Un problème d'optimisation

[invitede6f3928]

Bonjour,

voila déjà je vous ai scanné mon petit sujet car après avoir recopié les question ou je n'arrivais pas je me suis dit que ce serait plus simple en plus il y a un dessin pour expliquer.

Donc déjà pour le première question avec le théorème de Pythagore ça se démontre bien. Ensuite pour la 2eme j'ai trouvé la dérivée suivante : 2f . f' ,j'ai donc dis que par rapport à f' il n'y a que le 2f qui change et comme c'est une fonction positive 2f est positif donc f² et f ont les mêmes variations. Je ne sais pas si c'est assez comme démonstration ?

Pour la question 2c) j'ai juste dis que toute fonction élevées au carré est positive et que forcement le minimum d'une fonction positive est le point le plus proche de l'origine, est ce assez comme explication ?

Et enfin pour l'instant, pour la question 2d) je trouve que g'(a) = [2 (a² + ln(a))] / a , on retrouve bien le a² + ln(a) mais est ce que qu'on peut dire qu'elles ont les mêmes variations avec le a au dénominateur ?

Merci d'avance
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[invitede6f3928]

Normalement jusqu'a la 2e) c'est bon, c'est surtout pour la 2e) que j'ai besoin de votre aide car quand je cherche le signe je fais h(a) = 0 ssi ..., h(a) > 0 ssi ... et h(a) < 0 ssi ... vu qu'on a une somme mais quand je fais ça j'arrive à des résultats bizarre comme a = E-a² ,je n'ai pas de valeurs exactes .Je vous demande donc votre aide.
Merci d'avance

[Bruno]

Salut!

Tu dois étudier le signe de la fonction h(a), c'est à dire faire un tableau de signe, ce qui implique de trouver les racines de h(a).

[invitede6f3928]

Ha mais oui que je suis bête donc je peux dire que h(a) c'est une polynome.
J'essaye ça et je vous dis.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitede6f3928]

Lorsque j'interprete h(a) comme un polynome du second degré de la forme aa² + ba + c (comme on admet que x = a) je met a = 1 mais après pour b et c ln(a) est une fonction et je ne peux pas dire que b = ln ,comment dois je faire ?

Merci d'avance

[Bruno]

Re,

Tu dois résoudre ceci n'est-ce pas ?

racines de h(a) : a² + ln a =?= 0
on a donc : ln a = -a²

Il faut donc transformer le -a² en logarithme népérien et puis résoudre.

Exemple :

ln x = 0
donc :
ln x = ln (1)
par conséquent:
x = 1

Cordialement,

[invitede6f3928]

Merci déjà de ta réponse, ensuite je n'arrive pas à transformer -a² en ln mais j'ai essayer en écrivant ensuite (rc = racine carré) rc[ln(a)] = -a et en écrivant ln(a)[EXP]1/2[EXP] = -a mais après je sens que je tourne en rond est ce que tu pourrais m'aider en me donnant quelque indications ?
Merci d'avance

[Bruno]

Re,

je vais te donner un exemple si tu comprends la manip tu trouveras pour -a²

Soit x. On cherche à exprimer x en fonction d'un ln....

On a donc: ln ? = x (ln de quoi vaut x ?). Autrement dit, Quel exposant faut-il mettre à e pour obtenir "?" (lecture de la partie droite). Ben c'est x..

donc : x = ln e^x

Voilà

EDIT: rappel --> ln x = y <=> e^y = x

[invitede6f3928]

Ok d'accord merci encore de ta réponse donc si j'ai bien compris -a² = ln[exp(-a²), c'est logique dibc ln(a) = ln[exp(-a²) donc a = exp(-a²) mais à partir de là comment je peux simplifier pour abtenir un a = une valeur ?
Merci d'avance

[Bruno]

Justement on tombe toujours dans ce piége: a représente justement une variable qu'il faut déterminer selon la chose à optimiser.

Donc ici, tu as trouvé la valeur qui annule h(a) : c'est e^-a². Et pas besoin de valeur pour l'instant. tu peux aisémment tracer ton tableau de signes.

[Bruno]

Par contre il y a quelque chose dans ton travail qui est faux: étudier les variations de f² ne revient pas à étudier les variations de f !

[invitede6f3928]

Ok ok merci encore je comprends un peu mieux donc pour la question 2f) comme on a montré que g'(a) est du même signe que h(a) alors g(a) est décroissante sur ]-oo ; e[EXP]-a²[EXP][ et elle est décroissante sur ]e[EXP]-a²[EXP] ; +oo [ . Si cela est bon donc le minimum de la fonction g(a) c'est e[EXP]-a²[EXP], c'est donc le point M de (C) et pour la question 2h) je fais ça par balayage dans la calculatrice en tapant g(a) et en regardant le minimum. Est ce que tout cela est bon ?

Merci d'avance

[Bruno]

donc pour la question 2f) comme on a montré que g'(a) est du même signe que h(a)

Euh g(a) = h(a) non ? Je vois pas pourquoi tu a mit autant de fonctions..

Bon je récapitule : on cherche à minimiser OM donc f(x) tel que :
f(x) = racinede(a²-ln²(a))

Attention a strictement positif ! donc ton -oo pas bon !

On donc donc étudier la fonction f(x) en la dérivant, càd étudier le signe de f'(x). Donc tableau de signe. Tu va remarquer qu'il y a un minima en une valeur de a qui correspondera à la plus petite norme de OM.

je fais ça par balayage dans la calculatrice en tapant g(a) et en regardant le minimum. Est ce que tout cela est bon ?

Surtout pas c'est plus des maths ça, le but est justement de trouver la valeur de a par calcul !

[Bruno]

f(x) = racinede(a²-ln²(a))

C'est + pas -, désolé..

[invitede6f3928]

Re,
sur la feuille je lis h(a) = a² + ln(a) et g(a) = a² + ln²(a).
Sinon on a determiné le minimum de g(a) qui est exp(-a²) car c'est à ce point que la variation change, on est d'accord ?
Si oui donc si je comprends bien on a OM² = a² + ln²(a) = g(a) donc OM = rcde[a² + ln²(a)] = rcde g(a) donc le minimum de OM c'est la racine carré du minimum de g(a) donc le minimum de OM c'est rcde[exp(-a²)] ?
Si c'est bon on doit donc en determiner un encadrement de 10[EXP]-2[EXP] de son abcisse mais à part par balayage je n'ai pas vu d'autre technique d'encadrement.

Merci d'avance

[Bruno]

Euh oui ç a l'air bon...

mais je comprends d'où vient ce h(a)

[invitede6f3928]

Ok bah merci déjà et oui c'est bizarre pour le h(a) enfin bon ... sinon est ce que tu pourrais m'indiquer des techniques pour faire un encadrement si ça ne te dérange pas bien sur ou alors un site qui explique ça parce que à part à la calculatrice je n'en ai jamais fais autrement.
Merci d'avance

[Bruno]

Pour faire un encadrement ? gné ? Comprends pas..

[invitede6f3928]

C'est pour la question 2h) on demande de determiner un encadrement d'amplitude 10^-2 de l'abcisse de rc[exp(-a²)] ,je voulais te demander donc comment tu faisais sans la calculatrice ?
Merci d'avance

[invite9c9b9968]

Bonjour,

Je prends le train en route désolé. Une manière de procéder est la dichotomie. Une autre est la technique des pentes de Newton.

[invitede6f3928]

Ok merci de ta réponse je crois que je vais utiliser quand même la méthode de dichotomie et me vérifier avec la méthode de balayage sinon je voulais vous demander pour la dernière question. Est ce que c'est bon si je mets qu'a l'intersection des deux coubes des fonctions ln(x) et -x², on a ln(x) = -x² donc ln(x) + x² = 0 et là on retrouve l'expression de h(a) donc on peut conclure.
Est ce que j'ai le droit d'écrire ça ?

Merci d'avance

[invitebb921944]

Oui tu as le droit.

[invitede6f3928]

Ok déjà merci de ta réponse ensuite quand j'écris ça je dis qu'on retrouve bien l'équation de h(a) donc le point où h(a) = 0 c'est e^-a² donc e^-x² pour notre question mais nous notre point M on l'vait determiné comme étant rc(e^-a²), ce que je n'arrive pas à faire c'est terminer la démonstration vu qu'on a une racine ?

Merci d'avance

[invitebb921944]

Je ne comprends pas vraiment la question. Si tu pouvais me faire un résumé rapide ça m'aiderait à y voir plus clair !

[invitebb921944]

On ne définit pas un point par un nombre mais par des coordonnées.
Et de plus je ne vois pas où on a dit que M valait rc(exp(-a²))

[invitede6f3928]

Ok donc on a déjà determiné le signe de h(a) qui est le même que g'(a) donc on a pu determiner les variations de g(a) ensuite comme OM² = a² + ln²(a) = g(a) et qu'on a trouvé le minimum de g(a) qui est e^-a² alors le minimum de OM c'est la racine carré du minimum de g(a) vu que OM² = g(a) donc le minimum de OM est rc(e^-a²). On a ensuite determiner un encadrement de son abcisse en regardant le minimum de la fonction rc(a² + ln²(a)), je trouve un encadrement de son abcisse entre 0.61 et 0.71 . Donc maintenant pour la question 2j) on nous demande de montrer que M est le point d'interssection de la courbe de ln(x) et celle de -x².
J'ai dit que au point d'intersection des deux courbes on peut écrire ln(x) = -x² donc ln(x) + x² = 0 et on retrouve l'expression de h(a) et on a trouve que h(a) = 0 ssi a = e^-a², mais après c'est là que je coince je ne sais pas comment terminer vu qu'on a trouvé un point M = rc(e^-a² ,c'est là que je vous demande encore un peu d'aide et je voulais vous demander aussi si il faut utiliser l'encadrement qu'on a determiné avant ?

Merci d'avance

[invitebb921944]

Ok ok merci encore je comprends un peu mieux donc pour la question 2f) comme on a montré que g'(a) est du même signe que h(a) alors g(a) est décroissante sur ]-oo ; e[exp]-a²[exp][ et elle est décroissante sur ]e[exp]-a²[exp] ; +oo [ . Si cela est bon donc le minimum de la fonction g(a) c'est e[exp]-a²[exp], c'est donc le point M de (C) et pour la question 2h) je fais ça par balayage dans la calculatrice en tapant g(a) et en regardant le minimum. Est ce que tout cela est bon ?

En fait le problème se situe dès cette question.
Si g(a) est croissante sur ]-oo,exp(-a²)] et décroissante sur [exp(-a²),+oo[, alors le minimum n'est pas exp(-a²) mais est atteint en x=exp(-a²)
Tu comprends la nuance ?
Le minimum, c'est l'ordonnée de ta fonction, pas l'abscisse.

[invitede6f3928]

Je sais pas si tu t'es trompé mais c'est décroissante sur ]-oo,exp(-a²)] et croissante sur [exp(-a²) , +oo[ ,est ce que ça change ta réponse ?
Merci d'avance

[invitebb921944]

Ca change pas ma réponse.
Cela dit, les intervalles que tu me donnes tu es sur que c'est des valeurs de x ou bien tu as confondu avec y ?
Parce que la fonction ln n'est pas défini pour x négatif donc ton intervalle de définition me parait un peu étrange.

[invitede6f3928]

Euh oui non en fait au lieu de -oo c'est 0 en valeur interdite. Sinon j'ai regardé ce que tu m'a dit mais alors pour la question 2g) on nous demande donc l'ordonnées de a = e^-a² mais comment fait on cela vu qu'on a pas de valeur et en plus à la question suivante on nous demande un encadrement justement de l'abcisse, est ce que tu vois ce que je veux dire ?
Merci d'avace