Meilleure approximation

[invite576b9b48]

Bonjour:
On sait que si on a un espace de Hilbert E et un sous espace M complet de E, alors pour tout x dans E il existe une unique approximation dans M de x. cette approximation est donnée par ou est la projection orthogonale de x sur M.
Si on se donne un autre sous espace M' complet de E, alors pour tout x dans E il existe une unique approximation dans M' de x. cette approximation est donnée par ou est la projection orthogonale de x sur M'.
Ma question est: Le quel des éléments ou approxime mieux mon x donné?
A titre d'exemple: on peut considérer où
est l'nsemble des fonctions de période 2.
ou N est un entier fixé.
[TEX]M'=\{P_{k},k=0,1,....N\}[TEX] où est le kieme polynome de Legendre normalisé
M et M' sont tout deux des espaces complets.
Si on se donne une fonction de E c'est a dire une fonction 2-périodique et de carré intégrable et on la projete sur M et sur M'.
La question quelle est parmi ces deux projections celle qui approxime mieux ma fonction f, l'approximation est au sens de la norme 2 ( celle des fonctions de carré intégrable).
Merci bien davantage pour l'aide
Amicalement
moumni
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[GuYem]

Salut.

Ta question est pertinente en effet puisque tu mélanges deux espaces de Hilbert qui sont L^2[-1,1] et P[-1,1]. Cela dit le mélange ne me parait pas probant puisque les fonctions de L^2[-1,1] ne sont défines que sur ... [-1,1] ! Alors que les fonctions de P sont définies sur R. Donc en prenant l'intersection tu tues toute la périodicité que tu imposes sur les fonctions de P.

Ensuite pour répondre à la question, j'avoue être troublé. Quel est le produit scalaire que tu mets sur E ?

[invite576b9b48]

En ce qui concerne le premier problème que tu as évoqué: tuer la periodicité de f, ce n'est pas grave, il suffit de prendre la restriction de la fonction 2-periodique sur [-1,1].
En ce qui concerne ta deuxième question portant sur la norme: c'est celle de provenant du produit scalaire usuel de ce denier.
Juste une remarque: Si on considère cette norme on se permet de regarder l'expression de la fonction 2-périodique sur [-1,1] seulement.
S'il y a d'autres remarques je suis preneur
Merci davantage pour l'aide.

[GuYem]

Si tu mets le produit scalaire usuel sur L^2, ie <f,g> = int fg dx, alors il me semble que la première approximation est la meilleure.

En effet la famille des exp(int) est orthonormale pour ce produit scalaire, et pas celle des polynomes de Legendre puisque ce sont, il me semble, des polynomes orthogonaux pour une certaine fonction poids que j'ai oubliée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[GrisBleu]

Salut

Je pense que pour M c'est des e^{i \pi n t} plutot que des e^{i n t} histoire d'avoir une 2- periodicite.
Sinon, le meiux c'est de faire le calcul :
- tu calcules le projete Pf puis ||f||^2 - ||Pf||^2
- tu compares
Dans le cas general ca me semble dur apres ca depend de la fonction. De tout facon, il me semble ne pas y avoir de reponse generale: si je prends e^{it} sur [-1,1] sont projete sur M est exact (a mon avis pas sur N) et inversement pour p(1) sur N.

As tu des indications sur f ?

++

[invite6b1e2c2e]

Salut,

En gros, quand tu projettes sur deux espaces différents M et M' de même dimension, tu ne vas pas pouvoir comparer. (Tout d'abord, pour que les projections soient bien définis, je suppose que M et M' doivent être fermés).
En effet, il suffit de prendre un élément orthogonal à M (resp à M') pour obtenir que la norme de Id - P est exactement 1.
Cela dit, tu peux "comparer" deux projecteurs si tu peux comparer M et M' dans la mesure où, si M est inclus dans M', alors P' donnera une meilleure approximation sur le supplémentaire orthogonal de M dans M', et sera inchangé sur le reste.
Tout ça pour dire que quand tu projettes, ce qui est intéressant, c'est les propriétés d'une base de ton espace de projection, et le reste importe peu.

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rvz, qui espère avoir été clair, même si je me sens bien un peu abscon

[invite576b9b48]

Merci bien pour vos réponse, et voila mes remarques concernant chaque réponse
A GuYem:
Les polynomes de Legendre normalisés sont aussi une base orthonormale de tout comme la premire famille .
A wlad_von_tokyo:
La seule information que je connait sur ma fonction f est qu'elle est 2-périodique et qu'elle est dans . Je vois, comme tu l'as déja signalé, que c'est difficile de donner une réponse en toute généralité. et c'est la raison pour laquelle j'ai posté mon méssage en espérat trouver des indications ou des remarques.
A rvz:
Tu as dit que M et M' doivent etre fermé pour pouvoir comparer les deux projetés de f sur M et M'. En effet M et M' sont bien fermés puisque se sont des sous espace vectoriels de dimension fini. Je me trompe pas non????
Tu as dit aussi que je peux comparer les deux projecteurs si je peux comparer M et M' (au sens de l'inclusion, si je t'ai bien compris). Mais a premier vue, ni M est inclus dans M' ni M' est inclus dans M.
Merci encore une autre fois pour vos réponses et pour vos nouvelles remarques
Amicalement
Moumni

[invite6b1e2c2e]

A rvz:
Tu as dit que M et M' doivent etre fermé pour pouvoir comparer les deux projetés de f sur M et M'. En effet M et M' sont bien fermés puisque se sont des sous espace vectoriels de dimension fini. Je me trompe pas non????
Tu as dit aussi que je peux comparer les deux projecteurs si je peux comparer M et M' (au sens de l'inclusion, si je t'ai bien compris). Mais a premier vue, ni M est inclus dans M' ni M' est inclus dans M.

Bon, je ne réponds qu'à ce qui me concerne. Je laisse aux autres le soin de s'expliquer
Effectivement, dans ton cas, quand tu considères M et M' de dimension fini, ils sont évidemment fermés ! Mais tu pourrais vouloir te demander ce qui se passe quand M et M' sont de dimension infinie, et c'est pourquoi j'ai rajouté cette information. En effet, si tu veux pouvoir projeter sur un sous espace, il doit nécessairement être fermé afin d'assurer la continuité de l'opérateur P...
Pour répondre à la deuxième partie : Oui, ici M et M' ne semblent pas inclus l'un dans l'autre. Et donc, comme je te disais il est impossible de dire qu'une approximation est meilleure que l'autre. En effet, si tu prends f dans M et dans M' orthogonal, alors tu vois facilement que l'un des projecteurs est exactement f et l'autre est 0. Idem si tu échanges M et M'.
Par contre, si M est inclus dans M', pour tout f, la projection sur M' (le plus gros) est plus précise que sur M (le plus petit).
Evidemment, intuitivement, c'est le plus gros sous espace qui approche le mieux tes éléments, mais tu ne peux pas dire grand chose de plus, sauf si tu as des structures particulières sur les éléments que tu veux approcher (genre polynôme, fonction analytique,...)

__
rvz, qui a l'impression d'avoir été plus claire cette fois ci...

[invite576b9b48]

Merci encore une autre fois rvz, on est presque sur la meme longeur d'onde ( on est bien d'accord maintenant sur ce que tu viens de dire).
Si j'ajoute l'hypothèse suivante: La fonction f que je veux approximer est analytique. Quel est l'espace qui me convient le mieux à t'on avis M ou M'?
Et juste une autre question si tu me le permet: Je viens de lire dans un article que les séries de fourier sont les série les plus optimales pour les fonctions periodiques. c'est a dire une fonction perodique est mieux approximée par sa série de Fourier que les autres séries. Ou est ce que je peux trouver la preuve de cette affirmation? ou si quelqu'un a une idée sur la peuve de cette affirmation .
Merci bien davantage pour l'aide
Amicalement
Moumni

[invite6b1e2c2e]

Une fonction f analytique est développable en série entière, donc je pense que le plus raisonnable est de prendre une approximation par des polynômes. Intuitivement, quand tu vas projetter sur l'espace des n premiers polynômes, tu vas trouver le reste de la série, ce qui devrait être petit.
Maintenant, pour ta deuxième affirmation, je ne sais pas si c'est très vrai. En tout cas, il est vrai que si tu regardes des fonctions périodiques régulières, tu as naturellement envie de considérer des fonctions trigonométriques. Cela dit, juste une remarque pour la route : La série de Féjer est une meilleure approximation au sens de la norme infinie...

__
rvz

[invite576b9b48]

Ok, je suis bien d'accord avec toi, si ma fonction est analytique, elle est parsuite développable en série entière et on peut par conséquent l'approcher par un polynome.
Que dire maintenant si ma fonction f est analytique sur
[-1,1], et je considère son extension 2-periodique ( c'est à dire la fonction g qui coincide avec f sur
[-1,1] et 2-periodique). cette fonction g est développable en série de Fourier et elle est analytique sur
[-1,1] donc je peux aussi l'approcher par une série de polynomes de Legendre.
A ton avis laquelle des série approche mieux ma fonction g sur [-1,1] (au sens de la norme 2: celle provanant du produit scalaire usuel de ?
En ce qui concerne l'affirmation que j'ai signalé dans message précédent qui dit :
"les séries de fourier sont les série les plus optimales pour les fonctions periodiques. c'est a dire une fonction perodique est mieux approximée par sa série de Fourier que les autres séries"
se trouve dans la pièce jointe, section 4: Slepian series exactement à la page 215.
Merci bien pour tes remarques

[GrisBleu]

Salut momni

Il y a un petit pb avec les series de foruier. imagines la fonction f=1. les coefficients decroissent en 1/n. On peux faire beaucoup mieux si le signal a certaines proprietes.

Il y a des bases comme
- cosinus discret IV (utilise par JPEG je crois)
- ondelettes et packet d ondelettes (JPEG 2000)
- cosinus locaux et packets de cosinus locaux
qui generalement approchent mieux que fourier, car ils sont construits (surtout les packets) pour approcher au mieux le signal (la base que tu choisis depend du signal, d ou la meilleure approximation)

Par exemple, en 2D, on utilise pas Fourier mais les cosinus discrets car les coefficients decroissent plus vite que 1/n d ou une meilleure compression (on ne garde qu un nombre restreint de coefficients). Donc Fourier n est surement pas le chois optimal en general, ca depend de f

A+

vlad

[invite576b9b48]

Merci wlad_von_tokyo pour ta réponse.
Et voici mes remarques concernant ta réponse.
Pour la fonction périodique de période T=2,f=1 sur , il est claire que f coincide avec sa série de Fourier, en effet ses coéfficients de Fourier sont tous nuls, à l'exception du premier.
Donc la série de Fourier de f coincide avec f et parsuite cette série de Fourier approche bien f. Je me trompe pas non??????
En ce qui concerne les autres bases, desquelles tu as parlé, je ne les connais pas, je ne sais pas si tu peux me donner des liens ou je peux trouver ces différentes bases
et les comparer avec les base que je connais telle que les série de Fourier, lespolynome de Legendre, les polynomes de Cheybichev.
Merci encore une autre fois pour la réponse et pour tes nouvelle remarque
Amicalement
moumni

[GrisBleu]

Salut

Oups, me serais je trompe ? en fait je pensais a
0 sur [-1,1]
1 sur [0,1]
les coeff de fourier de sont alors

avec



bref une convergence en 1/n

si tu ne prends que les premiers coeff, tu a le phenomene de gibbs.

dsl pour mon erreur (le reste du mail est toujours bon ). Pour des renseignements: Wikipedia

[invitef943ce18]

Une fonction f analytique est développable en série entière, donc je pense que le plus raisonnable est de prendre une approximation par des polynômes. Intuitivement, quand tu vas projetter sur l'espace des n premiers polynômes, tu vas trouver le reste de la série, ce qui devrait être petit. rvz

Ca a l'air raisonnable, de bon sens et tout et tout... Mais ce n'est pas vrai: Par exemple, la fonction sin(Pi x) est analytique, mais chacun s'accordera sur le fait qu'elle est mieux approximable avec des fonctions trigonométriques que par des polynomes de Legendre...

[invite6b1e2c2e]

Absolument. De toute façon, comme je l'ai dit au tout début, quand on projette sur deux espaces de même taille, c'est difficile de comparer.
En plus, je viens de comprendre pourquoi ce que tu dis est plus juste. La régularité d'une fonction se lit sur la décroissance de sa transformée de Fourier. On en déuit donc qu'une fonction analytique devrait avoir des coefficients qui décroissent *très* vite, ie en 1/k^j pour tout j... Du coup, après réflexion, je pense que la série de fourier est une meilleure option.
(Quand tu regardes une fonction analytique, elle est localement développable en série entière, mais c'est tout, et du coup on peut très bien imaginer que les coefficients ne soient pas bornés indépendamment des points où tu fais le développement...)

__
rvz