Le bug de l'infini dans Navier-Stokes : La solution est-elle cachée dans la masse ?

[Le Physicien Autodidacte]

Bonjour,

Je suis un autodidacte passionné de physique et en regardant l'équation de Navier-Stokes pour comprendre d'où venait ce fameux bug mathématique qui pousse le calcul vers l'infini, j'ai trouvé un truc bizarre.

J'ai vu que l'on calcule la vitesse du liquide dans un temps, mais on n'augmente pas l'énergie. Alors que, on le sait, plus un objet va vite, plus son énergie augmente, donc sa masse. Mais on n'augmente en aucun cas la masse. Alors j'ai trouvé ça bizarre et je me suis permis de modifier l'équation de Navier-Stokes.

J'ai créé une variable appelée xm = . Donc voilà :

ρ x (xm + u . ∇u) = -∇p + µ∇²u

C'est pour que la masse soit ajoutée à l'équation de Navier-Stokes.

Si vous vous y connaissez assez bien, dites-moi si c'est complètement incohérent.
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[coussin]

d'où venait ce fameux bug mathématique qui pousse le calcul vers l'infini

De quel "fameux bug" parlez-vous ?

[gts2]

Bonjour,

La masse est déjà présente dans Navier-Stokes : c'est ρ la masse volumique

D'autre part votre équation n'est pas homogène : alors que par contre bien homogène au terme normal

[Black Jack 2]

Bonjour,

Navier-Stokes gère la mécanique des fluides classique (l'eau, l'air).
A ces vitesses, les effets de la relativité d'Einstein sont totalement invisibles.
La masse : En physique classique, la masse d'un objet n'augmente pas avec la vitesse, c'est son énergie cinétique qui augmente.
Le terme : La masse est déjà présente dans l'équation via la masse volumique

Erreur mathématique (L'homogénéité):
L'incohérence des unités : En physique, on ne peut additionner que des pommes avec des pommes.

Le problème : Dans ta formule , tu additionnes ta variable avec un terme d'accélération .
L'unité d'accélération : Mètres par seconde au carré (m/s²).\\
Le conflit : Si représente une masse (en kg), l'addition est mathématiquement impossible

Vraie nature du "bug" (La turbulence).
La cause de l'infini : Ce qui explose vers l'infini dans Navier-Stokes n'est pas un manque de masse. Le coupable, c'est le terme non linéaire qui crée des tourbillons de plus en plus petits (la turbulence).

Le "mystère" : L'énergie se concentre dans des zones infiniment petites, et les mathématiciens cherchent à savoir si l'équation "casse" à ce moment-là.
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Le problème mathématique célèbre de Navier-Stokes concerne la non-linéarité de l’équation et la possible apparition de singularités, pas une masse manquante.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Personne ne sait s'il y a un "bug de l'infini", c'est-à-dire l'apparition de singularités dans les solutions pour des conditions initiales données. C'est justement le but d'un des "problèmes du millénaire" pour lesquels le Clay Mathematical Institute offre un prix d'un million de dollars. Il faut montrer que les solutions de l'équation restent finies ou différentiables, ou bien au contraire déterminer les conditions sous lesquelles une singularité apparaît. Et personne n'a la solution à ce jour, selon les juges qui décident si le problème est résolu.

L'équation de Navier-Stokes fait jouer la viscosité, ce qui conduit à la diffusion de l'énergie et donc réduit le risque de singularité, mais d'un autre côté elle est non-linéaire et on sait que des équations non-linéaires peuvent conduire à des singularités ("blow-up": divergence apparaissant après un temps fini). Il y a une sorte de compétition entre les deux qui rend la décision très difficile.

L'énoncé du problème: https://www.claymath.org/wp-content/...vierstokes.pdf

En 1934, Jean Leray avait démontré la régularité des solutions sous des conditions strictes qui ne suffisent pas pour le problème du millénaire:

https://projecteuclid.org/journalArt...7%2FBF02547354

Le grand Terence Tao a étudié les conditions sous lesquelles le blow up se produit dans des équations différentes mais ressemblant à celle de N-S: https://arxiv.org/abs/1402.0290

Il s'agit d'un problème mathématique très difficile. Si on parvient à construire des solutions avec blow-up, il est évident que cela indiquera une limite à la validité physique de l'équation. Elle est pourtant utilisée très largement dans tous les modèles numériques en hydrodynamique et aérodynamique sans montrer ce genre d'anomalie.

[tenocnoc]

bonjour. sachant que toutes ces théories dont vous parlez ont été élaborées au cours du 19 ieme siècle , donc avant la mécanique quantique , ma question sera donc :a-t-on confirmé par la quantique , les hypothèses qui servent de base aux équations de Navier Stokes ? (théorie cinetique des gaz, viscosité:.....)

[ThM55]

La dynamique des fluides a été élaborée au XIXème siècle sur des principes plus anciens, établis par Newton (dynamique, viscosité), Euler et Lagrange (pour les premières formalisations) mais de nombreuses applications ont été développées au siècle suivant: applications à l'aviation, couche limite, propriétés générales de la turbulence, écoulements compressibles et supersoniques, plasmas,... Et au XXIème siècle la microfluidique. L'équation de Navier-Stokes peut aussi être déduite des principes de la physique statistique, via l'équation de Boltzmann pour la fonction de distribution des molécules du fluide. La viscosité, qui apparaît comme un coefficient empirique dans l'équation de Navier-Stokes, peut être déduite des phénomènes de collision et de diffusion microscopiques. Cela a été fait par Nikolay Bogolyubov, entre autres.

Tout cela relève exclusivement de la physique classique tout simplement parce qu'on suppose des systèmes macroscopiques à très grand nombre de molécules, à des températures où les effets quantiques sont négligeables. Même dans le cas du superfluide (transition vers une phase sans viscosité de l'hélium liquide refroidi à quelques K), dont l'origine microscopique est de nature quantique, le mouvement macroscopique du fluide se décrit par la mécanique classique. Ce serait une erreur de croire que la physique contemporaine doive être nécessairement quantique.

[ThM55]

Toutefois, les sections efficaces qu'on fait intervenir dans l'équation statistique de Boltzmann proviennent bien sûr de la mécanique quantique. Mais le passage de la physique statistique à la mécanique des fluides ne fait pas directement intervenir la mécanique quantique, pour autant que je sache.

[ThM55]

Il existe bien une équation de Navier-Stokes relativiste! (bien sûr ce n'est plus seulement de Navier-Stokes, je pense qu'il faudrait peut-être ajouter Landau).

Et concernant l'analyse dimensionnelle il existe un algorithme "yaka": si on a un terme qui n'est pas homogène aux autres, il suffit de le multiplier par une nouvelle constante dimensionnée qui corrige ça. Mais c'est très laid.