Bonjour,
Je me posais une question, un point mathématique est une abstraction définie par des coordonnées, un point matériel c'est également des coordonnées (une position donc) mais également une masse ? Sans dimension physique pour autant ? Est-ce bien cela ?
Bonne fin de journée !
Re : Différence point matériel et point mathématique
Oui, mais c'est clairement une limite de situations réelles, une idéalisation. Par exemple en mécanique céleste, pour calculer la trajectoire d'une sonde interplanétaire, on peut supposer que la sonde, qui mesure 2 ou 3 mètres, est très petite par rapport aux dimensions du système solaire. De plus, il est souhaitable que son orientation soit stable pour pouvoir pointer son antenne vers la terre et transmettre des images, donc pas de rotation et son moment angulaire propre est quasi nul dans notre système de coordonnées. On la représente donc par un point matériel de diamètre nul et doté d'une masse.
C'est une approximation car en réalité la trajectoire n'étant jamais rectiligne, il faut procéder à des ajustements de l'orientation pour pointer cette antenne vers nous pendant tout le voyage. Donc l'approximation du premier ordre doit être corrigée au deuxième ordre par des variables d'angles qui ont un impact quasi nul sur la trajectoire globale.
J'imagine que le "sans dimension physique" porte sur les dimensions spatiales exprimées en mètre?Envoyé par QuestionsExistentielles
Une masse m concentrée en un point de dimension nulle donne une masse volumique infinie, "chose" qu'on peut modéliser par une impulsion de Dirac de poids m, de façon à retrouver la masse m quand on intègre sur l'espace autour de cette masse m.
On a donc une masse volumique (kg/m^3) infinie au point considéré, mais dont la masse est finie : un produit 0m^3 x infini kg/m^3 = m en kg, rigoureux d'un point de vu mathématique.
Ces modélisations permettent de travailler simplement et rigoureusement mathématiquement.
On retrouve le même genre de considération avec des charges électriques ponctuelles.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
J'avais vu ça effectivement qu'on pouvait traiter "quelque chose" comme un point matériel si le quelque chose en question était négligeable par rapport au système.
Ma question traitait plutôt sur la limite entre le "réel" et l'abstraction mathématique d'un point mathématique défini uniquement par des coordonnées (et bizarrement plus facilement représentable je trouve), et un point matériel infiniment petit mais ayant (ou pas) une "dimension" et là je trouve ça plus difficilement représentable.
Je me demandais notamment pour une particule quantique si elle était traitée plutôt comme un point matériel ou bien comme un point mathématique car autant pour traiter un gros objet macroscopique ça fait sens de le traiter comme un point matériel, mais pour parler d'une particule quantique je ne sais pas si c'est juste de parler de point matériel ou qu'il faut être plus abstrait et parler de point mathématique.
Bonne journée à vous !
Pour ce qui est de la mécanique classique, le point matériel de F=ma peut être très gros, car cette expression s'applique au centre d'inertie d'un solide (qui est bien un point mathématique) mais peut concerner un objet imposant (une fusée qui décolle). cf. le message #2 de @ThM55.
Très gros devant quoi?
Très petit devant les dimensions d'une planète, soleil, etc...
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
pas forcément.
Cela peut être très très gros : le mouvement de la Lune se décrit bien par F=ma(G), tout au moins à court terme.
Très très gros devant quoi de pertinent pour le problème considéré?
Très petite devant la distance Terre-Lune, Soleil-Lune.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Très très gros devant rien du tout, F=ma(G) ne fait aucune hypothèse sur la grosseur de l'objet vis-à-vis de quoi que ce soit.
Là où il y aura éventuellement un problème sera dans le calcul de F : si par exemple à l'échelle de l'objet g n'est pas uniforme.
Pour ce qui est d'un satellite qui orbiterait à faible distance d'une planète, F=ma(G) continue de fonctionner et si le satellite reste sphérique, le fait que g soit non uniforme ne pose pas problème.
En ce cas, je ne vois pas l'intérêt de la précision de "très gros devant rien du tout".
Simplement parce que cela parait contre-intuitif vis-à-vis d'un point matériel?
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
C'était pour répondre à :
"J'avais vu ça effectivement qu'on pouvait traiter "quelque chose" comme un point matériel si le quelque chose en question était négligeable par rapport au système."
Pour le cas du point matériel centre d'inertie, on n'a pas besoin de la fin de la phrase.
Bonjour,
Attention quand-même,
Un objet réduit à un point matériel, c'est une manière de dire que certains phénomènes peuvent ne pas être pris en considération car ils ont un effet négligeable sur le phénomène étudié.
Par exemple, avec un objet dit "réduit à un point matériel", on peut négliger les effets du frottement aérodynamique ou la poussée d'Archimède ou ...
MAIS, l'objet réduit à un point matériel doit conserver certaines propriétés que l'on pourrait, à tort, "oublier".
Par exemple, un objet en forme boule pleine homogène que l'on précise dans l'énoncé du problème comme pouvant être réduit à un point matériel, conserve son énergie de rotation, son moment cinétique et autres ...
Exemple
Une boule pleine homogène qui roule sans glisser a une énergie cinétique de translation E1 = 1/2 m.V² et une énergie cinétique de rotation E2 = 1/2.J.w² (avec ici J = 2/5 m.R² et w = V/R)
On à E2 = 1/2 * 2/5 * m.R² * (V/R)² = 0,2.m.V² (indépendante de R ... et donc vraie aussi si R --> 0)
Donc, même si on réduit la boule à un point matériel ... elle conserve la même énergie cinétique de translation et de rotation que si elle n'est pas réduite à un point matériel. (et là, c'est souvent "oublié" dans beaucoup d'exercices)
Pareil pour le moment cinétique de la boule qui est le même que la boule soit ou non réduite à un point matériel.
Et pareil pour une multitude d'autres caractéristiques.
Dernière modification par Black Jack 2 ; 15/04/2025 à 14h11.
Bonjour
A la lecture des messages précédents, je pense qu'il est question de deux situations très différentes.
1° : d'abord les messages qui répondent à la question : "peut-on en mécanique classique assimiler un objet à un point matériel ?" Les messages 2 et 13 (entre autres) répondent à cette question : les dimensions de l'objet doivent être très petites devant les autres dimensions du problème et la rotation de l'objet sur lui-même doit être sans influence sur le mouvement de l'objet. Comme écrit précédemment, une très petite bille qui roule sans glisser sur un long plan incliné ne peut en aucun cas être assimilé à un point matériel ...
2° : les messages qui parlent de la mécanique du solide. Le mouvement est alors régi par deux théorèmes : le théorème de la résultante dynamique qui permet d'obtenir l'accélération du centre d'inertie G et le théorème du moment dynamique qui permet d'obtenir le mouvement de rotation du solide autour de ce point G. Le centre d'inertie G est un point au sens mathématique du terme. Il n'y a pas à se poser de question sur la taille du solide concerné par l'étude dynamique.
Très bon résumé! Il y a aussi des cas où considérer le mobile comme un point matériel est erroné, même si ses dimensions sont très petites par rapport au problème, parce qu'un même problème mécanique peut avoir plusieurs échelles de distances. Par exemple, l'orbite d'un satellite est beaucoup plus grande que le satellite lui-même. On a donc une bonne approximation de cette orbite en le considérant comme un point. Mais un aspect essentiel du point de vue technique est le contrôle de l'attitude du satellite par rapport à la terre ou au soleil, sans quoi dans la majorité des cas le satellite serait inutilisable. Et pour ce problème, cela tombe sous le sens, il faut le considérer comme un objet étendu, connaître ses moments d'inertie et son moment angulaire propre (par exemple s'il y a des roues de réaction), les forces de marée,... Un autre exemple est celui d'un camion contenant un gros réservoir dans lequel un fluide massif peut osciller et déplacer le centre de masse par rapport au châssis. Il faut toujours faire preuve de discernement.
On bien ag = F/m mais il faut encore calculer F
Dans le cas de la lune, le problème est que la force gravitationnelle ne vaut pas GMm/r2 où r est la distance entre le centre de masse de lune et celui de la terre.
Par Gauss, on peut démontrer que la force exercée par la terre sur un point ponctuel vaut bien cela, mais ce n'est pas le cas pour la force exercée sur un objet non ponctuel.
Oui, il faut calculer F, mais la lune étant quasiment sphérique et la Terre un peu moins F=GMm/r2 marche bien.
Je vais essayer de chercher les corrections.
J'ai trouvé les corrections : unige.ch
Pour Lune-Terre la déviation de la loi de distance 1/r2 n’est que d’environs 0.00003%.
Pour aller dans le sens des précédents messages : pas question d'assimiler un astre (lune ou autre) à un point matériel si on veut étudier les effets de marée.
Rappel : je ne fais que répondre à la question initiale :
"Un point mathématique est une abstraction définie par des coordonnées, un point matériel c'est également des coordonnées (une position donc) mais également une masse ? Sans dimension physique pour autant ?"
Et j'ai juste répondu que le centre d'inertie répondait à la question.
Je ne faisais pas référence à des corrections pour prendre en compte des non homogénéités ou une non sphéricité.
Si on intègre la force de gravitation même sur une sphère parfaite on n'obtient pas F = GMm/R^2 avec R la distance entre les 2 CMs.
Il y a une correction négligeable en pratique en astronomie mais le fil est dans un contexte fondamental.
(merci pour le lien)
un point reste un point – un élément graphique – pouvant-être doté de propriété particulière...
- et un nuage (de point) d'éléphant n'impliquera jamais que l'on ne puisse plus déplacer la page
libera me : ungoogled chromium, e.foundation (anti-droid)
Si, c'est le théorème de Newton : wikipedia
Oui, c'est bien F = GmM/R² ... si évidemment les astres sont à répartition sphérique de masse.
... et que R > somme des rayons des astres.
Dernière modification par Black Jack 2 ; 18/04/2025 à 12h06.
Non. C'est l'inverse dont je parle.
Quand la masse qui subit la force n'est pas ponctuelle.
(Ce que l'article dénomme théorème de Newton se déduit directement de Gauss ; cf plus haut).
C'est rigoureusement le même calcul.
cf. troisième loi de Newton si l'action d'une sphère sur un point conduit à GMm/r2 (1), l'action du point sur la sphère donne la même chose (2).
Et comme d'après (1) l'action d'une sphère est la même que celle d'un point, l'action d'une sphère sur une sphère donne GMm/r2 (3)
Non. Tu raisonnes "avec les mains"...
Ecris les 2 x triples intégrales et tu verras que tu ne sais en réduire que 3.
Je vais essayer de retrouver la démo.
Bonjour,
Vous avez la démonstration calculatoire page 108 de LPFR puisqu'une démonstration par le raisonnement n'est qu'une démonstration avec les mains.
Il n'y a besoin que d'une intégrale double pas deux intégrales triples : on utilise le deuxième théorème de Newton ce qui fait disparaitre une intégrale triple et on calcule le résultat pour une coquille.
J'ai appelé cela théorème de Newton en vertu des Principia :
Proposition LXXVI. — Théorème XXXVI.
Deux sphères dont toutes les parties agissent en raison renversée du carré des distances, étant composées l’une et l’autre d’orbes concentriques dont les densités du centre à la circonférence varient suivant une loi quelconque, s’attirent réciproquement avec des forces qui sont en raison renversée du carré des distances de leurs centres.
Ah oui. Effectivement...
La force exercée par une masse ponctuelle sur une surface annulaire, à la surface d'une sphère, est la même que la force qui serait exercée si cette masse était concentrée au centre de la sphère (qui n'est pas le CM de l'anneau du coup)(*).
C'est toi qui a utilisé cette expression de calcul avec les mains pas le passé.puisqu'une démonstration par le raisonnement n'est qu'une démonstration avec les mains.
Le calcul proposé n'est pas celui du raisonnement qui lui n'est pas complet.
Ce n'est pas parce que la force exercée par une sphère sur un point vaut GMm/R^2 que cela reste vrai pour une "sphère" de points.
===
(*) J'avais mal retenu le résultat du calcul.
-> F = GMm/R^2 reste vrai entre 2 sphères mais la démonstration pour les 2 sphères montre qu'elle ne peut pas être généralisée comme est l'est généralement.
La force exercée sur l'anneau (un peu particulier mais symétrique de la démonstration) n'est pas égale à la force qui serait exercée si la masse de l'anneau était concentrée à son centre de masse (qui n'est pas au centre de la sphère).
(Merci pour le lien et pour le Principia)
De quelle généralisation parles-tu ?
