Equivalence polynomiale

[invite28064c19]

J'ai la question suivante à résoudre :
J'ai défini le polynôme Sn par S(0) = 1 et pour tout n€N*,
S(n) = X(X-1)...(X-n+1)/n! .
Je n'ai pas eu de mal à montrer que l'image d'un entier relatif par Sn est entière, mais je n'ai pas réussi à montrer l'implication suivante : un polynôme de Rn[X] est tel que l'image d'un entier relatif par ce polynôme est entière si et seulement si P est un combinaison linéaire à coefficients dans Z des S(i) pour i entre 0 et n.
Je sais faire l'implication réciproque (elle est triviale) mais c'est sur l'implication directe que je plante... Pouvez-vous m'aider ?
Dergaan
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[invite2c3ff3cc]

mplication directe que je plante.

Les S(k), k <= n, forment une base de R_n[X] (bicoze degré tout ça).

Donc on peut écrire P(x) = \sum a_k S_k(x)

Maintenant je suis sûr qu'en prenant des valeurs stucieuses de x on peut montrer que les a_k sont entiers

[invite28064c19]

Autrement dire je peux montrer que les S(k), 0<=k<=n, forment une base de Rn[X] : la famille des S(k) est libre (les degrés sont en progression donc c'est facile) et génératrice : je prends un P€Rn[X] donc P = sum a(k)X^k.
Ensuite, récurrence sur n () : soit un P€Rn+1[X], alors P = sum(0<=k<=n+1) a(k)X^k, et j'exprime ça avec des S(k) (mais comment ).
Après je pense que je peux exprimer un polynôme qui laisse stable Z dans cette base et je montre que les coefficients de la combinaison linéaire sont entiers (par l'absurde, si un coef n'est pas entier je trouve une image non entière etc).

[invite57a1e779]

Autrement dire je peux montrer que les S(k), 0<=k<=n, forment une base de Rn[X] : la famille des S(k) est libre (les degrés sont en progression donc c'est facile) et génératrice : je prends un P€Rn[X] donc P = sum a(k)X^k.
Ensuite, récurrence sur n () : soit un P€Rn+1[X], alors P = sum(0<=k<=n+1) a(k)X^k, et j'exprime ça avec des S(k) (mais comment ).
Après je pense que je peux exprimer un polynôme qui laisse stable Z dans cette base et je montre que les coefficients de la combinaison linéaire sont entiers (par l'absurde, si un coef n'est pas entier je trouve une image non entière etc).

Je pense que tu as mal digéré l'indication de ThSQ.

Dès que la famille est libre, c'est une base de par raison de cardinalité. Donc elle est génératrice, et tout polynôme élément de s'écrit sous la forme de .
En évaluant cette égalité en points bien choisis, de façon à ce que les valeurs des soient connues, tu obtiens un système de équations qui permettent le calcul des et de montrer qu'ils sont entiers. En choisissant bien les points pour les évaluations, le système sera triangulaire, et sa résolution immédiate.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite28064c19]

Donc j'évalue en 0, 1, ..., n-1, là où un S(k) s'annule, puis je fais le système triangulaire et je montre facilement que tous les coefs sont dans Z...

ça va maintenant j'ai compris merci à vous