"Alignement" de trois sphères dans l'espace

[lucas.gautheron]

Bonjour,

Je ne parviens pas à résoudre un problème de géométrie dans l'espace.

J'ai trois sphères (appelons les S₁, S₂ et S₃).
Je connais leurs vecteurs position respectif dans l'espace, ainsi que leur rayon respectifs r₁, r₂ et r₃.

Je veux vérifier qu'elles soient alignées, mais par alignement je n'entends pas alignement de leur centre, mais je souhaite plutôt vérifier qu'elle soient en situation de "Syzygie" (http://fr.wikipedia.org/wiki/Syzygie).

Mathématiquement, sauf erreur de ma part, cela se réduit à l'existence de 3 points A, B et C alignés appartenant chacun à une sphère différente (ces points ne sont donc pas nécessairement les centres de chaque sphère !)
Seulement voilà... Je ne vois pas comment m'y prendre avec mes données.
Et il y a peut être une solution plus simple.

Auriez vous une piste ?
Merci d'avance.

A+,
-----

[Jon83]

Bonjour!

Ta question a l'air très intéressante, mais je pense qu'elle n'est pas du niveau Lycée...
Peut être aurais-tu plus de réponses sur le forum du supérieur?

[lucas.gautheron]

Pas faux... Si un modérateur veut bien déplacer le fil ?

Merci,
A+

[danyvio]

Cela semble un peu complexe en terme de calcul, et je n'y suis pas attelé. Ma piste serait de concevoir une droite telle que sa distance au centre de chaque sphère serait < ou = au rayon de cette sphère. C'est peut-être un coup d'épée dans l'eau mais bon...

[A voir en vidéo sur Futura]

[lucas.gautheron]

Bonsoir,

C'est pas bête comme idée.. Je vais essayer de l'appliquer.
Je vous tiens au courant.
Mais toute autre idée est bienvenue bien sur.

Merci,

A+,

[lucas.gautheron]

Bonjour,

Je pense avoir résolu le problème autrement. Peut être ai-je fait une erreur mais ça a l'air de fonctionner.. Peut être est-ce possible de simplifier la démarche d'ailleurs...

L'objectif est de déterminer s'il y a intersection entre le cône tangent aux sphères S1 et S3 et la sphère S2 par exemple.

On se place dans le plan contenant les centres des trois sphères (voir le dessin).
(En attendant la validation de la pièce jointe, voir : http://sciencestechniques.fr/schemas/dessin.png)

Il faut vérifier que : CL-r₂ <= KL

Il faut donc calculer KL

> KL = KO+OL

Pour OL, c'est très simple. Il s'agit du rayon de la sphère la plus petite. Disons pour simplifier qu'il s'agit de S₁ (bas du schéma).
Dès lors : OL = r₁ et KL = KO+r₁

Le calcul de KO est un peu plus complexe, et c'est là qu'il est sans doute possible de le simplifier.
On utilise le théorème de Thalès dans le triangle HGP :


Je rappelle que les vecteurs positions des centres des sphères sont .

Donc

Il faut maintenant calculer EL.
Pour cela on se place dans le triangle rectangle ELC rectangle en L.
Dans ce triangle :

CE² = CL²+EL² soit EL² = CE²-CL²
Pour CE c'est très simple :

CL est la distance entre le point C et la droite (EA). Soit , vecteur directeur de (EA).
On a alors :

soit

Soit

Donc

Et finalement :


La condition finale à respecter est alors :


soit


CQFD

PS : j'espère ne pas avoir fait d'erreur en recopiant mon raisonnement (faute de frappe dans les formules ou incohérence avec le dessin).
J'espère aussi que mon raisonnement est correct.

A+,

[lucas.gautheron]

J'ai intégré ça à mon programme de simulation de mouvements planétaires, et ça a vraiment l'air de fonctionner, j'arrive à détecter les éclipses et autres entre différentes planètes avec au maximum 1 jour d'écart avec les prévisions que j'ai pu trouvées sur le net (pour de tels évènements se produisant dans les 10 ans à venir, au delà je perds au précision dans les calculs...)

A+,

[Amanuensis]

C'est un poil faux, la condition limite c'est la tangence du cercle vert à GH, qui est atteinte plus loin que quand le cercle vert touche GH en K. L'erreur est nulle quand les deux autres cercles sont de même diamètre, elle dépend du rapport entre la différence des diamètres et la distance des centres.

La figure correcte, c'est CKOL perpendiculaire à GH et non pas à AE.

[lucas.gautheron]

Bonsoir,

Merci beaucoup pour ta réponse !
"C'est un poil faux, la condition limite c'est la tangence du cercle vert à GH, qui est atteinte plus loin que quand le cercle vert touche GH en K"

Exact ! Enfin je pense comprendre ce que tu dis, à la condition que par "plus loin", tu entendes "plus à gauche" sur mon dessin.
Là comme ça, je ne vois pas trop comment calculer ce décalage. Je vais essayer de trouver une solution (sachant que j'évite de passer par des calculs d'angle, ça induit des pertes de précision, enfin j'ai cru remarquer ce problème en utilisant des fonctions trigonométriques dans mes calculs).

Puisque l'erreur dépend du rapport différence diamètres/distance centres, elle ne pouvait pas apparaitre de manière flagrante dans les résultats de mes calculs : les distances entre planètes sont d'un ordre de grandeur bien supérieur aux longueurs des rayons..

Merci encore à toi, et en espérant que la nuit qui vient m'apporte la solution à mon problème comme ça a été le cas la nuit dernière (mais sans erreur cette fois)

A+,

[Amanuensis]

à la condition que par "plus loin", tu entendes "plus à gauche" sur mon dessin.

Oui, c'est ça.

Puisque l'erreur dépend du rapport différence diamètres/distance centres, elle ne pouvait pas apparaitre de manière flagrante dans les résultats de mes calculs : les distances entre planètes sont d'un ordre de grandeur bien supérieur aux longueurs des rayons..

Pour ça que j'ai écrit "un poil"...

Pas nécessairement suffisant pour expliquer les différences avec les prédictions trouvées sur le net, qui viennent plus probablement de la non prise en compte de toutes les variations des paramètres des orbites.

[lucas.gautheron]

Pour ça que j'ai écrit "un poil"...

Pas nécessairement suffisant pour expliquer les différences avec les prédictions trouvées sur le net, qui viennent plus probablement de la non prise en compte de toutes les variations des paramètres des orbites.

Pour déterminer les trajectoires j'utilise la méthode d'euler en gros donc en théorie avec un pas de calcul infiniment petit ça devrait être proche de la réalité (enfin dans les limites de la mécanique newtonienne).
(Arrête moi si je dis une bêtise).
Mais bon le pas était de l'ordre de 50 s quand j'ai fait mes calculs.

Bref merci et bonne soirée, je corrigerai tout ça demain.

A+,

[Xoxopixo]

Bonjour,

j'aurais procédé plus "simplement" (d'un point de vue informatique. ).
On connait les centres P1 et P3.
Ce qui nous donne une droite allant de P1 à P3.

On connait P2, on peut donc touver l'equation de la droite orthogonale à la droite [P3,P1].
L'intersection de cette droite partant de P2 intersecte [P3,P1] en L, nous calculons donc L ici.
A ce stade, on peut vérifier si L se trouve entre P3 et P1.
Si ce n'est pas le cas, le calcul s'arrete là, et on peut retenter le calcul en échangeant P3 avec P2 ou P3 avec P1.

Les "rayons" ((P3R1-P1R1) et (P3R2-P1R2), calculés plus loins si nécéssaires) partant du bord de la sphère P3 vers le bord de la sphère P1 vont intersecter en Q, si ils sont pas paralleles.
Si les rayons sont paralleles, c'est à dire que Rayon de P3=Rayon de P1, le rayon de la sphère en L sera bien implicitement égal au rayon de P3, et la phase de calcul suivante (entre crochets) n'est pas nécéssaire

[
On cherche donc 2 droites (rayons) quelconques mais "définies de la même manière".
C'est à dire, par exemple, qu'on calcule l'équation de la droite orthogonale à P3,P1 partant depuis le point P3 et on calcule les coordonnées du point se trouvant à +rayon de P3 et à -rayon de P3. On a donc les points P3R1 et P3R2.

On fait la même chose avec la sphère P1. On trouve les points P1R1 et P1R2.
Mais attention, pour ce calcul il faut prendre la droite orthogonale à [P3,P1] passant par P1 mais colinéaire (même coefficient directeur en 3D) à la droite P3R1-P3R2. (ou à la droite orthogonale à P3,P1, passant par P3 précédement calculée)
(Puisque sinon, il existe une infinité de manière possibles de tracer ces "rayons" partant d'un bord de la sphère à l'autre)

Le rayon de la sphère fictive (en 3D) en L est donnée par un rapport "barycentrique".
Le rayon sera nul si L=Q, égal au rayon de de P1 si L=P1 et égal au rayon de P3 si L=P3.
Ce qui nous donne le rayon R de la sphère fictive en L.
Qui est égal à R= (Rayon P3) * (Q-L)/(Q-P3), si je ne me suis pas trompé.

Nous avons donc la position de la sphère fictive en L, et son Rayon R.
Cette sphère correspond à la zone dans laquelle, si un corps entre, il y a occultation.
]

La question finale, est; la sphère (P2) entre-t-elle dans cette zone ?
Il suffit pour le savoir de prendre la position de P2, y ajouter son rayon sur la droite orthogonale à P1-P3 précédement calculée.
Ca nous donne un point, disons PV.
Maintenant, la méthode la plus simple, est de regarder quelle est la distance D entre le Point PV et L.

Si D<=R, la sphère P2 est en occultation, si D>R elle se trouve en dehors de la zone d'occultation.
Si je ne me suis pas planté.

Tout ici revient à savoir produire des équations des droites, passant par un point, ayant un certain coefficient directeur (pour la colinéarité), ainsi que savoir calculer l'equation d'une droite orthogonale à une autre droite (+ ensuite le point d'intersection de deux droites= résolution).
Il faut donc aller voir du coté des equations cartésiennes et paramétriques des droites en 3 dimension.
Il existe des exemple de routines "toutes faites" sur internet (à adapter probablement) pour les calculs divers et variés sur des objets "droites" selon le format choisi.

[lucas.gautheron]

Bonjour,
Merci pour ta réponse (je n'ai cependant pas le temps de la lire tout de suite, mais je ne manquerai pas de le faire !)

Le terme correctif pour ma méthode est (si je ne me suis pas trompé) :


A+,

[Amanuensis]

Cela me paraît bizarre. Ne serait-ce pas plutôt arccos ? (Et même arccos, qui a les bonnes propriétés dont être nul pour KO=0, m'étonne un peu.)

[lucas.gautheron]

Bonjour,

La condition finale est (je pense) :



J'expliquerai comment j'ai obtenu ça un peu plus tard, je ne peux pas le faire pour l'instant.

Merci,
A+,

[lucas.gautheron]

euh non c'est pas ça j'ai pas recopié ce que je voulais : le dénominateur dans le cos est pas bon, ni le numérateur.
pas le temps de corriger....

[lucas.gautheron]

Ok donc je me suis carrément planté...
Le terme à retrancher au membre de gauche est :



J'avais oublié de virer le cos puisque ce rapport est lui même cosinus de l'angle.
Et pour la fraction j'ai pas recopié le bon truc.

Enfin j'éspère que cette fois c'est correct, désolé pour les multi posts.

A+,

[Xoxopixo]

On se place dans le plan contenant les centres des trois sphères (voir le dessin).

C'est ce point qui me parait curieux.
Les eclipses se produisent elles spécifiquement dans le plan ?
D'oû la méthode 3D proposée.
Mais je n'ai peut-être pas compris le problème initial...

[lucas.gautheron]

Bonsoir,

Il existe forcément au moins un plan comprenant les 3 centres de chaque sphère et donc un diamètre de chacune des sphères.
Ce qui fait que le problème peut se rapporter à un plan.

PS : Désolé d'avoir écrit toutes ces horreurs, j'étais pressé et pas sur mon ordi habituel (oui bon pas terrible comme excuse) toujours est-il que la dernière version me semble correcte.

Merci à vous,
A+,