Suites 1S

[invite266e3968]

Bonjour, j'ai un exo sur les suites et je galère .

Voici l'énoncé: Soit (un) une suite définit sur N par u0=1 et
un+1= 2un/2+3u n

1)Calculer u2 et u3.
2)La suite (un) est-elle arithmétique?

1) Vu que la formule que j'ai est une formule de récurrence, j'ai calculé u1=0.4 pui j'ai trouvé : u2=0.25 et u3=2/11.
2) Pour cette question, vu que je ne suis pas arrivé à trouver un pour pouvoir faire un+1-un. J'ai utilisé la propriété suivante: Si une suite est arithmétique alors la différence entre 2 termes consécutifs est constante . J'ai trouve que cette différence n'était pas constante donc la suite n'est pas arithmétique.

3)On suppose que pour tout entier naturel n, un différent de 0 et on définit la suite (vn) par vn=1/un
a] Montrer que la suite (Vn) est arithmétique et donner ses éléments caractéristiques.
b]Donner l'expression de (Vn) en fonction de n.
c]En déduire l'expression de un en fonction de n.

4) Etudier la monotonie de la suite (un)

5)Montrer que pour tout appartient N, 0<un<=1

A partir de la question 3 , je suis perdue . Il faut que je fasse vn+1-vn mais vu que je n'ai pas un, je ne sais pas quoi faire. De plus, mon prof m'a donné quelques indications mais je n'arrive pas à voir leurs utilités : vn arithmétique de raison r=3/2 et Vn=1un --> Un=1/vn

En espérant quelques explication de votre part qui me permettront d'avancer
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[Jon83]

Bonjour Marine31129!

Tes premières réponses sont exactes!

Pour la question 3), il suffit d'utiliser les définitions:

; tu remplaces par sa valeur.

Après simplification, tu vas trouver le résultat demandé!

[invite266e3968]

a) Vn=1/un et vn+1=1/un+1
ainsi Vn+1-Vn=(1/un+1)-(1/un)
=[1/(2un/(2+3un))] - 1/un
= ((2+3un)/2un) -1/un
= (2+3un-2)/2un = 3un/2un
Vn+1-Vn=3/2

[Jon83]

Oui, c'est correct! Plus rapidement:

--> est une suite arithmétique...

Mais bon, je pinaille!!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite266e3968]

Pour la question 3b)
Vu que v0=1/u0=1/1=1 --> v0=0
et que vn=v0+nr
vn=1+(3/2)r

[Jon83]

Non!

[invite266e3968]

Pour la question 3b)
Vu que v0=1/u0=1/1=1 --> v0=0
et que vn=v0+nr
vn=1+(3/2)r

Je me suis trompé c'est v0=1 que je voulais mettre .
Cette partie est-elle juste?
vn=v0+nr
vn=1+(3/2)r

[Jon83]

ça c'est juste si tu appelles r la raison de la suite.
Ici, combien vaut r ?

[invite266e3968]

La raison vaut 3/2

[Jon83]

La raison vaut 3/2

Oui! Alors comment exprimes-tu en fonction de n?

[invite266e3968]

Je pense que c'est Vn=3/2r+1n

[Jon83]

Mais non, voyons...

tu dis que et tu sais que r=3/2, alors ????

[invite266e3968]

Mais non, voyons...

tu dis que et tu sais que r=3/2, alors ????

Je crois que j'ai compris d'où vient mon erreur ^^' Vn=1+3/2n

et donc pour la c), vu que vn=1/un --> un=/vn donc un=1+3/2n

[Jon83]

Je crois que j'ai compris d'où vient mon erreur ^^' Vn=1+3/2n

et donc pour la c), vu que vn=1/un --> un=/vn donc un=1+3/2n

Oui! C'est ça!!!

[invite266e3968]

Ah Bon, je vais faire la question 4

[invite266e3968]

Pour étudier la monotonie, faut-il que j'utilise le Un+1 du début et donc que que le développe avec la valeur de Un ou faut-il que je trouve Un+1 à partir de Un ?

[Jon83]

Si tu as calculé en 1) tu devrais conclure rapidement...
Sinon, tu sais que et tu viens de démontrer que

Avec ça, tu calcules u_n et tu va pouvoir répondre!

[invite266e3968]

J'ai utilisé finalement la fonction 2x / (2+3x)
J'ai fait le tableau de signe je trouve qu'il est positif sur 0;+infini
La fonction F est croissance sur 0;+infini donc la suite est croissante à partir de l'indice 0

[Jon83]

Non, c'est totalement faux!!!

1) c'est en contradition avec les , et que tu as déja calculés

2) l'expression n'est pas de la forme , donc tu n'as pas le droit d'utiliser la fonction que tu cites....

Relis mon dernier message, tu as la solution!

[invite266e3968]

Si tu as calculé en 1) tu devrais conclure rapidement...
Sinon, tu sais que et tu viens de démontrer que

Avec ça, tu calcules u_n et tu va pouvoir répondre!

Je ne comprend pas la partie en gras. :/

[Jon83]

donc

[invite266e3968]

Un sera toujours positif vu que 1+3/2*0=1
^^ et par conséquent, la suite est croissante

[Jon83]

De quel chapeau tu tires ce résultat?
En plus la question porte sur la monotonie et pas le signe....

[invite266e3968]

Et bien, je me suis trompée. Cette méthode ne fonctionne que lorsque Un=f(n)

[Jon83]

En effet! Mais justement, les exercices sont fait pour apprendre les techniques, et nul n'est à l'abris des l'erreurs: il faut en tirer les leçons pour ne pas les refaire!!!

[invite266e3968]

Vn=1/Un et Vn=1+3/2n
Un=1/Vn
Un=1/(1+3/2n)
Un=1+3/2n

[invite266e3968]

J'ai tenté un truc
Au départ on nous donne
Un+1= (2Un)/(2+3Un)
=2 (1+(3/2)n) /(2+3(1+(3/2)n))
=(2+3n) / 2+3+9/2n
=(2+3n) / (5+4.5n)

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Et donc
Un+1-Un=[(2+3n)/(5+4.5n)]-(1+(3/2)n)
=[(2+3n)/(5+4.5n)]-1-(3/2)n

[Jon83]

Vn=1/Un et Vn=1+3/2n
Un=1/Vn
Un=1/(1+3/2n)

Jusque là c'est juste! ça se gâte après....

[invite266e3968]

Jusque là c'est juste! ça se gâte après....

1/(1+3/2n)
=1* 2n/1+3
=1*2n/4
=2n/4

[invite266e3968]

J'ai édité, j'avais mis un truc faux