2 sphères isolées dans l'espace intergalactiques veulent se rencontrer...

[sunyata]

Bonjour,

J'ai voulu résoudre ce petit problème que je croyais simple au départ, mais en creusant un peu je me suis rendu compte que cela ne l'était pas tant que cela :

Supposons 2 sphères d'1 mètre de diamètre et de 10 kg chacune isolées dans l'espace intergalactique (Loin de toute autre influence gravitationnelle) :
- Combien de temps mettraient-elles pour entrer en collision en raison de l'attraction gravitationnelle qui les attirent l'une vers l'autre ?

Newton nous dit que F = mm'G/d² mais comme les sphères se rapprochent l'une de l'autre, la force d'attraction mutuelle ne cesse de varier, ce qui complique singulièrement le problème ( pour moi en tout cas...)
le "d²" diminue progressivement, ce qui augmente la force gravitationnelle toute aussi progressivement.

En bidouillant sur Excel et en discrétisant le problème, j'ai trouvé 89,61 jours. Je ne sais pas si c'est correct. Cela me semble beaucoup pour parcourir 20 mètres...

Mais je suppose qu'on peut résoudre ce problème classique de manière beaucoup plus élégante et exacte.

J'ai du mal à poser le problème, si quelqu'un peut m'indiquer la marche à suivre. Vos lumières sont les bienvenues

Cordialement
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[dada]

Bonjour sunyata, ayant déjà fait ce genre de calcul au siècle dernier, je suis en mesure de te donner une piste, mais guère plus, c’est pas comme le vélo.

La force qu’exercent les sphères l’une sur l’autre est leur unique accélération.

L’accélération est la dérivée de la vitesse, qui est elle-même la dérivée de la position. Donc en intégrant deux fois la formule de Newton, tu trouveras la formule qui donne la position des sphères en fonction du temps.

[gts2]

Bonjour,

Il y a eu une discussion récemment à ce sujet mais je ne la retrouve plus.
Le plus simple est de passer par l'énergie, on tombe sur une intégrale du type
ce qui donne

[albanxiii]

Bonjour,

J'ai du mal à poser le problème, si quelqu'un peut m'indiquer la marche à suivre. Vos lumières sont les bienvenues

Ceci https://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%...e%20isol%C3%A9. ne répondrait-il pas à la question ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Black Jack 2]

Bonjour,

Si la distance initiale entre les centres est 20 m avec des sphères de 1 m de diamètre, en tenant compte que la distance avant collision est de 19 m ...
on trouve la durée (31 j 8h 13 min)

Avec des sphères "ponctuelles", on trouve (31 j 11h 33min)

[sunyata]

Bonjour,
Si la distance initiale entre les centres est 20 m avec des sphères de 1 m de diamètre, en tenant compte que la distance avant collision est de 19 m ...
on trouve la durée (31 j 8h 13 min)
Avec des sphères "ponctuelles", on trouve (31 j 11h 33min)

Bonjour,

Par quelle méthode trouves-tu ce résultat ?

Le résultat dépend de "d" dans la formule F = mm'G/d²
Si je considère ce "d" = cste = 19 m alors je trouve la formule t = Racine(D^3/mG) ou t = Racine(2X/F) ce qui fait 32 05 739 secondes soit 37 jours ce qui se rapproche de ton résultat...

Mais la difficulté est que le "d" varie au fur et à mesure que les 2 sphères se rapprochent :

à 19 mètres l'intensité de la force est de 1,84883E-12 newtons alors qu'à 9,50 mètres l'intensité de la force est de 7,39532E-12 newtons.

Au moment de la rencontre des 2 sphères la force qui les attire est 4 fois plus intense.

Donc si on veut rigoureux on ne peut pas garder une valeur constante de "d".

Dans les exercices de chute d'un objet sur terre, on ne tient pas compte de cette variation progressive de la force car la masse de la terre est très grande par rapport à la masse en chute libre.

Mais dans le cas de 2 masses identiques qui s'attirent le problème est plus compliqué.

Cordialement,

[gts2]

Avez-vous lu le message #3. Si on détaille :
Conservation de l'énergie (on suppose vitesse initiale nulle) : , on gagne ainsi une intégration. Et l'intégration de cette équation d'ordre 1 utilise l'intégrale donnée au message #3 (bornes prises dans le cas boules de rayons négligeables pour simplifier, mais on peut améliorer ...)

[Black Jack 2]

Bonjour,

Par quelle méthode trouves-tu ce résultat ?

Le résultat dépend de "d" dans la formule F = mm'G/d²
Si je considère ce "d" = cste = 19 m alors je trouve la formule t = Racine(D^3/mG) ou t = Racine(2X/F) ce qui fait 32 05 739 secondes soit 37 jours ce qui se rapproche de ton résultat...

Mais la difficulté est que le "d" varie au fur et à mesure que les 2 sphères se rapprochent :

à 19 mètres l'intensité de la force est de 1,84883E-12 newtons alors qu'à 9,50 mètres l'intensité de la force est de 7,39532E-12 newtons.

Au moment de la rencontre des 2 sphères la force qui les attire est 4 fois plus intense.

Donc si on veut rigoureux on ne peut pas garder une valeur constante de "d".

Dans les exercices de chute d'un objet sur terre, on ne tient pas compte de cette variation progressive de la force car la masse de la terre est très grande par rapport à la masse en chute libre.

Mais dans le cas de 2 masses identiques qui s'attirent le problème est plus compliqué.

Cordialement,

Bonjour,

On peut appliquer les méthodes données par gts2, c'est sans difficultés.

Ou bien, comme tu as essayé en utilisant une tableur, je montre comment on peut faire un calcul numérique par "petits" incréments de temps avec un tableur.

La force d'attraction entre les masses est F = G.m1*m2/x² (avec x la distance entre les centres des masses ... qui va varier en cours de trajectoire)

L'accélération de la masse m1 est x''1 = G*m2/x² (qu'on peut calculer pour chaque valeur de x)

L'accélération de la masse m2 est x''2 = G*m1/x² (qu'on peut calculer pour chaque valeur de x)

On peut donc calculer les variations de vitesse des 2 masses pour un delta temps que l'on choisit adéquatement.

Et on peut en déduire les espaces parcourus par les 2 masses pendant ce delta temps.

On a donc le nouvel écart x entre les masses après ce delta temps.

On recommence ainsi en incrémentant le temps (de delta temps) à chaque ligne ...

On peut donc aussi tracer la distance x en fonction du temps ... et voir pour quelle valeur de t la distance entre les 2 centres est retombé à 1 m (donc moment de la collision)

Voila ce qu'on obtient (j'ai évidemment coupé les calculs plus loin que la ligne 21 ... mais, ils sont bien présents dans le fichier Excel).

[Archi3]

C'est marrant, c'est un problème identique à celui que j'ai posé à chatGPT sur le temps que mettait une planète à tomber sur le Soleil , pour tester ses capacités de raisonnement en physique (il donne le résultat numérique correct pour la Terre qui est de 64 jours environ surement parce qu'il l'a lu sur des corrigés, mais il ne sait pas le résoudre dans le cas général).

Il faut utiliser :

a) le fait qu'un mouvement mutuel de deux masses est le même qu'une particule fictive placée dans un champ de pesanteur créé par (m1+m2) qui aurait la distance relative des deux masses comme coordonnée radiale (mouvement à deux corps) .

b) employer "subtilement" la 3e loi de Kepler en se rendant compte qu'un mouvement en ligne droite dans un champ de pesanteur est un cas limite d'ellipse "plate" avec un grand-axe égal à la distance initiale, donc un demi grand axe égal à la moitié du rayon de l'orbite circulaire a = d/2.

l'expression classique de la loi de Kepler est
Le temps de chute libre en ligne droite est la moitié de la période




On trouve effectivement 2,72 e6 secondes soit 31 jours environ pour des sphères ponctuelles. En revanche ça ne marche pas pour trouver le temps de chute jusqu'à une distance finie (le rayon des sphères par exemple), là il faut employer l'intégration numérique.

[sunyata]

Merci à tous pour vos contributions ! C'est marrant de voir le nombre pi là où je ne l'aurais pas attendu à priori....