Interpolation polynomiale

[invitea7dc4381]

Bonjour, j'ai un petit soucis avec l'interpolation polynomiale. Voici l'exercice,

Soit une fonction f continue donnée sur l'intervalle I = [ -1 , 1]. On considère le polynome d'interpolation de lagrange p₂ où P₂ est l'ensemble des polynomes d'une variable réelle, de coefficient réels et de degré inférieur ou égal à 2, de la fonction f relativement aux pts -1, 0 et 1.
1°) Calculer les polynomes de base l_i(x), pour i = 1....3, de lagrange associés aux points -1, 0 et 1.
2°) En déduire le polynome p₂.
3°) Exprimer l'intégrale donnée par la relation (1) en fonction de f(-1), f(0) et f(1).

(1)

4°) Vérifier que la formule ainsi obtenue coincide avec la formule de quadrature de SIMPSON.
J'ai calculer l₁(x) = x (x-1) , l₂(x) = - (x²- 1) et l₃(X) = 0
Puis p₂(x) = f(-1) l₁(x) + f(0)l₂(x)
je n'arrive pas à faire la question 3 et 4. Je ne comprends pas ce que attend que je fasse.
Merci.
-----

[invite78df7f0b]

Salut,
déjà on a l1(x)=x(x-1)/2 pour avoir l1(-1)=1, et on n'a pas l3(x)=0 mais l3(x)=x(x+1)/2
Ensuite: p2(x)=f(-1)*l1(x)+f(0)*l2(x)+f(1)*p3(x) .
Ensuite tu calcules l'intégrale de -1 à 1 de p2, tu vois bien que ça va s'exprimer en fonction de f(-1), f(0), et f(1) non?

[invitea7dc4381]

oui mais le résultat du calcul de l'intégrale ne donne pas de terme en f(0).

[invite78df7f0b]

Si, le terme en f(0) vaut: intégrale de -1 à 1 de (1-x^2), ce qui vaut 2. Mais même si tu n'avais pas de terme en f(0), ça n'est pas un problème...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea7dc4381]

pour la formule de quadrature de simpson il me faut ts les termes (enfin je pense!) je suis sensée trouver l'intégrale en fonction de f(-1) f(0) et f(1). Je ne crois pas qu'il faut remplacer x par sa valeur. (je me trompe?)

[invite78df7f0b]

pour la formule de quadrature de simpson il me faut ts les termes (enfin je pense!) je suis sensée trouver l'intégrale en fonction de f(-1) f(0) et f(1). Je ne crois pas qu'il faut remplacer x par sa valeur. (je me trompe?)

Hé bien là tu as ton intégrale en fonction de f(-1), de f(0), et de f(1) c'est ce que tu veux non? Je ne connais pas la formule de Simpson par contre...
Je ne vois pas ce que tu veux dire par "remplacer x par sa valeur".

[invitea7dc4381]

Merci Gary pour ton aide, j'ai fait des erreurs dans le calcul de l'intégral, mais là ça va mieux tu as raison.