Problème d'optimisation

[invite484ef890]

Bonjour voici mon problème. A la base il s'agit de physique mais la résolution est mathématique. Voici la formule d'un condensateur cylindrinque de 4 * 10^(-5) Farads :

2 * PI * 8.85 * 10^(-12) * 6 * Longueur
------------------------------------------------------ = 4 * 10^(-5)
ln(b/a)

a = rayon du cylindre interne;
b = celui du cylindre externe;
Longueur = longueur de chaque cylindre;

Si je pose b = a + 0.0001

2 * PI * 8.85 * 10^(-12) * 6 * Longueur
------------------------------------------------------- = 4 * 10^(-5)
ln((a + 0.0001)/a)

alors nous sommes devant une équation à deux variables. Je désirerai avoir les grandeurs de a et Longueur les plus petites possibles pour que l"égalité soit respectée. Comment faire?
Si c'est impossible je pensais diviser par 100 la capacité :

2 * PI * 8.85 * 10^(-12) * 6 * Longueur
------------------------------------------------------- = 4 * 10^(-7)
ln((a + 0.0001)/a)

et dans ce cas est ce possible?
Merci
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[invite78df7f0b]

Salut,
déterminer les plus petites grandeurs possibles n'a pas vraiment de sens ici. Tu peux par exemple exprimer la longueur en fonction de a, chercher le minimum de la longueur, mais laors a sera fixé, a et la longueur ne varient pas indépendamment.

[invite484ef890]

Salut,
déterminer les plus petites grandeurs possibles n'a pas vraiment de sens ici. Tu peux par exemple exprimer la longueur en fonction de a, chercher le minimum de la longueur, mais laors a sera fixé, a et la longueur ne varient pas indépendamment.

Ben en fait oui et non. Dans les faits a et longueur peuvent varier indépendemment. En fait si on fixe un intervalle de grandeurs pour a et longueur je souhaiterais savoir quel couple (a, longueur) avec les plus petites valeurs possibles satisfont l'égalité... Ce n'est pas possible???

[invite78df7f0b]

Ce que tu cherches c'est un couple (a,longueur) satisfaisant l'égalité et tel que pour tout autre couple (a',longueur') satisfaisant l'égalité, on ait, a'>=a et longueur'>=longueur. Il se peut qu'un tel couple existe, mais rien ne te le garantit. Ici l'ensemble des couples solutions (a,longueur) est une courbe du plan, et tu peux écrire l'équation de cette courbe: longueur=f(a). Tu veux un couple (a, longueur) minimal, donc tu veux en aprticulier que longueur soir minimale, ça tu peux le calculer en dérivant f. Mais alors tu auras un (ou plusieurs) a pour lesquels longueur est minimale, et si ce a n'est pas le minimum du domaine où est définie f, hé bien il n'y a pas de couple minimal.

[A voir en vidéo sur Futura]