Suites

[invitea2d25da3]

Bonjour je bloque sur un exercice. Je tiens à dire que nous avons très vite passer sur les suites au profit de l'algebre donc c'est un peu chaud pour l'instant.
Voilà l'énoncé qui me tourmente:

1)Justifier qu'il existe une sous-suite de (un) qui converge vers a ssi tout voisinage de a contient une infinité de termes de la suite (un).

2) Soit (un) une suite bornée telle que un+1 - un tends vers 0 quand n tends vers + infini. Montrer que l'ensemble formé par les limites des sous-suites de (un) est un intervalle fermé.

3) En déduire que si f : [0,1] dans [0,1] est continue et si (un) est une suite récurrente définie par u0 appartient [0,1] et un+1 = f(un) on a l'équivalence :

un+1- un tends vers 0 quand n tends vers + infin est équivalent à (un) converge.

Ps : La dérivée(primitive) d'une fonction periodique est-elle périodique? Je dirais que oui mais j'arrive pas à bien le prouver.


Je vous remercie de votre aide.
A propos de cet exo, je pense qu'il faut utiliser le théoreme de bolzano mais rigoureusement je bloque
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[Universus]

Salut,

Pour ton postscriptum, supposons que ta fonction périodique ait une période et soit continue et dérivable sur les réels (ces hypothèses peuvent être affaiblies, mais bon l'essentiel de l'idée est là). Bref, et . On a par définition pour tout :



Pour la primitive, on peut se demander si f'(x) = f'(x+p) sans que f(x) = f(x+p).

[Universus]

Pour le 1), il faut que tu utilises la définition de convergence d'une suite :



Ici, tu considères une sous-suite de qui converge vers ; applique donc la définition de convergence à la sous-suite. Ensuite, tu supposes que pour un certain , il n'existe qu'un nombre fini de terme dans l'intervalle ; clairement, cela va en contradiction avec le fait que dans la définition de convergence de la sous-suite, pour , il y a une infinité de termes de la suite. Pour mettre ça en évidence, tu peux considérer chacun de u_n (fini en nombre) dans l'intervalle ci-dessus et considérer plus précisément leur distance à u. Tu définies ensuite comme la moitié disons de la distance minimale que tu obtiens, dans quel cas tu ne devrais plus avoir aucun terme de la suite dans le nouvel intervalle que cela décrit, ce qui est en contradiction avec le « il doit y avoir un nombre infini de termes de la sous-suite (donc de la suite) dans l'intervalle...» de la définition de convergence.

C'est peut-être pas clair, mais j'ai la paresse de tout écrire rigoureusement, en plus que l'idée est que tu apprennes à avoir ce type de raisonnement ^^.

Pour le 2), je sais pas s'il y a plus simple, mais j'imagine que ça se fait en considérant les points d'accumulation de l'ensemble des valeurs d'adhérence de ta suite (i.e. l'ensemble des limites de sous-suite). Cet ensemble est fermé s'il contient tout ses points d'adhérence (c'est nécessaire, mais non suffisant ; il doit aussi contenir ces points isolés, mais cela est assez trivial). C'est un peu long tout décrire le raisonnement...

[Universus]

Cet ensemble est fermé s'il contient tout ses points d'adhérence (c'est nécessaire, mais non suffisant ; il doit aussi contenir ces points isolés, mais cela est assez trivial).

Je me suis emmêlé quelque peu les pinceaux ici. Un ensemble est bel et bien fermé, par définition, s'il est égal à son ensemble d'adhérence (appelé souvent la fermeture de ). Que contienne tous ses points d'adhérence pour être fermé est donc, par définition, nécessaire et suffisant. Ce que je voulais dire, c'est qu'il faut considérer les points d'accumulation de ; si l'ensemble est fermé, il doit les contenir tous (puisque si désigne l'ensemble des points d'accumulation de , on peut montrer que ), mais cela n'est pas suffisant puisqu'il doit contenir aussi les points de qui ne sont pas d'accumulation, soient les points isolés.

Pour info :

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Pour la primitive, on peut se demander si f'(x) = f'(x+p) sans que f(x) = f(x+p).

Contre-exemple : f'(x) = cos(x) + 1

[Universus]

Parfait Médiat, ce n'est pas pour rien que je disais ''on peut se demander si'' (je n'avais pas de contre-exemple et évidemment pas de démonstration, alors je proposais une façon de peut-être voir comment s'en sortir sans tenter de démonstration par un calcul direct d'intégrale ; évidemment qu'un contre-exemple est toujours plus économique). Merci bien!