Développements limités-Incertitude relative et incertitude absolue.

[lola121]

Bonjour,
j'ai un exercice que je n'arrive pas à résoudre.Voilà le sujet:

En mécanique relativiste, l'énergie cinétique d'une particule de masse m, animée d'une vitesse v, s'écrit: Ec=E-mc² où c est la vitesse de la lumière et E=mc² /V(1-v²/c²) l'énergie totale de la particule.
Si v<<c, jusqu'à quelle vitesse peut-on calculer, avec une erreur inférieure à 3% , l'énergie cinétique de la particule à partir de son expression en mécanique classique?

J'ai essayé de chercher, j'ai trouvé:
Ec= mc² [ (1-v²/c²)^(-1/2) - 1]* mc²

En utilisant le développement limité de (1+x)^n j'ai:
(1+x)^n=1+nx (environ).
Donc Ec=[1+ 1/2*(v²/c²) - 1] = 1/2*mv²

Je sais que le développement limité, c' est une approximation. Donc j'ai comme "l'intuition" que ça a un rapport avec le fait qu'on nous parle "d'erreur de 3%" dans le sujet, surtout que en cours on vient de voir les incertitudes relatives et les incertitudes absolues.(que je n'ai pas très bien compris d'ailleurs...). Donc du coup, je suis bloquée à partir d'ici.

Merci beaucoup!
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[pephy]

bonjour,
l'erreur absolue commise est Ec(relativiste)-mv²/2
et l'erreur relative [Ec-mv²/2]/Ec

[Bénarès]

Je complète la réponse précédente :
Ce que l'on attend est un développement à l'ordre suivant en v^2/c^2 de Ec, pour voir l'erreur que l'on fait en identifiant Ec(relativiste) à Ec(classique). L'idée est donc d'exprimer (Ec(rel)-Ec(class))/Ec(class) en fonction de v^2/c^2. Si je ne me suis pas planté (ce qui est possible) , le calcul donne 3/4*v^2/c^2. Ceci doit être égal à 3 %, d'où v=6*10^7 m.s-1, ce qui montre que les corrections relativistes sont inutiles pour des trains...

[lola121]

Je complète la réponse précédente :
Ce que l'on attend est un développement à l'ordre suivant en v^2/c^2 de Ec, pour voir l'erreur que l'on fait en identifiant Ec(relativiste) à Ec(classique). L'idée est donc d'exprimer (Ec(rel)-Ec(class))/Ec(class) en fonction de v^2/c^2. Si je ne me suis pas planté (ce qui est possible) , le calcul donne 3/4*v^2/c^2. Ceci doit être égal à 3 %, d'où v=6*10^7 m.s-1, ce qui montre que les corrections relativistes sont inutiles pour des trains...

Est-ce que vous pouvez me dire comment vous arrivez à 3/4 * v²/c², j'essaye de faire le calcul mais je n'y arrive pas.
Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bénarès]

Il faut donc pousser le développement à l'ordre suivant : en posant v^2/c^2=a,
Le numérateur donne : 1-(1-a/2-a^2/8)=a/2(1+a/4)
Le dénominateur donne : 1/sqrt(1-a)=1+a/2
D'où l'erreur (Ec(rel)-Ec(cl))/Ec(cl) = 3a/4
Remarque au passage que les premières corrections relativistes sont toujours en v^2/c^2...