[Matlab] Approximation polynômiale

[ellymimi]

Bonjour à tous,

Dans le cadre de mon stage, je dois faire une approximation polynômiale d'un signal, sur Matlab.
J'ai essayé dans un premier temps de faire une approximation des moindres carrés pour le permier ordre et deuxième ordre, en utilisant polyfit.
Mais j'ai obtenu un résultat pas très satisfaisant car on ne peut pas dire si c'est linéaire ou de l'ordre 2 (voir la figure de la pièce jointe).
J'ai fait une recherche sur internet et j'ai vu qu'il y a aussi la méthode d'approximation avec la série de Taylor (il y a cette fonction sur Matlab, mais je n'ai pas réussi à le faire)
Connaissez-vous d'autres méthodes d'approximation polynômiale? Cela me serait d'une grande aide...

Merci d'avance
-----

[Arzhur]

Bonjour,


Il y a les polynomes de Lagrange. Dans la pratique je ne sais pas si c'est mieux ou moins bien que la méthode des moindres carrés.

Au fait, pourquoi te limites-tu à un polynome d'ordre 2 ?

[ellymimi]

Merci pour ta réponse.
Oui, j'ai oui qu'il existe des polynômes de Lagrange mais apparemment c'est la même chose que polyfit, c'est à dire les moindres carrés...
Je me limite pas spécialement à l'ordre 2. J'ai aussi essayé pour l'ordre 3 mais la courbe me semble pas très bien non plus...

[Arzhur]

Je me limite pas spécialement à l'ordre 2. J'ai aussi essayé pour l'ordre 3 mais la courbe me semble pas très bien non plus...

Je pensais plus à des polynômes d'ordre 10-20...Je ne sais pas si un polynôme est la meilleure approximation : on dirait que t'as "2 droites".

[A voir en vidéo sur Futura]

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Effectuer une approximation polynomiale sur la totalité de ce type de données est en général une mauvaise idée, car:

1. Des polynômes de degrés faibles (0, 1, 2 et 3) ne permettent pas d'effectuer de bonnes approximations.
2. Les polynômes de degrés plus élevés (> 3) peuvent être victimes d'oscillations sauvages (phénomène de Runge). https://fr.wikipedia.org/wiki/Ph%C3%...%A8ne_de_Runge

Une chose qui pourrait convenir serait une interpolation polynomiale par morceaux. La fonction "spline" de Matlab permet de faire cela.

[ellymimi]

Merci braucoup à tous pour tous ces bons conseils. Je pense que je vais essayer la méthode de Lagrange et celle de spline aussi.
Sauriez-vous comment on utilise la méthode de Lagrange sur Matlab?

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

Je déconseille l'utilisation de l'approximation de Lagrange pour vos données, pour les raisons citées au message #5. Une approximation spline est plus indiquée. Si vous avez la bonne toolbox (que je n'ai malheureusement pas), allez voir sur: http://www.mathworks.nl/help/curvefit/spap2.html

[deyni]

Bonjour,

je ne suis pas du tout un spécialiste, donc ce que je dis peut-être faux, mais il me semble que la spline est un interpolation, or ellymimi veut une approximation.
interpolation = polynome qui passe par tout les points
approximation = polynome qui passe au plus de chaque points en minimisant l'erreur selon un critère (moindre carré....)

Pourquoi pas les polynomes de Tchebychev?
Ce que tu fais m'interesse beaucoup, tiens-moi au courant ellymimi s'il te plait.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

En effet, les splines ont été conçus initialement pour l'interpolation (tout comme les polynômes de Lagrange). Il n'est cependant pas interdit d'effectuer de l'approximation avec; que ce soit Lagrange ou spline. Le lien que je renseigne parle bien d'approximation spline (au sens des moindres carrés).

[lou_ibmix_xi]

je ne suis pas du tout un spécialiste, donc ce que je dis peut-être faux, mais il me semble que la spline est un interpolation, or ellymimi veut une approximation.
interpolation = polynome qui passe par tout les points
approximation = polynome qui passe au plus de chaque points en minimisant l'erreur selon un critère (moindre carré....)

Je ne suis pas spécialiste non plus mais à mon avis interpolation et approximation recouvre à peu prêt la même chose:

- une interpolation c'est essayer de déterminer des points manquant entre des points que l'on connait
- une extrapolation c'est essayer de déterminer des points manquant au-delà des points que l'on connait

Quand on interpole, on utilise un fonction (par exemple de type polynomiale) dont le résultat, en général, approxime les mesures que l'on connait déjà. Le choix d'une fonction d'interpolation par rapport à une autre se faisant sur un critère de "distance minimale" entre les points connus et les points interpolés (souvent moindres-carrés).

Dans le cas particulier d'une interpolation polynomiale, il est quasi certain de retomber sur une approximation pour les points connus car le polynome qui passe par n points est en général de degrès n (il y a peut-être un +1 ou -1).

Dernière remarque, une recette de cuisine pour évaluer l'ordre minimal du polynome interpolateur est de compter les points d'inflexions: une inflexion "symétrique" +2, une infléxion "assymétrique" +3.

[ellymimi]

Salut à tous,

D'abord excusez-moi de mon manque de réactivité...je me documentais sur les liens que vous m'aviez passés et essayais aussi de comprendre...
Paraboloide_Hyperbolique : j'ai regardé la fiche sur la commande snap2 mais au niveau des données, je n'ai pas compris comment faire .spap2(knots,k,x,y) returnsthe B-form of the spline f of order k withthe given knot sequence knots for which y(:,j) = f(x(j)), all j Je ne sais pas qu'est-ce qu'il faut donner à knots...

deyni : Je veux bien essayer le polynôme de Tchebychev, mais pareil je sais pas comment procéder...Vu que la formule principale est Tn+2= 2*x*Tn+1 - Tn, je dois peut-etre faire comme si c'était une récurrence...J'aurais peut-etre ecrit T0=1 et T(1,1)=X dans un premier temps, pour initialiser la boucle...

lou_ibmix_xi : merci pour ces précisions En effet, je pense que les points qui passent par ces n points sont de degré n-1

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir.

Je ne suis pas spécialiste non plus mais à mon avis interpolation et approximation recouvre à peu prêt la même chose

C'est proche mais pas identique. La différence principale réside dans le fait qu'une interpolation passe obligatoirement par tous les points de données, alors qu'une approximation ne fait que s'en approcher (elle peut y passer, mais ce n'est pas obligatoire).

[Paraboloide_Hyperbolique]

Paraboloide_Hyperbolique : j'ai regardé la fiche sur la commande snap2 mais au niveau des données, je n'ai pas compris comment faire .spap2(knots,k,x,y) returnsthe B-form of the spline f of order k withthe given knot sequence knots for which y(:,j) = f(x(j)), all j Je ne sais pas qu'est-ce qu'il faut donner à knots...

Le noeuds ("knots" en anglais) sont des scalaires dans un espace paramétrique sur R (la spline est vue comme une courbe paramétrique). Dans votre cas une liste de noeuds équidistants et strictement croissants allant de 0 à 1 devrait convenir. Le nombre de noeuds est donné par la formule: nombre de points de données = nombre de noeuds - degré de l'approximation voulue.

Sinon, la documentation dans le lien que j'ai fournis propose également d'autres méthode plus "raffinées" pour déterminer un ensemble "satisfaisant" de noeuds.

[deyni]

Bonjour,

à mon avis (et je me trompe souvent ),je déconseille l'interpolation, car il risque de prendre en compte du bruit, l'approximation lui non.
Au fait tchebychev est un mauvais avis, car l'intervalle doit être compris entre -1 et 1. Peut-être les polynômes de Hilert ou Legendre