Projet tribologie en lubrification hydrodynamique

[Hakuren]

Bonjour à tous,

Je suis étudiant en 3ème année d'école d'ingénieurs et j'ai un module d'autoformation sur la tribologie. La validation de ce module consiste à la réalisation d'un miniprojet sur de la lubrification en hydrodynamique, en voici l'intitulé :

Un traîneau avance sur de la neige à une vitesse constante : V = 15 km/h, il supporte une charge de W = 1000 N. Les patins du traîneau sont 2 quarts de cylindres de rayon : R = 30 cm et de longueur L = 90 cm. Le film séparant les patins et la neige à une épaisseur notée hm et une viscosité moléculaire de : µ = 1,792 mN.s.m^-2. On se place dans un repère plan classique avec l'axe x pour les abscisses et l'axe y pour les ordonnées.

1. Calculer et représenter la répartition de pression dans le film liquide.
2. Exprimer l'équation d'équilibre pour 1 patin et en déduire l'épaisseur minimale pour pouvoir supporter la charge W.

Vu que la pression n'est pas homogène dans le ski, je suppose que je dois exprimer hm(x) en fonction de W.
Jai absolument aucune idée pour débuter le projet surtout après les "indices" que nous laisse le prof : "le délivrable doit être un programme MathLab avec un sous programme calculant des intégrales." Je ne comprend pas ce que le calcul d'intégrale vient faire ici.

C'est pour cela que demande votre aide afin de m'aider sur ce projet, même de la documentation sur la lubrification hydrodynamique serait la bienvenue. J'ai trouvé plusieurs ressources de cours, mais rien de concret qui s'adapte à ce type de problème. Par exemple, je trouve des exercices similaires, mais avec une pression homogène qui facilite largement les calculs.

En vous remerciant,
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[Hakuren]

Update :

Du coup, ce n'est pas un quart de cylindre mais plutôt une forme d'équation : h(x)=hm(1+ x²/(2*hm*R)).
J'ai fais apparaître : h(x)/hm = 1 + x²/(2*hm*R) et j'ai posé h° = h(x)/hm ainsi que : x²° = x²/(2*hm*R)
Alors on a donc : h° = 1 + x²°

J'ai ensuite posé l'équation de Reynolds : dP/dx = 6*eta*V * (h(x)-h0)/(h(x)^3) --> avec h0 qui est la valeur de h(x) telle que dP/dx = 0
Si on reprend l'équation précédente de h0°=1+x0²°, on remanie l'équation de Reynolds par : dP/dx = 6*eta*V* (x²* - x0²°)/(1+x²°)^3
En reprenant l'expression de x²°, on peut exprimer x° par : x° = x/sqrt(2*hm*R), en isolant : x = x° * sqrt(2*hm*R) et par conséquent : dx = dx° * sqrt(2*hm*R)
Enfin, dp/dx° * 1/(6*eta*V*sqrt(2*hm*R)) = (x²° - x0²°) / (1+x²°)^3

On posera le terme : p° = p / (6*eta*V*sqrt(2*hm*R)) donc : dp° = dx° * (x²° - x0²°) / (1+x²°)^3 alors p° = ∫ (x²° - x0²°) / (1+x²°)^3 dx°
En séparant, on obtient : ∫ x²° / (1+x²°)^3 dx° - x0²° ∫ dx° / (1+x²°)^3, les intégrales ont pour borne : x=0 et x=50, déjà je relève un problème car les bornes se font pas en fonction de x° sauf que je dois intégrer sur toute la largueur de mon patin qui dépend de x. Sauf que je peux pas l'exprimer en fonction de x car cela dépend de hm, valeur que je dois chercher.

Les résultats de ces intégrales sont I1(x) et I2(x), et p° - p0° = I1(x) - x0²° * I2(x). En posant mes conditions limites, p° est nulle en x = 0 et x = 50. Alors p0° = 0 et x0²° = I1(50) / I2(50).

Et c'est là où je bloque, comment obtenir ma portance pour supporter la force de W/2 qui agit sur chaque patin ? Faut-il itérer les intégrales I1 et I2 ? Dans ce cas-là, j'obtiens x0²° mais pas p° qui me permettrait de remonter jusqu'à p. Le but étant d'exprimer hm en fonction de W.

Voilà mon avancée pour le moment, je vais coder I1 et I2 voir ce que ça me donne. En attendant, j'espère recevoir un peu d'aide pour me débloquer.

Merci,