, Alice obtiendra 0 et 0 dans 50% des cas, et 1 et 1 dans 50% des cas. Pas très instructif.

Ce qui est intéressant, c'est si elle essaie d'exhiber des corrélations non classiques entre ses deux particules en tournant ses détecteurs dans tous les sens. Il se passera quelque chose si elles sont intriquées entre elles, mais ce ne sera pas le cas si elles sont intriquées à une troisième, en tout cas, ça ne devrait pas.

[ornithology]

Pitié ! Je suis en train de calculer 256 coefficients à la main
4 matrices 8x8 : une pour chaque paire d'angles que va choisir Alice pour détecter une intrication entre ses deux particules.
Je continuerai demain.

256 coefficients? moi je dirais 4 au maximum.
prends ta plus grosse matrice la 8*8 celle de (000> + 111>)(<000 + <111) elle a juste 4 termes non nuls. et quans on passe au matrices réduites tout ce qu'on risque c'est d'avoir des termes non nuls ne moins.
les matrices comme les vecteurs ou les tenseurs sont des choses intrinséques qui on des coordonnées dans des bases diverses
on les calcule dans les bases ou c'est le plus simple (ici avec les 3 memes directions) puis on voit apres pout les changements de base. il faut profiter aussi des symétries
par exemple pour Alice tu as trouvé sa matrice 4*4 réduire dans la base initiale ou on parle de 00> 01> 10> 11> dans la meme direction. tu vas l'écire en commencant par a 00><00 + .... + p 11><11 maximum 4 termes non nuls
tu veux considérer des mesures dans 2 directions ? ok mais il faut profiter du fait que seul l'ange entre les directions compte;
tu vas donc conserver la direction initiale pout un des deux et réécrire par exemple
en changeant uniquement l'écriture pour la particule 2 qui va devenir

ou up et down sont par rapport a une autre direction direction choisie
ca ne va pas donner des trucs monstrueux loin de la

[ornithology]

je vais faire ces calculs.
Merci de me signaler les erreurs possibles
la matrice 4*4 reduite en faisant une trace partielle sur les degrés de liberté de Bob
est (0,0><0,0 + 1;1><1,1) /2
cad
1/2 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1/2
si je veux l'expirmer dans la base 0.d> 0.u> 1.d> 1.u>
je vais poser 0> = c d> + s u> et 1> = -s d> + c u>
(ou c = cos(theta /2) et s = sin(theta /2)
la matrice d'Alice s'écreit donc
0, c d + s u><c d + s u,0 + 1,-s d + c u><-s d + c u,1)/2
dans la nouvelle base c'est la moitieé de
cc cs 0 0
cs ss 0 0
0 0 ss -cs
0 0 -cs cc
la trace est bien egale a 1
je ne sais trop quoi déduire de sa forme par rapport aux interférences.
si quelqu'un peut aider....

[Pio2001]

Il y a plusieurs façons de considérer l'intrication de l'état 1/sqrt(2) |000>|111>.

On peut calculer les probabilités d'obtenir chaque résultat de mesure en partant de la fonction d'onde donnée.
On peut calculer la matrice densité.
On peut faire un test de Bell.

Comme tu parlais de matrice densité, j'ai regardé ce que ça donnait. La matrice densité correspondante est une matrice carrée 8x8 avec des 1/2 dans chaque coin et des zéros partout ailleurs.
Si on isole deux particules sur les trois, on peut regarder leur matrice densité réduite. Il y a deux façons de la calculer (qui doivent donner le même résultat) : calculer la matrice densité des trois particules, et la réduire à deux particules avec la méthode évoquée plus haut. C'est ce que j'ai fait. Et on peut aussi considérer que l'état de la troisième particule a été mesuré, qu'il y a eu réduction du paquet d'ondes, et additionner les matrices densités des états finaux correspondants.
On doit trouver le même résultat en utilisant les deux méthodes (je n'ai pas vérifié).

Pour les deux premières particules, la matrice densité réduite est :



Imaginons maintenant qu'Alice mesure ces deux particules et cherche à savoir si elles sont intriquées. Elle peut par exemple regarder si l'inégalité de Bell est violée (je pense que c'est ce que tu appelles "regarder s'il y a des interférences", en mieux).
S'agissant de particules de spin 1/2, les formules de conversion ne sont pas celles que tu as données, mais


et


Par la suite, je noterai + et - les deux résultats possibles de mesure, mais comme tu avais au départ utilisé 0 et 1, j'ai fait tous les calculs dans des bases ordonnées dans le sens 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111, c'est-à-dire ---, --+, -+-, -++, +--, +-+, ++-, +++.

Alice va donc faire des mesures selon les angles suivants : 0° et 45°, 0° et 135°, 90° et 45° et enfin 90° et 135°. Je laisse 0° pour la troisième particule.

La matrice densité réduite pour la mesure 0° et 45°, si mes calculs sont exacts, est



Pour la mesure en 0° et 135° :



Pour la mesure en 90° et 45° :



Et pour la mesure en 90° et 135° :

les matrices comme les vecteurs ou les tenseurs sont des choses intrinséques qui on des coordonnées dans des bases diverses
on les calcule dans les bases ou c'est le plus simple (ici avec les 3 memes directions) puis on voit apres pout les changements de base.

On voit que la matrice densité réduite est diagonale pour une mesure en 0°, 0°, mais pas pour des mesures selon d'autres angles, ce qui n'est pas surprenant étant donné que quand la valeur de la projection d'un spin est déterminée selon une direction, alors elle est en superposition quantique pour les autres directions.

Maintenant, si on calcule le paramètre de Bell, en principe, sur ces deux particules, il ne doit pas violer l'inégalité.

[ornithology]

Si mes calculs sant faux les tiens aussi vu qu'ils donnenet les memes résultats (au moins pour les deux premieres diagonales par bloc)
prends par exemple pour 0 45 degres
j'ai une formule sin^2 (pi/8) /2
il y a une formule sur les demi angles:
sin (a/2= = rac(1 - cos (a)/2)
si tu prends a = 45 degres ca donne

et on retrouve ton résultat
ca coincide pour les deux premieres matrices
pout les suivantes comme ca ne dépens que de l'angle entre les deux direction j'ai conservé 0 pour la premiere direction.

[Pio2001]

Si mes calculs sant faux les tiens aussi vu qu'ils donnenet les memes résultats (au moins pour les deux premieres diagonales par bloc)

Je n'ai jamais dit que tes calculs étaient faux.

pout les suivantes comme ca ne dépens que de l'angle entre les deux direction j'ai conservé 0 pour la premiere direction.

John Bell a montré avec son célèbre théorème que si on utilise deux paramètres de mesure différents (chez nous, deux angles différents) pour une mesure ET deux paramètres différents pour l'autre mesure (encore deux angles), on est contraints à une inégalité qui est violée par les paires intriquées de la mécanique quantique. Pour obtenir ce résultat il faut deux angles chez Alice et deux chez Bob.

Par curiosité on pourra faire le calcul pour notre système. Sauf erreur, on ne doit pas pouvoir violer d'inégalité, car notre paire de particules n'est qu'un mélange statistique.

Dans la matrice densité, je pense que ce qui est important de noter est qu'il existe une base d'états propres dans laquelle notre matrice réduite est diagonale.
Tandis que pour le système quantique à deux spins intriqués 1/racine(2) (|+-> - |-+>) qui viole l'inégalité de Bell, la matrice densité est



D'ailleurs, si je ne me trompe pas, c'est exactement la même matrice densité dans toutes les bases d'états propres de spin 1/2 (c'est une propriété remarquable de cet état quantique). Il n'existe donc aucune base dans laquelle elle est diagonale.

[ornithology]

tu sembles opposer melange statistique et violation des inégalités de Bell. il y a des mélanges staitistiques intriqués plus ou moins
d'autres qui sont séparables.
regarde dans wikipedia le passage sur les cas purs et les cas mixtes.
les matrices densité diagonales par bloc que j'ai donnée sont saparables
le rho1 c'est le bloc 2*2 en haut a gauche et le rho2 c'est le bloc en bas a droite avec une probablilité de 1/2 pour chaque.