000> + 111>

[ornithology]

Bonjour,
j'ai trois particules a deux niveaux 0 et 1.
ils sont dans un état pur (000> + 111>) / racine de 2
Question: qui est intriqué avec qui et de quelle facon? maximale ou pas?
Question numéro 2: il y a un piege ou pas?
-----

[coussin]

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Gree...eilinger_state

[ornithology]

je connais cet article mais il restent des points qui restent obscurs.
par exemple on dit qu'un tel état GHZ est maximalement intriqué. ca je veux bien.
mais pourquoi ne pas dire aussi que les couples (1 2) (2 3) et (1 3) sont aussi maximalement intriqués?
et qu'en plus si 1 et 2 son maximalement intriqués alors 1 et 2 ne sont pas intriqués avec 3? ca s'appelle la monogamie.
et en quoi ca irait a l'encontre du theoreme de non clonage?

[0577]

Bonjour,

une remarque: en complète généralité, il n'est pas clair ce que signifie "maximalement intriqué" car il y a plusieurs définitions possibles.
Il faudrait préciser la définition utilisée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ornithology]

on peut choisir d'apres la notion de concurrence par exemple. ou alors d'entropie de shannon.
(est que dans un cas ou l'autre ca change la possiblilité d'intrication avec le troisieme?)
ce que j'aimerais c'ests un calcul sur 000 + 111
ou alors sur 100 + 010 + 001
et le rapport avec le non clonage.

[ornithology]

il semble y avoir une multiplicité des définitions sur l'intensité de l'intrication et toi tu dis que maximalement ca depend aussi de la définition. est ce que pas intriqué du tout c'est une notion absolue?
et pour le théoreme de non clonage (c'est oui ou non) le rapport avec la monogamie ca ne s'appuie pas sur une notion absolue de maximalement intriqué?

[Pio2001]

je connais cet article mais il restent des points qui restent obscurs.
par exemple on dit qu'un tel état GHZ est maximalement intriqué. ca je veux bien.
mais pourquoi ne pas dire aussi que les couples (1 2) (2 3) et (1 3) sont aussi maximalement intriqués?
et qu'en plus si 1 et 2 son maximalement intriqués alors 1 et 2 ne sont pas intriqués avec 3? ca s'appelle la monogamie.
et en quoi ca irait a l'encontre du theoreme de non clonage?

Pour le non clonage, je ne sais pas.
Pour l'intrication de deux des trois particules, voici un argument, qui prend le problème à l'envers, j'en suis conscient : on envoie les particules 1 et 2 à Alice, et la particule 3 à Bob.
Si Alice possède deux particules maximalement intriquées, elle doit être capable de vérifier la violation de l'inégalité de Bell sur ces deux particules (pour mesurer le paramètre de Bell en une seule fois, on lui fournira, ainsi qu'à Bob, 1000 systèmes en même temps, et ils réaliseront 1000 mesures en même temps).

Si à présent Bob mesure l'état de sa particule, la paire possédée par Alice prend alors avec certitude soit l'état |00>, soit l'état |11>. Quel que soit le résultat obtenu, les particules d'Alice ne sont plus intriquées et ne violent plus l'inégalité. En effet, |00> seul n'est pas un état intriqué, pas plus que |11>. Ce sont juste deux particules dans un état défini et sans lien entre elles.

Bob peut donc envoyer un signal binaire à Alice plus vite que la lumière. S'il veut lui envoyer le bit 0, il mesure sa particule (ses 1000 particules), et s'il veut envoyer le bit 1, il ne la(les) mesure pas.
Si la paire possédée par Alice viole l'inégalité (vérifié sur les 1000 mesures), elle note le bit 1, sinon, elle note le bit 0. Elle a bien reçu le message de Bob, et ce à une vitesse supérieure à c.
Il y a donc forcément un truc qui cloche.

On peut le mettre en évidence, en prenant le problème à l'endroit, cette fois-ci, en calculant la valeur du paramètre de Bell sur le système initial, afin de savoir exactement ce qu'obtiendra Alice comme résultat.
Les formules pour cela sont données dans les messages #20 et #21 de cette discussion, en commençant au paragraphe "Pour passer de l'expression du spin dans une direction à l'expression du spin dans une autre, on utilise les formules suivantes" : https://forums.futura-sciences.com/p...ml#post1490883

Normalement, en appliquant ces formules à une paire intriquée |00> - |11>, on doit violer l'inégalité, tandis qu'on ne doit pas la violer si on l'applique aux particules 1 et 2 du triplet |000> - |111>.
Si je me rappelle bien, le problème apparaît parce qu'à un moment, on doit tenir compte des résultats possibles si la troisième particule est dans l'état |0> et les additionner aux résultats possibles si la troisième particule est dans l'état |1>, et quand on additionne, ça annule la violation (refaire les calculs avec les formules données en lien pour confirmer).
Cette addition fait disparaître la violation locale de l'inégalité, exactement comme l'addition du jeu de franges correspondant à la sortie 1 de la gomme quantique de Scully avec le jeux de franges correspondant à la sortie 2 donne une absence complète de franges sur l'écran. Simplement parce que le photon censé produire les franges est intriqué à un autre.

La paire de particules 1 et 2 reçue par Alice sur les trois ne viole par l'inégalité non pas parce qu'il y a eu décohérence, mais au contraire parce que la superposition quantique a été étendue à une troisième particule.

[Deedee81]

Salut,

Petit complément :

Notons que dans le clonage les états ne sont pas intriqués (*). Et donc le non clonage interdit cela. Avoir des tas de particules intriquées c'est possible même de manière maximale (enfin, en théorie, on sait le faire avec trois mais avec quatre je ne sais pas, c'est juste une difficulté pratique). Il y a même une jolie expérience de pensée là-dessus mais j'ai oublié le nom, je pourrai retrouver mercredi quand j'aurai accès à mes notes (je suis pas chez moi là)

(*) curieusement c'est rarement dit explicitement mais juste implicite dans le théorème et sa démonstration

Noptons que si (1,2,3) sont intriqués de manière maximale alors (1,2) le sont aussi. Et si on ignore l'existence de 3, toute mesure sur (1,2) ne permettra pas de le distinguer d'un état (1,2) intriqué (sans la 3) et un état (1,2,3) intriqué.

[Pio2001]

La paire de particules 1 et 2 reçue par Alice sur les trois ne viole par l'inégalité non pas parce qu'il y a eu décohérence, mais au contraire parce que la superposition quantique a été étendue à une troisième particule.

Tiens c'est curieux, ce que j'ai écrit là, comme phrase...

En effet, la décohérence, c'est l'intrication avec l'environnement.
Si on remplace "a été étendue à une troisième particule" par "a été étendue à l'environnement", la phrase devient "il n'y a pas eu décohérence, au contraire, il y a eu décohérence" !

[Deedee81]

En effet, c'est tout à fait juste, bien vu. Décohérence et intrication de plusieurs particules "même combat"

[Pio2001]

Mais ce qui m'épate, c'est qu'on n'ai pas eu besoin de base privilégiée. On a intriqué avec un troisième spin 1/2, et tout de suite, notre paire de particules a perdu toute cohérence. Pas d'effet statistique d'un grand nombre d'oscillateurs thermiques, pas de lien avec la base énergie ou la base position.

D'ailleurs, on observe déjà la même chose quand on passe de une à deux particules. Une particule dans l'état |+ Oy> est en superposition |+ Oz> + |- Oz> et si on l'intrique, heuuuuuu... ah mais si en fait, ça dépend de la base avec laquelle on intrique ! Si on intrique cette particule avec autre chose sur la base des états de projections de spins en Oy, il ne se passe rien, tandis que si on l'intrique avec autre chose, mais sur la base des états de projection de spins en Oz, notre première particule perd toute cohérence. Elle n'est plus dans l'état |+ Oy>, mais dans un mélange statistique d'états |+ Oz> et |- Oz>.

Ahlala, que c'est compliqué. Il faut encore que je réfléchisse à tout ça.
Un des seuls trucs que j'ai compris pendant mes études c'est le principe de la décomposition d'un vecteur sur une base quelconque dans un espace vectoriel, et comment faire un changement de base. Heureusement !

[ornithology]

les mots sont trompeurs.
avec 000 + 111 il faudrait traduire en terme de matrice densité réduite pure ou diagonale ce qui a été dit. ou essayer.

[Pio2001]

les mots sont trompeurs.
avec 000 + 111 il faudrait traduire en terme de matrice densité réduite pure ou diagonale ce qui a été dit. ou essayer.

Ca, c'est faisable.
On peut commencer par la matrice densité de l'état |000> + |111> en considérant qu'il s'agit de particules de spin 1/2.

Il y a 8 vecteurs de base : {|000>, |001>, |010>, |011>, |100>, |101>,|110>, |111>}.
La matrice densité sera une matrice 8x8.

Alice reçoit les deux premières particules et va faire un test de Bell dessus. Elle va donc mesurer la première parfois selon un angle 0°, parfois selon un angle 90°, et la seconde parfois selon un angle 45°, parfois selon un angle 135°. On considérera que Bob, qui reçoit la troisième particule, fait toujours sa mesure selon l'angle 0°.

On va donc avoir quatre bases d'états propres possibles de 8 vecteurs chacune.
La première base selon les directions 0°, 45°, 0°.
La seconde base selon les directions 0°, 135°, 0°.
La troisième base selon les directions 90°, 45°, 0°.
La quatrième base selon les directions 90°, 135°, 0°.

On peut commencer par écrire la matrice densité de l'état global dans ces quatre bases. Cela nous donnera 4 matrices 8x8.
Qui s'y colle ?

[ornithology]

pour la matrice glabale je dirais 8*8
et une matrice réduite par exemple pour les matrices 1 et 2 qui serait 4*4
il faudrait montrer que pout 000 + 111
la matrice réduite n'est pas maximalement intriquée
a vue de nez elle est diagonale avec deux zeros et deux 1/2, non ?

[Pio2001]

pour la matrice glabale je dirais 8*8
et une matrice réduite par exemple pour les matrices 1 et 2 qui serait 4*4
il faudrait montrer que pout 000 + 111
la matrice réduite n'est pas maximalement intriquée
a vue de nez elle est diagonale avec deux zeros et deux 1/2, non ?

Dans la base 0°, 0° cela paraît plausible, mais Alice ne mesure jamais dans cette base.
Je ne me rappelle plus comment on réduit une matrice densité.

[ornithology]

ca fait une entropie de 1/2 log 2 + 1/2 log 2 soit un bit alors que le maximum c est 4 fois 1/4 log 4 soit 2 bits. correct?

[Pio2001]

Aucune idée.

[ornithology]

Dans la base 0°, 0° cela paraît plausible, mais Alice ne mesure jamais dans cette base.
Je ne me rappelle plus comment on réduit une matrice densité.

Pour la matrice densité globale c'est
1/rac 2 (000> + 111>) fois 1/rac 2 (<000 + <111) =
000><000 + 000><111 + 111><000 + 111><111)/2
pour la matrice densité 4*4 on cherche les termes en
00a><a00 , 01b><b10, 10c><c01, 11d><d11 pour obtenir les termes diagonaux de la matrice réduite
on trouve donc 1/2,0,0,1/2
et l'intrication maximale serait obtenue pour la matrice diagonale
1/4,1/4,1/4,1/4

[Pio2001]

Je ne me rappelle plus comment on réduit une matrice densité.

En cherchant sur Yahoo, je suis tombé sur cette vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=4FOUR_WTqak

Deedee81, dans l'exemple de la vidéo (état 1/sqrt(2) ( |+-> - |-+>)) je pars de la matrice densité



écrite dans la base ++, +-, -+, --.

Pour obtenir la matrice densité réduite, je dois faire la trace sur la particule 2. Comment ça marche ?
Je prends les quatre nombres qui se trouvent dans les lignes et les colonnes |++> et |-+> et j'additionne avec les quatre nombres qui se trouvent dans les lignes et les colonnes |+-> et |--> ?

[ornithology]

ta matrice 4*4 décrit quoi?
pour moi dans un espace a 4 dimensions de base
00
01
10
11
on peut considerer le vecteur pur (01 + 10) / racine de 2
sa matrice densité non réduite est
(01> + 10>)(<01 + <10)/2
mais ce n'est pas la matrice 4*4 réduite provenant de la matrice 8*8 des triplets ghz.

[ornithology]

ceci dit tout n'est pas clair pour moi non plus.
j'ai du mal a distinguer dans les matrices densité celles qui son intriquées ou pas.
Une piqure de rappel serait la bienvenue.
On verrait alors si j'ai écrit plein d'aneries sur l'enchevetrement maximall.
et sinon et bien on ne verra pas....

[Pio2001]

ta matrice 4*4 décrit quoi?

C'est juste un exemple qui décrit l'état 1/sqrt(2) (|+-> - |-+>)

pour moi dans un espace a 4 dimensions de base
00
01
10
11
on peut considerer le vecteur pur (01 + 10) / racine de 2
sa matrice densité non réduite est
(01> + 10>)(<01 + <10)/2
mais ce n'est pas la matrice 4*4 réduite provenant de la matrice 8*8 des triplets ghz.

Les matrices 8x8 je peux les écrire, et ensuite j'essaierai de les réduire en matrices densité partielles.
J'aurais juste besoin d'une confirmation sur la méthode de réduction (question posée plus haut). Si je sais passer d'une 4x4 à une 2x2, je saurai passer d'une 8x8 à une 4x4.
Dans le cours en vidéo il y a la formule pour réduire, mais elle est donnée en notation de Dirac. Je ne suis pas sûr de bien la transposer dans la notation matricielle.

j'ai du mal a distinguer dans les matrices densité celles qui son intriquées ou pas.
Une piqure de rappel serait la bienvenue.

Je n'en sais rien. Je sais reconnaître une fonction d'onde intriquée, mais pas une matrice densité intriquée.

[0577]

Bonjour,

ca fait une entropie de 1/2 log 2 + 1/2 log 2 soit un bit alors que le maximum c est 4 fois 1/4 log 4 soit 2 bits. correct?

ça semble correct.

Si on part d'un système dans un état pur, subdivisé en deux sous-systèmes A et B, alors on peut montrer que l'entropie de la matrice densité de A est égale à l'entropie de la matrice densité de B, et on peut donc voir cette entropie comme une mesure de l'intrication entre A et B.

Comme l'entropie d'une matrice densité nxn est bornée par log(n), cette entropie est bornée par le minimum entre log(dim A) et log(dim B), où dim A et dim B sont les dimensions des espaces de Hilbert de A et B.

En particulier, si dim B < dim A, alors l'entropie de la matrice densité de A provenant de la réduction d'un état pur du système total est borné par log(dim B), qui est strictement plus petit que l'entropie maximale pour une matrice densité arbitraire décrivant le système A.

C'est ce qui se passe dans l'exemple de GHZ, avec A le système des deux premiers spins, et B le système du troisième spin: on a dim A=4, dim B=2, et donc log(2) est la valeur maximale pour l'entropie d'une matrice densité de A provenant de la réduction d'un état pur du système total, alors que log(4)=2log(2) est la valeur maximale possible pour l'entropie d'une matrice densité arbitraire de A.

[ornithology]

Dans l'article wikipedia sur l'état GHZ
je lis que (00><00 + 11><11)/2 qui est la trace partielle sur le troiseme élément est un état mixte non enchevétré
j'aurais dit enchevétré mais pas maximalement mais je peux me tromper.

[Pio2001]

Dans l'article wikipedia sur l'état GHZ
je lis que (00><00 + 11><11)/2 qui est la trace partielle sur le troiseme élément est un état mixte non enchevétré
j'aurais dit enchevétré mais pas maximalement mais je peux me tromper.

(|00><00| + |11><11|)/2, en notation matricielle, cela donne dans la base {|00>, |01>, |10>, |11>}

[ornithology]

Mixte donc . mais non enchevétré dit wiki. on voit ca comment?

[Pio2001]

C'est un mélange statistique, non ?
Déjà, est-ce que ça existe, un "mélange intriqué" et un "mélange non intriqué" ?

[ornithology]

c'est la question.
tu disais que tu avais des pbs pour les notations de Dirac pour les matrices réduites.
je m'y colle:
la notation |011> (un ket) est un raccourci pour
c'est un produit tensoriel ordonné des vecteurs correspondant aux particules 1 2 et 3. elles sont ordonnées de gauce a droite
pour le bra associé on va écrie <.....| en mettant les particules de droite a gauche
<110|
l'avantage de cette inversion du sens c'est que quand on veut faire le produit scalaire
<110|011> si on écrit tout avec les produits tensoriels pour le bra et le ket on a au milieu les deux termes
ensembles ce qui donne un nombre qu'on peut extraire et mettre a droite etc
quand on a une matrice disons 4*4 comme celle que tu as donnée elle peut s'écrire
1/2 00><00 + 1/2 11><11
les autres termes de la matrices comme par exemple 01><00 sont tous multipliés par 0.
quend on veut faire une trace sur la premiere particule par exemple sur une matrice disons 8*8 a trois particules
on va obtenir une matrice une matrice 4*4
a b c d
e f g h
i j k l
m n o p
en faisant comme ca pour le coefficient a de 00><00 on va additionner les coefficients de 000><000 et de 001><100
pour b de 00>< 10 on va additionner ceux de 000><010 et de 001><110
etc
on fait varier les termes du milieu qui doivent etre égaux en gardant dans la matrice 8*8 les autres correspondant a celle de la 4*4
si tu veux faire la trace sur la premiere particule avec la matrice 4,4 que tu as donné ca va donner la matric 2*2
diagonale
1/2 0
0 1/2

[ornithology]

Rectification. ce que j'ai fait c est la trace partielle sur la particule numéro 3.

[ornithology]

Pour la question sur les etats mixtes intriqués ou pas voir ici
la définition dit que par exemple si on trouve p1 rho1 rho'1 et p2 rho2 rho'2 tel que rho = p1 rho1 rho'1 + p2 rho2 rho'2
alors la matrice densité rho n'est pas enchevétrée
c'est le cas pour (00><00 + 11><11)/2 = rho
c'est une matrice 4*4
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
qu'on peut décomposer en demi somme des produits tensoriels
de
10
0 0
par lui meme (rho1 = rho'1)
et de
0 0
0 1
tensorillemen par lui meme (rho2 = rho'2)
donc mixte non enchevétré comme le disait l'article de wiki qui me posait probleme
Le moins qu'on puisse dire c'est que ca devient difficilement montrable sans les formules.L