meilleure approximation polynomiale

[invite5ebf3be6]

Bonjour à tous,

C'est en reprennant mes cours de L1 que me sont venues ces questions :
La partie polynomiale des DLs est considérée comme meilleure approximation polynomiale de la fonction, mais dans quel cadre ?
Quelle est la demonstration ?
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[inviteaf1870ed]

Regarde ici : http://www.ann.jussieu.fr/~campos/macs1/cours-macs1.pdf

[leon1789]

La partie polynomiale des DLs est considérée comme meilleure approximation polynomiale de la fonction, mais dans quel cadre ?

Question très très judicieuse !

Il y a différentes manières de mesurer les différences : norme infinie, norme L^2, etc. Où mesure-t-on cette différence : localement près d'un point, ou sur un intervalle ? Avec quelle fonction joue-t-on : une fonction particulière précisée, ou bien des fonctions "générales" ?

Dire que telle méthode est la meilleure est à prendre avec des pincettes et il faut absolument préciser la situation et ce que l'on veut minimiser...

[invite5ebf3be6]

Ce document est un poil trop avancé pour moi encore.

Si j'ai bien compris un développement limité est constitué
1) d'une approximation polynomiale (qui n'est pas forcement la meilleure)
2) d'un reste

Quel est donc le cadre dans lequel la formule de taylor donne une meilleure approximation polynomiale ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[leon1789]

Ce document est un poil trop avancé pour moi encore.

Si j'ai bien compris un développement limité est constitué
1) d'une approximation polynomiale (qui n'est pas forcement la meilleure)
2) d'un reste

La formule de taylor elle donne t'elle une meilleure approximation polynomiale ? dans quel cadre ?

Le problème est l'adjectif "meilleure" ? avec quoi mesures-tu la qualité d'une approximation ? avec quelle norme par exemple ?

[invite5ebf3be6]

Je ne saurais te répondre autre chose que :
je viens de finir ma premiere année de licence, je n'ai pas abordé en profondeur la notion de norme.
(pour que tu situe à peux prés mes connaissances)

[leon1789]

Ok, tu as raison de préciser le niveau.
Pour dire si un DL est bon ou pas, voire la "meilleure" approximation polynomiale, dis nous à quoi cette approximation par DL va te servir. Après on pourra peut-être te répondre plus précisément.

[invite5ebf3be6]

en soit mon cours sur les DLs me sert principalement a lever des indeterminations sur les limites.

Je pose ces questions dans un soucis de bien cerner ce que je dois savoir et ce qui est en core un peu trop avancé pour moi.

[KerLannais]

Salut,

Il ne faut pas oublier que les polynôme de Taylor sont une approximation locale. Le polynôme de Taylor de degré d'une fonction en un point est la meilleure approximation polynomiale uniforme locale au sens où, pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à , il existe un intervalle (ou plus généralement un voisinage de ) tel que pour tout on ait:

En fait, si en prenant éventuellement plus petit on peut avoir l'inégalité stricte. De façon plus pédante (quand on connaît les normes et un peu de topologie) on dirait:
au voisinage de
On peut montrer qu'un polynôme qui vérifie une telle propriété est unique et c'est la façon la plus naturelle (ou en tout cas la plus jolie) de définir les polynômes de Taylor car on ne balance pas une formule qui sort un peu de nulle part (même si elle se justifie pas trop mal intuitivement).

Pour la preuve, je te suggère de la faire en exercice maintenant que je t'ai donné la définition de "meilleure approximation" parce que c'est plutôt facile à démontrer.

[leon1789]

Il ne faut pas oublier que les polynôme de Taylor sont une approximation locale.

exact !

Le polynôme de Taylor de degré d'une fonction en un point est la meilleure approximation polynomiale uniforme locale au sens où, pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à , il existe un intervalle (ou plus généralement un voisinage de ) tel que pour tout on ait:

En fait, si en prenant éventuellement plus petit on peut avoir l'inégalité stricte. De façon plus pédante (quand on connaît les normes et un peu de topologie) on dirait:
au voisinage de

oui, là tu fixes un polynôme P (venant du DL) et un autre polynôme Q (de degré inférieur ou égal à celui de P), puis tu choisis l'intervalle comme il faut : c'est une appromixation "locale".


Dans le cas contraire, si on fixe d'aborde l'intervalle I, aussi petit soit-il, on peut mettre facilement en défaut le résultat : il peut exister un polynôme Q de même degré que P, meilleur au sens de la norme infinie : sur I.
Et pourtant l'intervalle I peut aussi petit que l'on veut !

C'est pour cela que, personnellement, dire qu'<<un DL fournit la meilleure approximation locale au sens de la norme infinie>> me parait une phrase piègeante. Il faut bien saisir ce qu'elle signifie, comme l'a expliqué KerLannais.