Traitement d'images

[Médiat]

Bonjour,

Je me sens très bête, mais je ne comprends pas comment on passe de la définition du Laplacien (en 2D) à une matrice de convolution.

Je peux comprendre la matrice , mais il y en a beaucoup plus, comme ici : Spatial Filters - Laplacian/Laplacian of Gaussian (ed.ac.uk), et surtout comment calculer des matrices de tailles différentes (5x5, 7x7 etc.)

Merci d'avance
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[MissJenny]

tu as interverti les deux lignes du bas de la matrice.

[Médiat]

Merci, j'ai eu le temps de corriger.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

Stackoverflow semble donner une réponse: https://stackoverflow.com/questions/...ter-calculated.

En résumé, on prend la dérivée seconde discrète: . Pour une image cela revient à convoluer avec le long des lignes.

Pour obtenir (une approximation de) la dérivée second le long des colonnes, on convolue avec la transposée

Pour obtenir (une approximation) du laplacien, les deux filtres sont "augmentés" (comment on dit "padding" en Français ?) par des zéros, ce qui du point de vue de la convolution ne change rien: et

Les deux filtres "augmentés" sont ensuite simplement additionnés:

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Merci ParaboloIde_Hyperbolique,

Ça, c'est la matrice que je comprends, pour les raisons que vous exposez, mais comment calculer une matrice 5x5 ou 7x7 ? Il faudrait écrire la dérivée seconde comme une combinaison linéaire des


PS : Pour padding, en général, je dis "complété", mais augmenté convient tout autant.

[polo974]

En gros et très imagé, ta matrice (vu qu'on est en 2d) contient une révolution centrée de la dérivée seconde de la gaussienne.
Ce qui applique un filtre gaussien à ta dérivée seconde.

La somme des éléments de la matrice devant être nulle accessoirement...

[Médiat]

Merci polo974,

Est-ce que cela ne donne pas plutôt le "Laplacian of Gaussian", plutôt que le laplacien ?

[polo974]

Ben oui, le laplacien, c'est "juste" la dérivée seconde, donc ça tient dans une matrice 3x3, si on étale sur une matrice plus grande, c'est soit avec des 0 et inutile, soit pour filtrer le bruit en différenciant moins brutalement.

[Médiat]

On trouve sur le net des matrices 5x5, mais sans explication, et même en 3x3, il y a plusieurs versions ; comment traduiriez-vous "en différenciant moins brutalement", en exprimant la dérivée seconde comme une combinaison linéaire des ?

[polo974]

Bon, je vais être honnête, les maths et le traitement du signal, ça remonte à trèèès loin et je n'étais pas le meilleur...

Donc je pense qu'il faut fouiller côté transformation en z, traitement du signal, tout ça...

Sur ce, je fuis dans les bras de Morphée (heure Reunion et boulot tôt demain)...

[Médiat]

Merci et bonne nuit avec ce brave Morphée

[Paraboloide_Hyperbolique]

Habituellement, on effectue d'abord un "adoucissement" (smoothing) de l'image avant de lui appliquer un Laplacien.

Cet adoucissement s'effectue par la convolution de l'image avec une Gaussienne. On peut montrer que dérivée de (image convoluée avec Gaussienne) = (dérivée de Gaussienne) convoluée avec l'image.

Il est donc possible d'effectuer en une seule passe l'opération d'adoucissement et du calcul du Laplacien d'une image. Je suppose que les matrices 5x5, 7x7 etc, sont des opérateurs discrets effectuant ces deux opérations à la fois, avec des Gaussiennes plus ou moins larges (en jouant le fameux paramètre sigma de la Gaussienne)

Les détails peuvent être trouvés ici: https://www.insight-journal.org/browse/publication/179

[Médiat]

Oui, je sais tout cela, mais mon travail ne concernent pas le traitement d'images (le titre est lié au fait que ces filtres sont utilisés dans le traitement d'images) et je dois admettre que ma question ici est plus liée à la curiosité qu'à autre chose.

Merci pour le temps passé à me répondre