Étude des Épicycloïdes et Hypocycloïdes
Poblématique
Un épicycloïde est une courbe 1 retraçant l’évolution 2. d’un point N sur un cercle de
rayon r qui roule sans glisser à l’extérieur d’un cercle fixe de rayon R; cette évolution
est représentée en partie sur la Figure 1.
Une épicycloïde peut être définie par l’équation paramétrique suivante :
x(α) = (R + r) cos (α) − r cos (R +r)/ r × α
y(α) = (R + r) sin (α) − κ sin (R +r)/ r × α
Figure 1 – Construction d’un épicycloïde
Un hypocycloïde représente, sous forme de courbe Figure 2, le lieu d’un point M d’un
disque de rayon r qui roule sans glisser à l’intérieur d’un autre cercle fixe de rayon R.
La courbe est fermée si le rapport d = R=r des rayons est rationnel. Les équations
paramétriques régissant la courbe sont :
1. La courbe est fermée si le rapport d = R/r des rayons R et r est rationnel.
2. http ://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/meca/epicyclo.html
x(α) = (R − r) cos (α) + r cos (R −r )/r × α
y(α) = (R − r) sin (α) − r sin (R −r)/r × α
où κ = α:r est la distance du point M au centre du cercle de rayon r.
Figure 2 – Construction d’un hypocycloïde
Travail à réaliser
(1) Écrire une fonction qui permet de retourner un tableau 3 renfermant les coordonnés, selon le choix de l’utilisateur, d’un épicycloïde ou d’un hypocycloïde ou d’un épicycloïde et d’un hypocycloïde.
(2) Écrire une fonction qui permet de tracer les données obtenues après appel de
la fonction écrite dans la question 1.
(i) La figure doit permettre la visualisation des courbes, de manière séparée,
selon les dimensions du tableau fourni par la fonction précédente.
(ii) Le tracé doit informer sur toutes les informations relatives à/aux courbe(s)
ainsi tracée(s).
(3)Écrire une fonction qui permet de tracer sur la même figure toutes les courbes
séparées 4, relatives à un épicycloïde ou à un hypocycloïde relatives aux
différentes combinaisons du couple (R; r) en fonction de leur rapport d = R/r
:
d = 3/2 4:2 5:2 6:2 7:2 : : :
(4) Écrire un programme principal qui prend le choix de l’utilisateur ainsi que les
deux rayons r et R, et qui en tiend compte pour appeler les fonctions écrites cidessus
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